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高考数学总复习经典测试题解析版6.4 数列求和


6.4 数列求和
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 .在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 =( A.7 解析 B.15
a2 ? 1, a4 ? 5 ? S5 ?

) D.25

C.20

a1 ? a5 a ? a4 ?5 ? 2 ? 5 ? 15 2 2 .

答案 B 2.若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10=( A.15 B.12 C.-12 D.-15 ).

解析 设 bn=3n-2,则数列{bn}是以 1 为首项,3 为公差的等差数列,所以 a1 +a2+…+a9+a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10 -b9)=5×3=15. 答案 A 1 1 1 1 3.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…的前 n 项和 Sn 为( 2 4 8 16 A.n2+1- C.n2+1- 1 2
n-1

). 1 2n 1 2n-1

B.n2+2- D.n2+2-

1 2n

1 解析 由题意知已知数列的通项为 an=2n-1+ n, 2

则 Sn=

n

+2n- 2

1? 1? ?1- n? 2? 2? 1 + =n2+1- n. 1 2 1- 2

答案 C 4.已知数列{an}的通项公式是 an= ( A.11 ). B.99 C.120 D.121 1

n+ n+1

,若前 n 项和为 10,则项数 n 为

解析 ∵an=

1

n+ n+1

= n+1- n,∴Sn=a1+a2+…+an=( 2-1)+( 3 C

- 2)+…+( n+1- n)= n+1-1.令 n+1-1=10,得 n=120.答案

1 5. 已知数列{an}的通项公式为 a n=2n+1, 令 bn= (a1+a2+…+an), 则数列{bn}

n

的前 10 项和 T10=( ) A.70 B.75

D.85 +2n+ 解析 由已知 an=2n+1,得 a1=3,a1+a2+…+an= 2 + 则 bn=n+2,T10= =75,故选 B. 2 答案 B

C.80

=n(n+2),

6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn(a、b∈R),且 S25=100,则 a12+a14 等于 ( A.16 ) B.8 C.4 D.不确定

解析 由数列{an}的前 n 项和 Sn=an2+bn(a、b∈R),可得数列{an}是等差数列,

S25=
答案 B

a1+a25
2

=100,解得 a1+a25=8,所以 a1+a25=a12+a14=8.

7.若数列{an}为等比数列,且 a1=1,q=2,则 Tn= 可化为( A.1 - 1 4n ). B.1- 1 1 2n

1

a1a2 a2a3



1

+…+

1

anan+1

的结果

1? 2? C. ?1- n? 4? 3?

1? 2? D. ?1- n? 2? 3?

解析 an=2n-1, 设 bn=

1 ?1? ?1? ?1? =? ?2n-1, 则 Tn=b1+b2+…+bn= +? ?3+…+? ?2n anan+1 ?2? 2 ?2? ?2?

1? 1? ?1- n? 4 ? 2? 2? 1? -1 = = ?1- n?. 4? 1 3? 1- 4 答案 C 二、填空题 8.数列{an}的通项公式为 an= ,其前 n 项之和为 10,则在平面直角 n+ n+1 坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0 在 y 轴上的截距为________. 1

解析 由已知,得 an=

1 n+ n+1

= n+1- n,则

Sn=a1+a2+…+an=( 2- 1)+( 3- 2)+…+( n+1- n)= n+1-1, ∴ n+1-1=10,解得 n=120,即直线方程化为 121x+y+120=0,故直线在 y 轴上的截距为-120. 答案 -120
2 2 9.等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2n-1,则 a2 1+a2+…+an=________.

解析 当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,
n-1 又∵a1=1 适合上式.∴an=2n-1,∴a2 . n=4
2 ∴数列{a2 n}是以 a1=1 为首项,以 4 为公比的等比数列.

∴a +a +…+an= 答案 1 n (4 -1) 3

2 1

2 2

2

-4n 1-4

1 = (4n-1). 3

10. 已知等比数列{an}中, a1=3, a4=81, 若数列 {bn}满足 bn=log3an, 则数列? 的前 n 项和 Sn=________.

? ?

? ? ? ?bnbn+1? ? ?

