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2017届高考数学(文)一轮复习讲练测:专题2.10函数的综合问题与实际应用(讲).doc


第二章 2017 年高考数学讲练测【新课标版文】 【讲】 函数与基本初等函数Ⅰ 第 10 节 【课前小测摸底细】 1.【必修一 P107A 组 T1 改编】在某个物理实验中,测得变量 x 和变量 y 的几组数据,如下 表: x y 0.50 ﹣0.99 则 x , y 最适合的函数的是( A. y ? 2 x ) C. y ? 2 x ? 2 D. y ? log 2 x 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 函数的综合问题与实际应用

B. y ? x2 ?1

2. 【2016 高考四川文科】某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则 该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30) (A)2018 年 (B) 2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年 )

3. 【2016· 日照模拟】下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,它最可能的函数模型是 ( ) x y A.一次函数模型 4 15 5 17 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27

B.幂函数模型

C.指数函数模型 D.对数函数模型 4.【基础经典试题】某人骑着自行车一路匀速行驶,只是在途中遇到了一次交通堵塞,耽搁 了一些时间(约占行程的三分之一左右的时间),下面哪个图象与这件事相吻合( )

5.某汽车销售公司在 A 、 B 两地销售同一中品牌的车,在 A 地的销售利润(单位:万元) 为 y1 ? 4.1x ? 0.1x2 ,

在 B 地的销售利润(单位:万元)为 y2 ? 2 x ,其中 x 为销售量(单位:辆) ,若该公司在 两地共销售 16 辆这种品牌车,则能获得的最大利润是 【 考点深度剖析】 高考对函数应用的考查,常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇,以解答题为主要形 式出现. 高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度: (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题; (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数. 【经典例题精析】 考点 1 一次函数与分段函数模型 【1-1】我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种 酒每瓶售价为 70 元,不收附加税时,每年大约销售 100 万瓶;若每销售 100 元国家要征附 加税 x 元(即税率为 x%),则每年销售量将减少 10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收 取的附加税额不少于 112 万元,则 x 的最小值为( A.2 B.6 ) C.8 D.9 万元.

【1-2】 甲、乙两人同时从 A 地赶往 B 地,甲先骑自行车到中点改为跑步,而乙则是先跑 步, 到中点后改为骑自行车, 最后两人同时到达 B 地. 已知甲骑自行车比乙骑自行车快. 若 每人离开甲地的距离 S 与所用时间 t 的函数用图象表示,则甲、乙两人的图象分别是( A. 甲是(1),乙是(2) C.甲是(3),乙是(2) B.甲是(1),乙是(4) D.甲是(3),乙是(4) )

【1-3】 【2013 年广州模拟】某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部 零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元. (Ⅰ)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为 51 元; (Ⅱ)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,求出函数 P=f(x)的表达式.

【课本回眸】

一次函数模型: f ( x) ? ax ? b ( a 、 b 为常数, a ? 0 ). 【方法规律技巧】 1. 在现实生活中, 很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型, 其增长特点是直线上升(自 变量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0). 2.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个 不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数. 分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同, 可以先将其作为几个不同问题, 将 各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点. 【新题变式探究】 【变式一】(2016· 湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实 现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预 测的运输任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示,在这四种方案中, 运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )

A

B

C

D

【变式二】某网民用电脑上因特网有两种方案可选:一是在家里上网,费用分为通讯费(即 电话费)与网络维护费两部分.现有政策规定:通讯费为 0.02 元/分钟,但每月 30 元封顶(即 超过 30 元则只需交 30 元), 网络维护费 1 元/小时, 但每月上网不超过 10 小时则要交 10 元; 二是到附近网吧上网,价格为 1.5 元/小时. (Ⅰ)将该网民某月内在家上网的费用 y(元)表示为时间 t(小时)的函数; (Ⅱ)试确定在何种情况下,该网民在家上网更便宜? 考点 2 二次函数模型 【2-1】将一个底面圆的直径为 d 的圆柱截成横截面为长方形的棱柱,若这个长方形截面 的一条边长为 x ,对角线长为 d ,截面的面积为 A ,求面积 A 以 x 为自变量的函数式,并 写出它的定义域.

【2-2】某汽车销售公司在 A 、 B 两地销售同一中品牌的车,在 A 地的销售利润(位:万元)

为 y1 ? 4.1x ? 0.1x2 ,在 B 地的销售利润(单位:万元)为 y2 ? 2 x ,其中 x 为销售量(单 位:辆) ,若该公司在两地共销售 16 辆这种品牌车,则能获得的最大利润是( A . 10.5 B. ) D.

11 万元

C.

43 万元

43.025 万元
【2-3】 【2013 年河南调研】为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优 惠活动,规定一次购物付款总额:①如果不超过 200 元,则不予优惠;②如果超过 200 元, 但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠;③如果超过 500 元,其中 500 元按第②条给予优 惠,超过 500 元的部分给予 7 拆优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款 168 元和 423 元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为 【课本回眸】
2 二次函数模型: f ( x) ? ax ? bx ? c ( a 、 b 、 c 为常数, a ? 0 ).



