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图形计算器应用能力测试活动学生 探究几类优美的物理轨迹及其在CASIO CG 20计算器上的演示

2013 年高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 探究几类 优美的物理轨迹及其在 CASIO CG 20 计算器上的演示 一、研究背景 正如我们所知道的一样,在物理世界中,几何一直都离不开物理。而在一般的数学中直 接用集合的方式去模拟物理中的大量优美轨迹是非常不容易的, 因而我们尝试用计算器来模 拟这些优美的轨迹,来填补这一研究上的空缺。 二、研究目标 本论文旨在探究几段优美的物理轨迹, 并将它们模拟在计算器 fx-CG20 上, 使轨迹表现 出本应具有动态的美感来。 三、研究内容 1. 物理模型之一: 一根长度为 L 的杆 AB 靠在光滑的竖直墙壁上, B 端着地。 在杆上有一点 C 到 B 的距离为 λ L。 给 AB 一点扰动,杆会下滑,此时求 C 点的轨迹。 先从特殊情况入手。当 C 为 AB 中点时, 。通过简单的平面几何知识可以得出,C 做的是 一个圆周运动。当 C 不是中点的时候呢?是否还是圆? 下面我们用 CASIO 计算器来绘制这份动态图像 运用 CG-20,调至动态函数。选定 Y1=-tanA*x+Lsin A,[0,cosA] 通过简单的平面几何知识可以得到 C 点的坐标为(Lcosθ -λ Lcosθ ,λ Lsinθ ) 然后再用参数来表示。 ,其大致图象如图所示。 . 此时 L=1,λ =1/3 因为变量 θ 从 0 到π /2,所以定义变量 此次 step 为π /12 来看这动态图 1 2 经过多次探究发现: 当 C 不是 AB 中点时, 其轨迹是一个椭圆。 这是不是可以证明的呢? 答案是可以的。给出如下证明: 建立平面直角坐标系,以墙角为 O 点,再令角 OBA=θ ,于是到图示位置的时候,C 点坐 标就是(Lcosθ -λ Lcosθ ,λ Lsinθ ) ,于是 C 点满足方程 (x/(1-λ ) )^2+(y/λ )^2=L^2 于是其轨迹就是一个椭圆。取几个特殊的 λ ,会得到几个十分漂亮的图形。 物理模型之二: 一个质量为 M 的光滑半圆柱,半径为 R。平放在光滑水平面上。另一个质量为 m 的小球 放在半圆柱最上端,然后给 m 一个扰动,求 m 在脱离 M 之前的轨迹。 当然还是从最简单的形式分析,当 M 远大于 m 时,那么 m 就做一个圆周运动。但是现在 M 和 m 都在运动。 那么此时 M 做的是一个什么运动呢?我们还是通过 CASIO 计算器来模拟其 轨迹。 通过 CG-20 调至动态图,首先我们来模拟一个移动的半圆的轨迹。 3 其中 A 是 M 的圆心的坐标。R 上有平方= 把 R 定义到 4,但从后文我们可以得到 A= mRsinθ /(M+m) 又因为 m 的坐标可以用θ 来表示为 (x,y)= (Rsinθ *c,Rcosθ ),其中 c=m/(M+m)-1,具体证明方法在后面 所以再次调整动态图,令 M/m=4,有 令 B 从 0 到π /2,step 为π /20 则有动态图 4 5 (看红点点) 通过 10 次的实验,我们会得到这样一个优美的结论:m 的轨迹是一个椭圆。这是正确 的吗?我们来证明这一结论。 同样的,建立平面直角坐标系, 设 E 点, 即半圆的圆心处的坐标为 (b,0) ,于是初始时刻 m 球, 也就是 G 点的坐标为 (0, R).然后在运动过一段时间后 E 点到 了图示位置,设∠G’EG=可以得到 G 点的坐标为 (x,y)=(b-Rsinθ ,Rcosθ ) 。 将 M,m 看成一个整体。 由物理学知识可以知道这一系统在水平方向上不受外力。 由动量 守恒定律知道,m*dx/dt+M*db/dt=0 => m*dx+M*db=0,两边积分, => mx+Mb=0,将 x=b-Rsinθ 代入,得到 mRsinθ =(M+m)b ③ 于是 b= mRsinθ /(M+m) 代回原坐标,得到 (x,y)=(Rsinθ *c,Rcosθ ) 其中 c=m/(M+m)-1 6 于是(x,y)满足 (x/c)^2+ y^2=R^2,于是这是个椭圆。 (注: 可能有些读者想要知道此系统的运动规律, 或许想要通过一些对称性和某些守恒 律将其完全解出,但是其可行性是没有的。因为再通过一些简单的物理学计算。比如说以 M 为参考系所列出的向心力公式 F=(m/r)*( (dx/dt-db/dt)^2+ (dy/dt)^2) Fsinθ =Md^2b/dt^2 然后将 x,y 关于 b 与 θ 的关系代入,可知 dx/dt= db/dt-Rcosθ dθ /dt dy/dt=-Rsinθ dθ /dt,得到 mR(dθ /dt)^2*sinθ /M= d^2b/dt^2 2 ④ 2 然后对③式两边对 t 求导,消去 d^2b/dt^2 得 RM ? d 2? ? mR ? d? ? ? d? ? ? sin ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? sin ? 2 ? M ?m? dt dt M dt ? ? ? ? ? ? ? 但是很遗憾的是,此方程似乎没有解析解。 由此可见,即使是最简单的物理模型,其运动规律也是极其的复杂) 物理模型之四:狐狸追兔子(跟踪导弹的物理模型) 。有一只兔子,沿着直线 AB 跑,速 度为 Vf 另有一狐狸,用一种很“蠢笨”的方法去追兔子:它的速度大小不变为 V,方向始终 对着兔子,初始时 V⊥Vf.且他们的距离为 L,求狐狸之运动轨迹? 当然,此题也需运用平面直角坐标系。 令初始位置狐狸所在点 C 为原点, 建立 X,Y 轴。 再令任意时刻处, 导弹之坐标为 P(x,y) 飞行物的坐标为 yf(t),t 时刻导弹与飞行物的连线与导弹轨迹在 P 点相切,即、 tgθ =dy/dx 式子中 dx 和 dy 是 ds 在 x 轴和 y 轴的投影,ds 是导弹从 t 时刻到(t+dt)时刻经历的 距离. 有几何关系 Yf=y+(L-x)tgθ =y+(L-x) d

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