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浙江省舟山中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省舟山中学高一(上)期中数学试卷
一.选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. (3 分)设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,4,6},B={1,2,3,5},则 B∩?UA 等于() A.{1,3,5} B.{1,2,3,5} C. ? D.{1,3,4,5,6} 2. (3 分)已知集合 A={x|x ﹣1=0},则下列式子表示正确的有() ①1∈A;②{﹣1}∈A;③??A;④{1,﹣1}?A. A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 3. (3 分)三个数 6 ,0.5 ,log0.56 的大小顺序为() 6 0.5 6 0.5 A.0.5 <log0. 56<6 B. log0.56<0.5 <6 0.5 6 6 0.5 C. log0.56<6 <0.5 D.0.5 <6 <log0.56
0.5 6 2

4. (3 分)已知函数

,则 f[f( )]=()

A.4

B.

C . ﹣4

D.﹣

5. (3 分)下列判断正确的是() A.函数 f(x)= 是奇函数 是偶函数

B. 函数 f(x)=(1﹣x)

C. 函数 f(x)=

是偶函数

D.函数 f(x)=1 既是奇函数又是偶函数 6. (3 分)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(|x|)的图象为()

A.

B.

C.

D. 7. (3 分)函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,其中 a<b<c,则 y=f(x)在(a,c)上 零点个数为() A.2 B.至少 2 个 C.奇数 D.偶数 8. (3 分)函数 f(x)=x﹣ 在区间(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,1]
x x

C.[﹣1,+∞)

D.[1,+∞)

9. (3 分)若关于 x 的方程:9 +(4+a)?3 +4=0 有解,则实数 a 的取值范围为() A.(﹣∞,﹣8)∪[0,+∞) B.(﹣8,﹣4) C. [﹣8,﹣4] (﹣∞,﹣8]

D.

10. (3 分)对函数 f(x) ,若对任意 a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)为某一三角形的三边 长,则称 f(x)为“槑槑函数”,已知 f(x)= 是“槑槑函数”,则实数 a 的取值范围为() C.[1,2] D.[0,1]

A.[0,+∞)

B.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 2 11. (3 分)函数 y=x ﹣4x+3,x∈[0,3]的值域为. 12. (3 分)已知幂函数 f(x)的图象经过点(2,8) ,则 f(x)=. 13. (3 分)已知 f(x+1)=2x+3,则 f(x)=. 14. (3 分)函数 f(x)= 的定义域是.

15. (3 分)函数

的单调减区间为.

16. (3 分)若关于 x 的方程|x ﹣4|x|+3|=k 有 4 个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是. 17. (3 分)设二次函数 f(x)=x +ax+b.对任意实数 x,都存在 y,使得 f(y)=f(x)+y, 则 a 的最大值是.
2

2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 59 分,解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 18. (12 分)计算: (1) (2)lg 5+lg2×lg500﹣ lg
2

; ﹣log29×log32.
2

19. (12 分)已知集合 M={x|x ﹣3x≤10},N={x|a+1≤x≤2a+1}. (1)若 a=2,求 M∩(CRN) ; (2)若 M∪N=M,求实数 a 的取值范围. 20. (12 分)已知定义在(﹣1,1)上的奇函数 f(x) .在 x∈(﹣1,0)时,f(x)=2 +2 . (1)试求 f(x)的表达式; (2)用定义证明 f(x)在(﹣1,0)上是减函数; x x (3)若对于 x∈(0,1)上的每一个值,不等式 t?2 ?f(x)<4 ﹣1 恒成立,求实数 t 的取值 范围.
x
﹣x

21. (12 分)已知函数

为奇函数,a 为常数.

