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高中数学核心知识点常考题型精析:立体几何(文)

高中数学核心知识点常考题型精析:立体几何(文) 一、空间距离的计算 1.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 AC1 与平面 BED 的距离为( A. 2 B. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设 AP=1,AD= ,三棱锥 P﹣ABD 的体积 V= ,求 A 到平面 PBC 的距离. ) C. D. 1 ,E 为 CC1 的中点,则直线 2.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. 3.已知直二面角 α﹣l﹣β,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β,BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 CD=( A. 2 B. ) C. D. 1 , AA1=3, 4. 如图, 直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AB∥CD, AD⊥AB, AB=2, AD= E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3 (1)证明:BE⊥平面 BB1C1C; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离. 5.如图,四棱锥 P﹣ABCD,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,且与底面垂直,底面 ABCD 是∠ABC=60° 的菱形,M 为 PC 的中点. (Ⅰ) 求证:PC⊥AD; (Ⅱ) 在棱 PB 上是否存在一点 Q,使得 A,Q,M,D 四点共面?若存在,指出点 Q 的位置并证明;若不存在,请说明理由; (Ⅲ) 求点 D 到平面 PAM 的距离. 第 1 页(共 71 页) 6.如图,在四棱锥 S﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,侧 SBC 是正三角形,点 E 是 SB 的中点,且 AE⊥平面 ABC. (1)证明:SD∥平面 ACE; (2)若 AB⊥AS,BC=2,求点 S 到平面 ABC 的距离. 二、空间角的计算 7.已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正 弦值等于( ) A. B. C. D. 8.已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值 为( A. ) B. C. D. ) 9.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为( A. B. C. D. 10.已知三棱锥 S﹣ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形,SA 垂直于底面 ABC,SA=3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( A. B. C. ) D. 11.长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知二面角 A1﹣BD﹣A 的大小为 条直线 l 与直线 CC1, 所成的角为 A. [ , ] B. [ , ,若空间有一 ) , 则直线 l 与平面 A1BD 所成角的取值范围是 ( ] C. [ , ] D. [0, ] 第 2 页(共 71 页) 12.已知平面 α 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 α 成 60° 二面角的平面 β 截该球面得 圆 N,若该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4π,则圆 N 的面积为( A.7π B.9π C.11π ) D.13π 13.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成 的角的余弦值为 _________ . 14.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M、N 分别是 CD、CC1 的中点,则异面 直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是 _________ . 15.如图,在四棱锥 A﹣BCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE=∠BED=90° , AB=CD=2,DE=BE=1,AC= . (Ⅰ)证明:AC⊥平面 BCDE; (Ⅱ)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值. 16.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD, PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC. (Ⅰ)证明:PC⊥平面 BED; (Ⅱ)设二面角 A﹣PB﹣C 为 90° ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. , 17.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC,AA1=AB,D 为 BB1 的中点,E 为 AB1 上的一点,AE=3EB1. (Ⅰ)证明:DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45° ,求二面角 A1﹣AC1﹣B1 的大小. 第 3 页(共 71 页) 18.如图,已知二面角 α﹣MN﹣β 的大小为 60° ,菱形 ABCD 在面 β 内,A、B 两点在 棱 MN 上,∠BAD=60° ,E 是 AB 的中点,DO⊥面 α,垂足为 O. (Ⅰ)证明:AB⊥平面 ODE; (Ⅱ)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值. 19. 如图, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ∠ACB=90° , BC=1,AC=CC1=2. (Ⅰ)证明:AC1⊥A1B; (Ⅱ)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 ,求二面角 A1﹣AB﹣C 的大小. 20.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点. (Ⅰ)求异面直线 CC1 和 AB 的距离; (Ⅱ)若 AB1⊥A1C,求二面角 A1﹣CD﹣B1 的平面角的余弦值. 21.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 第 4 页(共 71 页) , PD=CD=2. (1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (2)证明:平面 PDC⊥平面 ABCD; (3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 22.设平面 ABCD⊥平面 ABEF,

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