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(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题9.9 圆锥曲线的综合问题(讲)

第九节 考 点 圆锥曲线的综合问题 【考纲解读】 考纲内容 5 年统计 分析预测 1.考查直线与椭圆的位置关系; 2. 考查直线与抛物线的位置关 ( 1 ) 会 解 决直 线 与椭 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 圆、抛物线的位置关系 的问题。 (2) 了解方程与曲线的 对应关系和求曲线方程 的基本方法。 (3)理解数形结合、用 代数方法处理几何问题 的思想。了解圆锥曲线 的简单应用。 2015?浙江文 19;理 19; 2016?浙江文 19;理 19; 2017?浙江 21. 2013?浙江文 22;理 21; 2014?浙江文 17,22; 系; 3.考查直线与圆、圆锥曲线的综 合问题,如取值范围、 最值、 定值、 定点、存在性问题等. 4.备考重点: (1)掌握圆、椭圆、双曲线、抛 物线的定义、标准方程、几何性 质; (2) 熟练掌握常见直线与圆锥曲 线综合问题题型的解法; (3) 利用数形结合思想, 灵活处 理综合问题. 【知识清单】 1. 圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法 圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实 轴,抛物线的焦参数等.定值问题的求解与证明类似,在求定值之前,已经知道定值的结果(题中未告知, 可用特殊值探路求之),解答这类题要大胆设参,运算推理,到最后参数必清,定值显现. 对点练习: 【2016 高考新课标 1 卷】设圆 x ? y ? 2x ?15 ? 0 的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 2 2 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II) 设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四 边形 MPNQ 面积的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 x2 y 2 ? ? 1( y ? 0 ) (II) [12,8 3 ) 4 3 试题解析: (Ⅰ)因为 | AD |?| AC | , EB // AC ,故 ?EBD ? ?ACD ? ?ADC , 所以 | EB |?| ED | ,故 | EA | ? | EB |?| EA | ? | ED |?| AD | . 又圆 A 的标准方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 16 ,从而 | AD |? 4 ,所以 | EA | ? | EB |? 4 . 由题设得 A(?1,0) , B(1,0) , | AB |? 2 ,由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为: x2 y 2 ? ? 1 ( y ? 0 ). 4 3 (Ⅱ)当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) . ? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 . ? ? 1 ? 3 ?4 则 x1 ? x2 ? 8k 2 4k 2 ? 12 x x ? , . 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 2 12(k 2 ? 1) 所以 | MN |? 1 ? k | x1 ? x2 |? . 4k 2 ? 3 过点 B(1,0) 且与 l 垂直的直线 m : y ? ? 1 2 ( x ? 1) , A 到 m 的距离为 ,所以 2 k k ?1 4k 2 ? 3 | PQ |? 2 4 ? ( ) ?4 .故四边形 MPNQ 的面积 k2 ?1 k2 ?1 2 2 2 S? 1 1 . | MN || PQ |? 12 1 ? 2 2 4k ? 3 可得当 l 与 x 轴不垂直时,四边形 MPNQ 面积的取值范围为 [12,8 3 ) . 当 l 与 x 轴垂直时,其方程为 x ? 1 , | MN |? 3 , | PQ |? 8 ,四边形 MPNQ 的面积为 12. 综上,四边形 MPNQ 面积的取值范围为 [12,8 3 ) . 2. 圆锥曲线中的最值与范围问题 与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强,解决的方法:一是由题目中的限制条件求范围,如直线 与圆锥曲线的位置关系中 Δ 的范围, 方程中变量的范围, 角度的大小等; 二是将要讨论的几何量如长度、 面积等用参数表示出来,再对表达式进行讨论,应用不等式、三角函数等知识求最值,在解题过程中注 意向量、不等式的应用. 对点练习: 【2017 课标 1,理 10】已知 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 C 交于 A、B 两点,直线 l2 与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 A.16 【答案】A B.14 C.12 D.1 0 2 3. 圆锥曲线中的探索性问题 探索性问题的求解方法:先假设成立,在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论,说明 结论成立,否则说明结论不成立.处理这类问题,一般要先对结论做出肯定的假设,然后由此假设出发, 结合已知条件进行推理论证.若推出相符的结论,则存在性随之解决;若推出矛盾,则否定了存在性; 若证明某结论不存在,也可以采用反证法. 对点练习: 【2017 课标 II,理】设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C: 点 P 满足 NP ? x2 ? y 2 ? 1上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N, 2 ??? ? ???? ? 2 NM 。 ??? ? ??? ? (1) 求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x ? ?3 上,且 OP ? PQ ? 1 。证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点

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