(1)求 a 的值; (2)当 x∈(3,4]时,f(x)是否存在最大值?若存在,求出最大值,若不存在,请说明理 由; (3)设函数 4]有实数解? 22. (11 分)设函数 f(x)=x +(2a+1)x+a +3a (I)若 f(x)在[0,2]上的最大值为 0,求实数 a 的值; (II)若 f(x)在区间[α,β]上单调,且{y|y=f(x) ,α≤x≤β}=[α,β],求实数 a 的取值范围.
2 2

+m,当 m 为何值时,不等式 f(x)>g(x)在 x∈(3,

2014-2015 学年浙江省舟山中学高一(上)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. (3 分)设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,4,6},B={1,2,3,5},则 B∩?UA 等于() A.{1,3,5} B.{1,2,3,5} C. ? D.{1,3,4,5,6} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 计算题. 先利用补集定义求出?UA,再利用交集定义求 B∩?UA. 解:全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,4,6},

∴?UA={1,3,5},又 B={1,2,3,5}, ∴B∩?UA={1,3,5}. 故选:A 点评: 本题考查集合的基本运算,属于基础题. 2. (3 分)已知集合 A={x|x ﹣1=0},则下列式子表示正确的有() ①1∈A;②{﹣1}∈A;③??A;④{1,﹣1}?A. A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的是集合元素与集合的关系问题.在解答时,可以先将集合 A 的元素进行 确定.然后根据元素的具体情况进行逐一判断即可. 解答: 解:因为 A={x|x ﹣1=0}, ∴A={﹣1,1} 对于①1∈A 显然正确; 对于②{﹣1}∈A,是集合与集合之间的关系,显然用∈不对; 对③??A,根据集合与集合之间的关系易知正确; 对④{1,﹣1}?A.同上可知正确. 故选 C. 点评: 本题考查的是集合元素与集合的关系问题.在解答的过程当中充分体现了解方程的 思想、逐一验证的技巧以及元素的特征等知识.值得同学们体会反思. 3. (3 分)三个数 6 ,0.5 ,log0.56 的大小顺序为() 6 0.5 6 0.5 A.0.5 <log0.56<6 B. log0.56<0.5 <6 0.5 6 6 0.5 C. log0.56<6 <0.5 D.0.5 <6 <log0.56 考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 常规题型. 0.5 6 分析: 引入 0 和 1 来比较 6 ,0.5 ,log0.56 的大小 x 1 x 解答: 解:∵y=log0.5 在定义域内是减函数∴log0.56<log0.5 =0,又因为 y=0.5 在实数集 x 0.5 0 0 6 6 6 0.5 上是减函数且 y=6 在实数集上是增函数∴6 >6 =1=0.5 >0.5 >0,∴log0.5 <0.5 <6 故选 B
0.5 6 2 2

点评: 在指数和对数比较大小时,若直接比不出来,常引入 0 和 1 来比较

4. (3 分)已知函数

,则 f[f( )]=()

A.4

B.

C . ﹣4

D.﹣

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 分析: 将函数由内到外依次代入,即可求解 解答: 解:根据分段函数可得: , 则 ,

故选 B 点评: 求嵌套函数的函数值,要遵循由内到外去括号的原则,将对应的值依次代入,即可 求解. 5. (3 分)下列判断正确的是() A.函数 f(x)= 是奇函数 是偶函数

B. 函数 f(x)=(1﹣x)

C. 函数 f(x)=

是偶函数

D.函数 f(x)=1 既是奇函数又是偶函数 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇偶性定义判断,先看定义域,再看解析式, 每个选项分析: (1)函数 f(x)= (2)函数 f(x)=(1﹣x) 的定义域不关于原点对称,x≠2 定义不关于原点对称,x≠1,

(3)函数 f(x)=

定义域[﹣4,4],

函数 f(x)=

=



f(﹣x)=f(x) , 函数 f(x)= 是偶函数,

(4)函数 f(x)=1,是偶函数,不是奇函数. 解答: 解: (1)函数 f(x)= 对称, 函数 f(x)= 不是奇函数. 定义(﹣∞,1)∪(1,+∞) ,不关于原点对称, 的定义域(﹣∞,2)∪(2,+∞) ,所以不关于原点

(2)函数 f(x)=(1﹣x) 所以该选项为错的. (3)函数 f(x)=

定义域[﹣4,4],关于原点对称,

∵函数 f(x)=

=

,f(﹣x)=f(x) ,

∴函数 f(x)=

是偶函数,

(4)函数 f(x)=1,是偶函数,不是奇函数. 故选:C 点评: 本题考查了奇偶函数的定义,注意定义域,解析式两种思路判断. 6. (3 分)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(|x|)的图象为()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 作图题. 分析: 根据函数图象的对称变换,可以将函数 y=f(x)的图象在 y 轴右侧的部分保持不变, 并将其关于 y 轴对称,即可得到函数 y=f(|x|)的图象. 解答: 解:函数 y=f(|x|)= ,是偶函数,