【方法规律技巧】 有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函 数模型,利用二次函数图象与单调性解决.在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义 域. 【新题变式探究】 【变式一】 【2015 届北京朝阳区上学期期中检测】 设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生 产, 平均每人每年创造产值 t 万元 (t 为正常数) . 公司决定从原有员工中分流 x ( 0 ? x ? 100 ) 人去进行新开发的产品 B 的生产.分流后,继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造 产值在原有的基础上增长了 1.2 x% .若要保证产品 A 的年产值不减少,则最多能分流的人 数是( A. 15 ) B. 16 C. 17 D. 18

【变式二】 某厂有容量 300 吨的水塔一个,每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水,已知: 该厂生活用水每小时 10 吨,工业用水总量 W (吨)与时间 t (单位:小时,规定早晨六点时 t

? 0)

的函数关系为 W ? 100 t ,水塔的进水量有 10 级,第一级每小时进水 10 吨,以后每提高一级, 进水量增加 10 吨.若某天水塔原有水 100 吨,在供应同时打开进水管.问该天进水量应选择几 级,既能保证该厂用水(即水塔中水不空),又不会使水溢出? 考点 3 指数函数模型 【3-1】 【2013 年长春联合测试】某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这

支股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%),又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%),则该股民这 支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况 )

【3-2】某工厂一年中十二月份的产量是一月份产量的 m 倍,那么该工厂这一年中的月平均 增长率是( A. ) B. D. 11 m -1

m 11

m 12

C. 12 m -1

【3-3】一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当 1 砍伐到面积的一半时, 所用时间是 10 年, 为保护生态环境, 森林面积至少要保留原面积的 , 4 已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 (Ⅰ)求每年砍伐面积的百分比; (Ⅱ)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (Ⅲ)今后最多还能砍伐多少年? 【课本回眸】
x 指数函数模型: f ( x) ? ba ? c ( a 、 b 、 c 为常数, a ? 0 且 a ? 1 , b ? 0 ).

2 . 2

【方法规律技巧】 1.指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、细 胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示. 2.应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型将有关数据代入验证,确定参 数,从而确定函数模型. 3.y=a(1+x)n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 4.对于直线上升、指数增长、对数增长的特点要注意区分: 直线上升:匀速增长,其增长量固定不变;指数增长:先慢后快,其增长量成倍增加,常用 “指数爆炸”来形容;对数增长:先快后慢,其增长速度缓慢.公司的利润选择直线上升或指 数模型增长,而员工奖金选择对数模型增长. 1.在解答本题时有两点容易造成失分:忽视实际问题对变量 x 的限制即定义域.将侧面积、 容积求错,从而造成后续的求解不正确. 2.解决函数模型应用的解答题,还有以下几点容易造成失分,在备考中要高度关注: ①读不懂实际背景,不能将实际问题转化为函数模型. ②对涉及的相关公式,记忆错误.

③在求解的过程中计算错误. 另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法,才能快速正确地求解. 【新题变式探究】 【变式一】(2016· 安徽名校联考)如图, 在平面直角坐标系中, AC 平行于 x 轴, 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,记四边形位于直线 x=t(t>0)左侧图形的面积为 f(t),则 f(t)的大致图 象是( )

A

B

C

D

【变式二】衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为 a ,经过 t 天后体积与天数 t 的关系式为: V

? a ? e? kt ,若新丸经过 50 天后,体积变为 4 a ;若一
9

8 个新丸体积变为 a ,则需经过的天数为 27
A.75 天 B.100 天 C.125 天 D.150 天 考点 4 对数函数模型 【4-1】光线透过一块玻璃板,其强度要减弱 要( A.8 )快这样的玻璃( lg 3 ? 0.4771 ). B. 9 C. 10 D. 11

1 1 ,要使光线的强度减少到原来的 ,则至少 10 3

【4-2】某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 变化规律是 N ? N0e? ?t ,其中 N 0 、 ? 为正的 常数. 由放射性元素的这种性质,可以制造高精度的时钟,用原子数表示时间 t 为 .

【4-3】我们知道,燕子每年秋天都要从北方飞南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕 子的飞行速度可以表示为函数 v ? 5 log 2

O ,单位 m / s ,其中 O 表示燕子的耗氧量. 则当 10
) 8m / s 15 m / s

燕子静止时的耗氧量时单位和当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时的飞行速度分别是 ( A.10 个 C. 15 个 15 m / s 15 m / s B. 10 个 D. 50 个

【课本回眸】 对数函数模型: f ( x) ? b loga x ? c , ( a 、 b c 为常数, a ? 0 且 a ? 1 , b ? 0 ). 【方法规律技巧】 解答函数应用题的一般步骤:

①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; ②建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相 应的数学模型; ③求模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 【新题变式探究】 【变式一】 2008 年我国人口总数为 14 亿,如果人口的自然年增长率控制在 1.25%,则 ________年我国人口将超过 20 亿.( lg 2 ≈0.301 0, lg 3 ≈0.477 1, lg 7 ≈0.845 1) 【变式二】 【2013 年模拟】某公司为了实现 2013 年销售利润 1 000 万元的目标,准备制定一 个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到 10 万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金 数额 y(单位:万元)随销售利润 x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过 5 万元,同 1 时奖金数额不超过销售利润的 25%.现有三个奖励模型:y=0.025x,y=1.003x,y= ln x+1, 2 问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由. (参考数据: 1.003
538

? 5 , e ? 2.71828 ? ? ? , e8 ? 2981)

三、易错试题常警惕 易错典例:如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB ? a , BC ? b ( a ? b) ,在 AB 、 AD 、

CD 、 CB 上分别截取 AE 、 AH 、 CG 、 CF 都等于 x ,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的
面积最大?求出这个最大面积.

易错分析:忽略了实际问题中自变量 x 的取值范围, 0 ? x ? b ,由于 a ? b ? 0 ,所以当

a ? 3b 时

a?b ? b, 4

自变量 x 不能取到

( a ? b) 2 a?b ,面积 S 不能取得最大值 . 4 8

温馨提醒:解决此类问题,关键是利用已知条件,建立函数模型,然后化简整理函数解析式.


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