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图形计算器应用能力测试活动学生 探究几类优美的物理轨迹及其在CASIO CG 20计算器上的演示


2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 探究几类 优美的物理轨迹及其在 CASIO CG 20 计算器上的演示 一、研究背景 正如我们所知道的一样,在物理世界中,几何一直都离不开物理。而在一般的数学中直 接用集合的方式去模拟物理中的大量优美轨迹是非常不容易的, 因而我们尝试用计算器来模 拟这些优美的轨迹,来填补这一研究上的空缺。 二、研究目标 本论文旨在探究几段优美的物理轨迹, 并将它们模拟在计算器 fx-CG20 上, 使轨迹表现 出本应具有动态的美感来。 三、研究内容 1. 物理模型之一: 一根长度为 L 的杆 AB 靠在光滑的竖直墙壁上, B 端着地。 在杆上有一点 C 到 B 的距离为 λ L。 给 AB 一点扰动,杆会下滑,此时求 C 点的轨迹。 先从特殊情况入手。当 C 为 AB 中点时, 。通过简单的平面几何知识可以得出,C 做的是 一个圆周运动。当 C 不是中点的时候呢?是否还是圆? 下面我们用 CASIO 计算器来绘制这份动态图像 运用 CG-20,调至动态函数。选定 Y1=-tanA*x+Lsin A,[0,cosA] 通过简单的平面几何知识可以得到 C 点的坐标为(Lcosθ -λ Lcosθ ,λ Lsinθ ) 然后再用参数来表示。 ,其大致图象如图所示。 . 此时 L=1,λ =1/3 因为变量 θ 从 0 到π /2,所以定义变量 此次 step 为π /12 来看这动态图 1 2 经过多次探究发现: 当 C 不是 AB 中点时, 其轨迹是一个椭圆。 这是不是可以证明的呢? 答案是可以的。给出如下证明: 建立平面直角坐标系,以墙角为 O 点,再令角 OBA=θ ,于是到图示位置的时候,C 点坐 标就是(Lcosθ -λ Lcosθ ,λ Lsinθ ) ,于是 C 点满足方程 (x/(1-λ ) )^2+(y/λ )^2=L^2 于是其轨迹就是一个椭圆。取几个特殊的 λ ,会得到几个十分漂亮的图形。 物理模型之二: 一个质量为 M 的光滑半圆柱,半径为 R。平放在光滑水平面上。另一个质量为 m 的小球 放在半圆柱最上端,然后给 m 一个扰动,求 m 在脱离 M 之前的轨迹。 当然还是从最简单的形式分析,当 M 远大于 m 时,那么 m 就做一个圆周运动。但是现在 M 和 m 都在运动。 那么此时 M 做的是一个什么运动呢?我们还是通过 CASIO 计算器来模拟其 轨迹。 通过 CG-20 调至动态图,首先我们来模拟一个移动的半圆的轨迹。 3 其中 A 是 M 的圆心的坐标。R 上有平方= 把 R 定义到 4,但从后文我们可以得到 A= mRsinθ /(M+m) 又因为 m 的坐标可以用θ 来表示为 (x,y)= (Rsinθ *c,Rcosθ ),其中 c=m/(M+m)-1,具体证明方法在后面 所以再次调整动态图,令 M/m=4,有 令 B 从 0 到π /2,step 为π /20 则有动态图 4 5 (看红点点) 通过 10 次的实验,我们会得到这样一个优美的结论:m 的轨迹是一个椭圆。这是正确 的吗?我们来证明这一结论。 同样的,建立平面直角坐标系, 设 E 点, 即半圆的圆心处的坐标为 (b,0) ,于是初始时刻 m 球, 也就是 G 点的坐标为 (0, R).然后在运动过一段时间后 E 点到 了图示位置,设∠G’EG=可以得到 G 点的坐标为 (x,y)=(b-Rsinθ ,Rcosθ ) 。 将 M,m 看成一个整体。 由物理学知识可以知道这一系统

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