因此将函数 y=f(x)的图象在 y 轴右侧的部分保持不变, 利用函数 y=f(|x|)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,即可得到函数 y=f(|x|)的图象 故选 B. 点评: 本题考查函数图象的对称变换,其本质是去绝对值符号,属基础题. 7. (3 分)函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,其中 a<b<c,则 y=f(x)在(a,c)上 零点个数为() A.2 B.至少 2 个 C.奇数 D.偶数 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数零点的存在性判断方法,结合题意即可判断出零点个数. 解答: 解:由题意:正实数 a、b、c 满足满足 f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0, 则含有零点的区间可能为: (a,b) , (b,c) , 故 y=f(x)在(a,c)上至少有 2 个零点. 故答案为:B 点评: 本题主要考查了函数零点的存在性判断方法,结合区间判断零点的大小,是基础题.

8. (3 分)函数 f(x)=x﹣ 在区间(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,1] C.[﹣1,+∞) D.[1,+∞)

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求 f′(x)=
2

,根据函数单调性和函数导数符号的关系,因为 f(x)在(1,+∞)
2

是增函数,所以 x +p≥0,因为要求 p 的取值范围,所以得到 p≥﹣x ,而容易得到在(1,+∞) 2 上﹣x <﹣1,所以 p 需满足:p≥﹣1. 解答: 解:f′(x)= = ;

∵f(x)在区间(1,+∞)上是增函数; 2 2 ∴x +p≥0,即 p≥﹣x 在(1,+∞)上恒成立; 2 2 ﹣x 在(1,+∞)单调递减,∴﹣x <﹣1; ∴p≥﹣1; 即实数 p 的取值范围是[﹣1,+∞) .

故选 C. 点评: 考查函数的求导,函数的单调性和函数导数符号的关系,以及根据二次函数的单调 性求函数的取值范围. 9. (3 分)若关于 x 的方程:9 +(4+a)?3 +4=0 有解,则实数 a 的取值范围为() A.(﹣∞,﹣8)∪[0,+∞) B.(﹣8,﹣4) C. [﹣8,﹣4] (﹣∞,﹣8] 考点: 指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 可分离出 a+4,转化为函数 f(x)=﹣ 和不等式的性质求值域即可. 解答: 解:∵a+4=﹣ , 的值域问题,令 3 =t,利用基本不等式
x x x

D.

令 3 =t(t>0) ,则﹣

x

=﹣

因为

≥4,所以﹣

≤﹣4,

∴a+4≤﹣4, 所以 a 的范围为(﹣∞,﹣8] 故选 D. 点评: 本题考查指数函数的定义、解析式、定义域和值域、方程有解问题、基本不等式求 最值问题,同时考查转化思想和换元法. 10. (3 分)对函数 f(x) ,若对任意 a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)为某一三角形的三边 长,则称 f(x)为“槑槑函数”,已知 f(x)= 是“槑槑函数”,则实数 a 的取值范围为() C.[1,2] D.[0,1]

A.[0,+∞)

B.

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: f(x)解析式变形后,由题意得到 f(x)>0 恒成立,求出 a 的范围,分 0<a≤1 与 a >1 两种情况,利用函数的增减性,以及三角形的三角关系求出 a 的范围即可. 解答: 解:f(x)= =1+ ,

