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重庆市高2012级高三下学期第三次诊断试题5月11日下午理科数学试题


重庆市高 2012 级高三下学期第三次诊断试题 5 月 11 日下午理科数学试题

若 10、 ?ABC 的角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c , a + b = ab cos C + 3ab sin C , 设
2 2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1、已知 M = {1, 2,3, 4} , N = {2, 3, 4,5} , P = {x x = a + b, a ∈ M , b ∈ N } ,则集合 P 中元素 的个数为 A、 5 B、 6

则 ?ABC 的形状为 A、 直角非等腰三角形 B、等腰非等边三角形

C、等腰直角三角形

D、等边三角形

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应 位置上.
11、已知 ( x + i ) y = 1 + xi ( x 、 y ∈ R ) ,则 x = .

C、 7

D、 8

2、已知向量 a = (2, 0) , b = 1 , a ? b = 1 ,则向量 a 与 b 的夹角为 A、

r

r

r r
5π 6

r

r

12、一个项数为偶数的等比数列,奇数项之和等于偶数项之和的

π
3

B、

π
6

C、

2π 3

D、

q=
2 2

1 ,则此等比数列的公比 2

.

3、已知相交直线 l1 、 l2 的夹角为 θ ,则方程 x + y sin θ = 1 表示的平面图形是 A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、圆或椭圆 4、已知 a < b < 0 ,则下列不等式中正确的是 A、

13、从正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的所有顶点中任取两点连成直线,要求所得直线与 AC1 垂直, 则这样的直线共有 14、若二项式 (2 cos α +
2

条。

1 1 < a b

B、 b < a
2

2

C、

b >1 a

D、 ? a <

?b
2

1 n ) (其中 0 < α < π )的展开式中,第二、三、四项的二项式 cos α 系数成等差数列,且第 6 项为 168 ,则 α 的值是 .
15、如图, MN 为双曲线 C :

5、已知数列 {an } 的通项 an = 3n ? 1 ,前 n 项和 S n = an + bn( a 、b ∈ R ) ,则 lin A、 ?1 B、 0 C、 1 D、 3

a n + bn = n →∞ a n ? b n

x2 y2 ? = 1( a 、 b > 0 ) a2 b2

的垂直于实轴的动弦, P 、 Q 为双曲线 C 的顶点,直线

6、已知随机变量 ξ 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ,且 P (1 < ξ ≤ 2) = P (6 < ξ ≤ 7) ,则 ? = A、 1 B、 2 C、 3 D、 4

MQ 与直线 PN 交于点 F ,直线 NQ 与直线 PM 交于点 E ,则下列说法:
①存在 a 、 b > 0 及动弦 MN ,使得 P 、 E 、 Q 、 F 四点共圆; ②对任意 a 、 b > 0 ,都存在动弦 MN ,使得 P 、 E 、 Q 、 F 四点共圆; ③存在 a 、 b > 0 及动弦 MN ,使得 P 、 E 、 Q 、 F 四点共椭圆,且 PQ 为椭圆的长轴; ④存在 a 、 b > 0 及动弦 MN ,使得 P 、 E 、 Q 、 F 四点共椭圆,且 PQ 为椭圆的短轴.

7、已知 f ( x ) 是二次函数,且函数 y = ln f ( x ) 的值域为 [0, +∞ ) ,则 f ( x ) 可以是 A、 y = x 2 B、 y = x 2 + 2 x + 2
o

C、 y = x 2 ? 2 x + 3

D、 y = ? x 2 + 1

8、 已知直线 a 与平面 α 所成角为 30 , 过空间中一定点 P 作直线 b , 使得它与直线 a 和平面 α 所成的角均为 30 ,则满足条件的直线 b 有 A、 0 条 B、 2 条 C、 4 条 D、无数条
'
o

9、已知函数 f ( x ) = ln x + a 的导函数为 f ' ( x ) ,若使得 f ( x0 ) = f ( x0 ) 成立的 x0 < 1 ,则实数

其中正确的序号是

.

a 的取值范围为 A、 a > 1 B、 a < 1

C、 0 < a < 1

D、 a ≥ 1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.

16、 (13 分)已知定义在 [0, 为6 . ⑴求实数 a 的值; ⑵求 f ( x ) 的单调增区间.

π

] 上的函数 f ( x) = 2 3 cos 2 ( ? x) + cos 2 x + a ? 3 的最大值 2 4

π

19、 (12 分)已知函数 f ( x ) = ln( ax + 1) +

1 2 x x ? + b ( a 、 b 为常数,且 a > 0 ). 2 a

⑴若函数 f ( x ) 的图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = 2 ,求 a 、 b 的值; ⑵当 b = 2 时,若函数 f ( x ) 在区间 [0, +∞ 上的最小值为 2 ,求实数 a 的取值范围.

17、 (13 分)某人向主办方交 20 元钱可以参加一次游戏活动,其规则如下:箱子里装有大小 形状完全相同的黄球 1 个、篮球 2 个、红球 3 个,从中有放回地每次任取一球,取到红球则游 戏停止,且最多取 3 次.每取一次球可获得 10 圆奖金。 ⑴求取球不超过两次的概率; ⑵若平均收益 = 奖金期望值 ? 成本,求此人参加一次该游戏的平均收益.

20、 (12 分)已知椭圆 C :

x2 + y 2 = 1 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 4

A 、 B 两点,过 F2 且平行于 l 的直线 l1 交椭圆 C 于 M 、 N 两点.
⑴求 ?ABF2 的周长; ⑵求 ?ABM 面积的最大值.

18、 (13 分)如图所示,已知菱形 ABCD 的边长为 2 ,将其沿对角线 BD 折成直二面角 A ? BD ? C . ⑴求证: AC ⊥ BD ; ⑵若二面角 A ? BC ? D 的平面角的正切值为 2 ,求三棱锥 A ? BCD 的体积.

21、 (12 分)如图所示: m 个实数 a1 , a2 ,…, am ( m ≥ 3 且 m ∈ N ) ,依次按顺时针方向
*

围成一个圆圈. ⑴已知 a1 = 1 且 an +1 = an +

A

1 * ( m > n 且 n ∈ N ) 若 am > 1.99 恒成立, m 的最小值; , 求 n(n + 1)

A

⑵设圆圈上按顺时针方向任意相邻的三个数 a p 、 aq 、 ar 均满足: aq = λ a p + (1 ? λ ) ar (其中

λ >0) ,求证: a1 = a2 = L = am .
B D
B D

am

a1 a2 a3

C

C

an


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