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第一章空间几何体知识点总结及同步练习


第一章

空间几何体

知识点梳理: 一、常见空间几何体定义:
1 .棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱,(1) 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱, 直棱柱的侧棱即为棱柱的高.(2) 底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱,两底面中心的连 线即为棱柱的高. 2 .棱锥:有一个面是多边形 ,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥. (1) 如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点与底面中心的连线垂直于底面,这样的棱锥 称为正棱锥. 正棱锥具有性质:①正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线;②正棱锥的侧面是全等的 等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做这个正棱锥的斜高. (2) 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四面体. (3) 依次连结不共面的四点构成的四边形叫做空间四边形. 3 .棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,叫做棱台. 4 .圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体 叫做圆柱. 5 .圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所 围成的几何体叫做圆锥. 6 .圆台:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 7 .球:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球.

二、空间几何体的三视图和直观图
(1) 投影、投影线和投影面:由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个 物体的影子,这种现象叫做投影。其中的光线叫做投影线,屏幕叫做投影面。 (2) 中心投影:我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。中心投影的投影线 交于一点,它实质是一个电光源把一个图形射到一个平面上,这个图形的影子就是 他在这个平面上的中心投影。 (3) 中心投影的性质:<1>投影线交于一点。<2>点光源物体越近,投影形成的影子越大。 (4) 平行投影:我们把一束平行光线照射下形成的投影叫平行投影,投影线正对着投影 面时,叫做正投影,否则叫斜投影。 空间几何体的三视图是用平行投影得到,这种投影下,与投影面平行的平面图形留下 的影子,画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 与平面图形的形状和大小是全等和相等的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图

注:1、球的三视图都是圆,长方体的三视图都是矩形.
2、圆柱的正视图、侧视图都是全等矩形,俯视图是圆. 3、圆锥的正视图、侧视图都是全等的等腰三角形,俯视图是圆及圆心.
1

4、圆台的正视图、侧视图都是全等的等腰体性,俯视图是两个同心圆。 表示空间图形的平面图形 ,叫做空间图形的直观图.可用斜二测画法画空间图形的直 观图。

(5)画直观图的方法叫做斜二测画法,步骤是
1.在已知图像中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,画出相应的 x′ 轴和 y′ 轴,两轴相交于 O′,且使∠x′O′y′=45° 或 135° ,它们确定的平面表示 水平面。 2.已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段, 在直观图中分别画出平行于 x′ 轴和 y′ 轴的线 段。3.已知图形中平行于 x 轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于 y 轴的线段长度变 成原来的一半。

三、简单几何体的表面积与体积 1.旋转体的表面积
(1) 圆柱的表面积 S =2π r2+2π rl( 其中 r 为底面半径,l 为母线长) . (2) 圆锥的表面积S =π r2+π rl(其中r 为底面半径,l 为母线长) . (3) 圆台的表面积公式 S = r '2 ? r 2 ? r 'l ? rl 其中 r′ 、r 为上、下底面半径,l 为母 线长) . (4) 球的表面积公式S =4π R 2 ( 其中R 为球半径) .

2.几何体的体积公式
(1)柱体的体积公式 V=Sh(其中 S 为底面面积,h 为高). 1 (2)锥体的体积公式 V= Sh(其中 S 为底面面积,h 为高). 3 1 (3)台体的体积公式 V= (S+ SS′+S′)h(其中 S′、S 为上、下底面面积,h 为高). 3 4 (4)球的体积公式 V= π R 3 (其中 R 为球半径). 3

四、正方体截面形状分类
我们知道正方体有六个面,用一个平面去解正方体至少要经过三个面,最多经过六个 面. 所以出现面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形. 一、截面是三角形

2

用一平面截正方体,当平面经过正方体的三个面时,所得的截面的形状为三角形.所得 的三角形可能是锐角三角形(如图 1);等腰三角形(如图 2);等边三角形(如图 3). 其中等 边三角形三个顶点是正方形的顶点。

图1 图2 图3 二、截面是四边形(这个四边形至少有一组对边平行) 用一个平面截正方体,当平面经过正方体的四个面时,所得截面可能是平行四边形, 菱 形,正方形、长方形、等腰梯形,但不能是直角梯形. ①用平行于底面的一个平面去截正方体时,按图 4 方式得到的截面是正方形.

图4 ②按图 5 或图 6 或图 7 的方式切截,得到的截面是长方形

图5 ③按图 8 的方式所得截面为梯形.

图6

图7

图8 三、截面是五边形

3

用平面截正方体,当平面经过正方体的五个面时,所得截面是五边形.有两组分别平行 的边,同时有两个角相等,不可能是正五边形如图 9.

图9 四、截面是六边形 用平面截正方体,当平面经过正方体的六个面时,所得截面是六边形,有分别平行的 边,同时有两个角相等,可以是正六边形如图 10.

图 10

总结:用一个平面截正方体,由于正方体共有六个面,所以截面不可能是七 边形.

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