由题意,f(x)>0 恒成立,即

>﹣1,即 a>﹣e ,

x

解得:a>0, ①若 0<a≤1,则 f(x)为增函数,当 x 取正无穷时,f(x)取最大值 1,当 x 取负无穷时,f (x)取最小值 a, 即 f(x)值域为(a,1) , 又知三角形两边之和大于第三边,故应有 a+a≥1,解得: ≤a≤1; ②若 a>1,则 f(x)为减函数,当 x 取正无穷时,f(x)取最小值 1,当 x 取负无穷时,f(x) 取最大值 a, 即 f(x)值域为(1,a) ,同理,有 1+1≥a,得 1<a≤2, 综上,a 的取值范围为[ ,2], 故选:B. 点评: 此题考查了余弦定理,函数的增减性,以及三角形三边关系,熟练掌握函数的增减 性是解本题的关键. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分. 2 11. (3 分)函数 y=x ﹣4x+3,x∈[0,3]的值域为[﹣1,3]. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先配方,求出函数的对称轴,利用二次函数的单调性即可求出. 解答: 解:∵y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,函数的对称轴 x=2∈[0,3], ∴此函数在[0,3]上的最小值为:﹣1,最大值为:3, ∴函数 f(x)的值域是[﹣1,3]. 点评: 熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键. 12. (3 分)已知幂函数 f(x)的图象经过点(2,8) ,则 f(x)=x . 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. α 分析: 设幂函数 f(x)=x ,把点(2,8)代入函数的解析式,求得 α 的值,即可得到函数 的解析式. 解答: 解:设幂函数 f(x)=x ,把点(2,8)代入函数的解析式可得 2 =8, 3 解得 α=3,故函数的解析式为 f(x)=x , 3 故答案为 x . 点评: 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,属于基础题. 13. (3 分)已知 f(x+1)=2x+3,则 f(x)=2x+1(x∈R) . 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用.
α α 3 2 2

分析: 由题意得 f(x+1)=2(x+1)+1,替换即可. 解答: 解:∵f(x+1)=2(x+1)+1, ∴f(x)=2x+1, 故答案为:2x+1. 点评: 本题考查了函数的解析式问题,本题属于基础题. 14. (3 分)函数 f(x)= 的定义域是{x|﹣1<x≤2 且 x≠0}.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由分式中的对数式的真数大于 0 且不等于 1,根式内部的代数式大于等于 0,联立不 等式组求解 x 的取值集合即可得到答案.

解答: 解:由

,解得:﹣1<x≤2,且 x≠0.

∴函数 f(x)=

的定义域是{x|﹣1<x≤2,且 x≠0}.

故答案为:{x|﹣1<x≤2,且 x≠0}. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法, 解答此题的关键是注意分母不等于 0, 是基础题.

15. (3 分)函数

的单调减区间为(4,+∞) .

考点: 对数函数的单调区间. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 利用复合函数的单调性求解,先将函数转化为两个基本函数 t=x ﹣4x+3,t>0, y=log0.5t,由同增异减的结论求解. 2 解答: 解:令 t=x ﹣6x+8,t>0 ∴t 在 x∈(4,+∞)上是增函数,此时 t∈(0,+∞) . 又∵y=log0.5t 在(0,+∞)是减函数 根据复合函数的单调性可知: 函数 的单调递减区间为(4,+∞)

故答案为: (4,+∞) . 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,结论是同增异减,一定要注意定义域,这类题, 弹性空间大,可难可易. 16. (3 分)若关于 x 的方程|x ﹣4|x|+3|=k 有 4 个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是 1 <k<3 或 k=0.
2

考点: 函数的零点. 专题: 数形结合. 分析: 原命题等价于函数 f(x)=|x ﹣4|x|+3|与 y=k 的图象有 4 个不同的公共点,只需在同 一个坐标系中作出它们的图象即可得解. 2 解答: 解:关于 x 的方程|x ﹣4|x|+3|=k 有 4 个不相等的实数根 2 等价于函数 f(x)=|x ﹣4|x|+3|与 y=k 的图象有 4 个不同的公共点, 2 而函数 f(x)=|x ﹣4|x|+3|为偶函数,y 轴右边的图象为抛物线的一部分, 作图如下:
2

由图象可知:当 1<k<3 或 k=0 时,两函数的图象有 4 个不同的公共点, 故答案为:1<k<3 或 k=0 点评: 本题考查函数零点的个数,转化为两函数图象的交点个数是解决问题的关键,属基 础题. 17. (3 分)设二次函数 f(x)=x +ax+b.对任意实数 x,都存在 y,使得 f(y)=f(x)+y, 则 a 的最大值是 .
2