1

解析 设等比数列{an}的公比为 q,则 =q3=27,解得 q=3.所以 an=a1qn-1= 3×3n-1=3n,故 bn=log3an=n, 所以 1

a4 a1

bnbn+1 n



1 n+

1 1 = - . n n+1

1 1 1 1 1 1 n 则 Sn=1- + - +…+ - =1- = . 2 2 3 n n+1 n+1 n+1 答案

n n+1

?a 11.定义运算:? ?c

?a ?=ad-bc,若数列{a }满足? d? ?2
b?
n

1

1 2

? ?=1 1?

?3 且? ?an

3? ?= an+1?

12(n∈N*),则 a3=________,数列{an}的通项公式为 an=________. 解析 由题意得 a1-1=1,3an+1-3an=12 即 a1=2,an+1-an=4. ∴{ an}是以 2 为首项,4 为公差的等差数列. ∴an=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10.

答案 10

4n-2

1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 12.已知数列{an}: , + , + + ,…, + + +…+ ,…,那么数 2 3 3 4 4 4 10 10 10 10 列{bn}=?
? ? ? ? ?的前 ? ?anan+1? ?

1

n 项和 Sn 为________.
1+2+3+…+n n = . n+1 2

解析 由已知条件可得数列{an}的通项为 an= ∴bn= 1 = 4 n+ 1 ? ?1 ?. =4? - ?n n+1?

anan+1 n

1 1 1 1 1 ? 1 ? 4n ? ? ?=4?1- ?= Sn=4?1- + - +…+ - . 2 2 3 n n + 1 n + 1 n +1 ? ? ? ? 答案 4n n+1

三、解答题 13.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S15=225. (1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn=2an+2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解析:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,

?a +2d=5, 由题意,得? 15×14 15a + d=225, 2 ?
1 1

?a1=1, 解得? ?d=2,

∴an=2n-1.

1 (2)∵bn=2an+2n= ·4n+2n, 2 1 ∴Tn=b1+b2+…+bn= (4+42+…+4n)+2(1+2+…+n) 2 4n+1-4 2 2 = +n2+n= ·4n+n2+n- . 6 3 3 14.设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4 . (1)求{an}的通项公式; (2)设{bn}是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 解析 (1)设 q 为等比数列{an}的公比,则由 a1=2,a3=a2+4 得 2q2=2q+4,即

q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2.
所以{an}的通项为 an=2·2n-1=2n(n∈N*)

(2)Sn=

-2n 1-2

+n×1+

n n-
2

×2=2

n+1

+n -2.

2

15.设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1=1,a3+b5 =21,a5+b3=13. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)求数列? 解析
? ?an? ? ?的前 ?bn? ? ?

n 项和 Sn.

(1) 设 {an} 的 公 差 为 d , {bn} 的 公 比 为 q , 则 依 题 意 有 q > 0 且 ?d=2, 解得? ?q=2.

4 ?1+2d+q =21, ? 2 ?1+4d+q =13,

所以 an=1+(n-1)d=2n-1,bn=qn-1=2 n-1. (2) =

an 2n-1 , bn 2n-1
3 2 5 2 2n-3 2n-1 + n-1 ,① 2n-2 2

Sn=1+ 1+ 2+…+

5 2n-3 2n-1 2Sn=2+3+ +…+ n-3 + n-2 .② 2 2 2 2 2 2 2n-1 ②-①,得 Sn=2+2+ + 2+…+ n-2- n-1 2 2 2 2 1 n-1 2 1 1 1 ? 2n-1 2n-1 2n+3 ? =2+2×?1+ + 2+…+ n-2?- n-1 =2+2× - n-1 =6- n-1 . 2 2 2 ? 2 1 2 2 ? 1- 2 1- 16.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1 =1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求 + +…+ .

S1 S2

Sn

解析 (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数,an=3+(n-1)d,

bn=qn-1.
?S2b2= 依题意有? ?S3b3= +d +3d

q=64, q2=960,

?d=2, 解得? ?q=8

6 ? ?d=-5, 或? 40 q= . ? ? 3

(舍去)

故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1. ( 2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2), 1 1 1 1 1 1 所以 + +…+ = + + +…+ S1 S2 Sn 1×3 2×4 3×5 n 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? = ?1- + - + - +…+ - 3 2 4 3 5 n n+2? 2? 1 1 1 ? 1? - ? = ?1+ - 2 n+1 n+2? 2? 3 = - 4 2n+3 1 n+

n+

n+

.


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