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将原式化成 f(y)﹣y=f(x)的形式,因为对任意实数 x,都存在 y,使得 f(y) ﹣y=f(x) ,则只需 f(x)的值域是函数 f(y)﹣y 的值域的子集.则问题容易获解. 2 2 解答: 解:由已知得 f(x)=x +ax+b,f(y)=y +ay+b. 2 2 则原式可化为对任意实数 x,都存在 y 使得 x +ax=y +ay﹣y 恒成立, 2 2 令 g(x)=x +ax,h(y)=y +ay﹣y, 2 2 则函数 g(x)=x +ax 的值域是函数 h(y)=y +ay﹣y 值域的子集. g(x)=(x+ ) ﹣
2 2

,值域为[﹣
2

,+∞) ,

h(y)=y +(a﹣1)y=[y+(

)]

,值域为[

,+∞) ,

从而

≥﹣

,解得 a≤ ,

故 a 的最大值为 . 故答案为 . 点评: 本题重在理解题意,先将变量 x 与 y 分离后,即将原式化成两个函数值相等,结合 题意即将问题转化为两个函数值域的包含关系. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 59 分,解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 18. (12 分)计算: (1) (2)lg 5+lg2×lg500﹣ lg
2

; ﹣log29×log32.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用指数的性质和运算法则求解. (2)利用对数的性质和运算法则求解. 解答: 解: (1) = = .
2

(2)lg 5+lg2×lg500﹣ lg =

﹣log29×log32

=lg 5+lg5+1. 点评: 本题考查指数和对数的化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意运算法则的 合理运用. 19. (12 分)已知集合 M={x|x ﹣3x≤10},N={x|a+1≤x≤2a+1}. (1)若 a=2,求 M∩(CRN) ; (2)若 M∪N=M,求实数 a 的取值范围. 考点: 并集及其运算;交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (Ⅰ)a=2 时,M={x|﹣2≤x≤5},N={3≤x≤5},由此能求出 M∩(CRN) . (Ⅱ)由 M∪N=M,得 N?M,由此能求出实数 a 的取值范围. 解答: (本小题满分 8 分)
2

2

解: (Ⅰ)a=2 时,M={x|﹣2≤x≤5},N={3≤x≤5}, CRN={x|x<3 或 x>5}, 所以 M∩(CRN)={x|﹣2≤x<3}. (Ⅱ)∵M∪N=M,∴N?M, ①a+1>2a+1,解得 a<0;



,解得 0≤a≤2.

所以 a≤2. 点评: 本题考查交集、实集的应用,考查实数的取值范围的求法,是基础题. 20. (12 分)已知定义在(﹣1,1)上的奇函数 f(x) .在 x∈(﹣1,0)时,f(x)=2 +2 . (1)试求 f(x)的表达式; (2)用定义证明 f(x)在(﹣1,0)上是减函数; x x (3)若对于 x∈(0,1)上的每一个值,不等式 t?2 ?f(x)<4 ﹣1 恒成立,求实数 t 的取值 范围. 考点: 指数函数综合题;奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数可得 f(0)=0,x∈(0,1)时,f(x) =﹣f(﹣x)=﹣(2 +2 ) ;从而写出 f(x)的表达式; (2)取值,作差,化简,判号,下结论五步; x x (3)对于 x∈(0,1)上的每一个值,不等式 t?2 ?f(x)<4 ﹣1 恒成立转化为对于 x∈(0, 1)上的每一个值,不等式 t>﹣ 恒成立,从而可得.
x
﹣x

x

﹣x

解答: 解: (1)∵f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数, ∴f(0)=0, 设∈(0,1) ,则﹣x∈(﹣1,0) ,则 f(x)=﹣f(﹣x) =﹣(2 +2 ) ,
x
﹣x

故 f(x)=



(2)任取 x1,x2∈(﹣1,0) ,且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)= = ∵x1<x2<0, ∴ ﹣ <0,0< <1, + ﹣( + )



故 f(x1)﹣f(x2)>0, 故 f(x)在(﹣1,0)上是减函数; (3)由题意,t?2 ?f(x)<4 ﹣1 可化为 x x ﹣x x t?2 ?(﹣(2 +2 ) )<4 ﹣1, 化简可得,t>﹣ ,
x x

令 g(x)=﹣ ∵x∈(0,1) , ∴g(x)<﹣1+

=﹣1+



=0,
x x

故对于 x∈(0,1)上的每一个值,不等式 t?2 ?f(x)<4 ﹣1 恒成立可化为 t≥0. 点评: 本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法,属于难题.

21. (12 分)已知函数

为奇函数,a 为常数.

(1)求 a 的值; (2)当 x∈(3,4]时,f(x)是否存在最大值?若存在,求出最大值,若不存在,请说明理 由; (3)设函数 4]有实数解? 考点: 函数最值的应用;奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)由题意,f(x)+f(﹣x)= 从而可得 a =1,注意验证定义域; (2)化简 f(x)= + = ﹣ ,由函数的加减及复合函数的单
2

+m,当 m 为何值时,不等式 f(x)>g(x)在 x∈(3,

+

+

+

=0,

调性直接可判断函数的单调性,从而求最值; (3)由题意,f(x)>g(x)可化为﹣(2 +
﹣x ﹣x

)>m,令 F(x)=﹣(2

+

) ,求函数的值域,从而得到 m 的取值范围.

解答: 解: (1)∵ ∴f(x)+f(﹣x) = + + +

为奇函数,

=0,


2

?

=1,

即 a =1, 解得,a=﹣1,a=1; 经验证,a=﹣1. (2)f(x)= +

=





易知,y=

在(3,4]上是增函数,y=1+

在(3,4]上是减函数,

故 f(x)在(3,4]上是增函数, 则 fmax(x)=f(4)= ;

(3)由题意,f(x)>g(x)可化为 ﹣ 即﹣(2 + 令 F(x)=﹣(2 + 易知 F(x)在(3,4]上单调递增, 则 F(3)<F(x)≤F(4) , 即﹣( +log35)<F(x)≤﹣ 故 m<﹣ . ,
﹣x ﹣x



+ )>m,

+m,

) ,

点评: 本题考查了函数的奇偶性的应用,同时考查了导数的综合应用,属于难题. 22. (11 分)设函数 f(x)=x +(2a+1)x+a +3a (I)若 f(x)在[0,2]上的最大值为 0,求实数 a 的值; (II)若 f(x)在区间[α,β]上单调,且{y|y=f(x) ,α≤x≤β}=[α,β],求实数 a 的取值范围.
2 2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)分别讨论当﹣ ≤1,当﹣ >1 的情况,从而求出 a 的值;

(2)通过讨论若 f(x)在[α,β]上递增,若 f(x)在[α,β]上递减的情况,得到不等式组, 解出即可. 解答: 解: (Ⅰ)当﹣
2

≤1,即 a≥﹣ 时,

f(x)max=f(2)=a +7a+6=0,解得:a=﹣6(舍)或 a=﹣1, 当﹣ >1,即 a<﹣ 时,
2

f(x)max=f(0)=a +3a=0,解得:a=0(舍)或 a=﹣3, 综上 a=﹣1 或 a=﹣3; (Ⅱ)若 f(x)在[α,β]上递增,则满足: ①﹣ ≤α;② ,

即方程 f(x)=x 在
2 2

,+∞)上有两个不相等的实根.
2 2

方程可化为 x +2ax+a +3a=0,设 g(x)=x +2ax+a +3a,



,解得:



若 f(x)在[α,β]上递减,则满足: ① ;② .



得,两式相减得(α﹣β) (α+β)+(2a+1) (α﹣β)=β﹣α,

即 α+β+2a+1=﹣1. 即 β=﹣α﹣2a﹣2. 2 2 2 2 ∴α +(2a+1)α+a +3a=﹣α﹣2a﹣2,即 α +(2a+2)α+a +5a+2=0. 2 2 同理:β +(2a+2)β+a +5a+2=0, 即方程 x +(2a+2)x+a +5a+2=0 在(﹣∞,﹣ 设 h(x)=x +(2a+2)x++a +5a+2,
2 2 2 2

]上有两个不相等的实根,



,解得:﹣

≤a<﹣ ,

综上所述:a∈[﹣

,﹣ )∪[﹣

,0) .

点评: 本题考查了二次函数的性质,考查了函数的单调性,考查了分类讨论思想,是一道 中档题.


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