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浙江专用2018版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法6.2等差数列及其前n项和


(浙江专用) 2018 版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6.2 等差数列及其前 n 项和教师用书

1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A 叫做 a 与 b 的等差 中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N ). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N ),则 ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为 d,则{a2n}也是等差数列,公差为 2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak,ak+m,ak+2m,?(k,m∈N )是公差为 md 的等差数列. (6)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?构成等差数列. 5.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 Sn= 6.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系
* * *

n?a1+an?
2

或 Sn=na1+

n?n-1? d.
2

d? d ? Sn= n2+?a1- ?n.
2

?

2?

数列{an}是等差数列?Sn=An +Bn(A,B 为常数). 7.等差数列的前 n 项和的最值 在等差数列{an}中,若 a1>0,d<0,则 Sn 存在最大值;若 a1<0,d>0,则 Sn 存在最小值.

2

1

【知识拓展】 等差数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d 是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N )?{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An +Bn(A,B 为常数)?{an}是等差数列. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 若 一个数列 从第二项起 每一项与 它的前一 项的 差都是常 数,则这 个数 列是等差 数 列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的.( √ ) (3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式 an=3-2n,则它的公差为-2.( √ )
2 *

1.在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6 等于( A.-1 B.0 C.1 D.6 答案 B

)

解析 由等差数列的性质,得 a6=2a4-a2=2×2-4=0,故选 B. 2.(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100 等于( A.100 B.99 C.98 D.97 答案 C 9?a1+a9? 9×2a5 解析 由等差数列性质,知 S9= = =9a5=27,得 a5=3,而 a10=8,因此公 2 2 差 d= )

a10-a5
10-5

=1,

∴a100=a10+90d=98,故选 C. 3. (2016·绍兴一模)已知数列{an}中, a3=3, an+1=an+2, 则 a2+a4=________, an=________. 答案 6 2n-3

解析 由已知得 an+1-an=2,所以{an}为公差为 2 的等差数列,由 a1+2d=3,得 a1=-1, 所以 an=-1+(n-1)×2=2n-3,a2+a4=2a3=6.
2

4.若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n=________时,{an}的前 n 项和最大. 答案 8 解析 因为数列{an}是等差数列,且 a7+a8+a9=3a8>0,所以 a8>0.又 a7+a10=a8+a9<0, 所以 a9<0.故当 n=8 时,其前 n 项和最大.

题型一 等差数列基本量的运算 例 1 (1)在数列{an}中,若 a1=-2,且对任意的 n∈N 有 2an+1=1+2an,则数列{an}前 10 项 的和为( ) 5 C. 2 5 D. 4
*

A.2 B.10

(2)(2016·北京)已知{an}为等差数列, Sn 为其前 n 项和. 若 a1=6, a3+a5=0, 则 S6=________. 答案 (1)C (2)6 1 解析 (1)由 2an+1=1+2an 得 an+1-an= , 2 1 所以数列{an}是首项为-2,公差为 的等差数列, 2 10×?10-1? 1 5 所以 S10=10×(-2)+ × = . 2 2 2 (2)∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0. 又 a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2. 6×?6-1? ∴S6=6×6+ ×(-2)=6. 2 思维升华 等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1 和公差 d, 然后由通项公式或前 n 项和公式转 化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前 n 项和公式,共涉及五个量 a1,an,d,n,

Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
(1)(2016·杭州模拟)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则

S7 等于(
A.13 C.49

) B.35 D.63
2

(2)(2016·江苏)已知{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和.若 a1+a2=-3,S5=10,则 a9 的值
3

是________. 答案 (1)C (2)20 解析 (1)∵a1+a7=a2+a6=3+11=14, 7?a1+a7? ∴S7= =49. 2 (2)设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得

a1+?a1+d? =-3, ? ? ? 5×4 5a1+ d=10, ? 2 ?

2

解得?

? ?a1=-4, ?d=3, ?

则 a9=a1+8d=-4+8×3=20. 题型二 等差数列的判定与证明 3 1 1 * * 例 2 已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N ),数列{bn}满足 bn= (n∈N ). 5 an-1 an-1 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由. (1)证明 因为 an=2-
* bn= (n∈N ), an-1

1

an-1

(n≥2,n∈N ),

*

1

所以 bn+1-bn= = 1 1

1 1 - an+1-1 an-1

1 an 1 - = - =1. an-1 an-1 an-1 ?2- ?-1

an

又 b1=

1

a1-1

5 =- . 2

5 所以数列{bn}是以- 为首项,1 为公差的等差数列. 2 7 (2)解 由(1)知 bn=n- , 2 1 2 则 an=1+ =1+ . bn 2n-7 2 设 f(x)=1+ , 2x-7 7 7 则 f(x)在区间(-∞, )和( ,+∞)上为减函数. 2 2 所以当 n=3 时,an 取得最小值-1,当 n=4 时,an 取得最大值 3. 引申探究

4

3 例 2 中,若条件变为 a1= ,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an}的通项公式. 5 解 由已知可得 即

an+1 an = +1, n+1 n

an+1 an 3 - =1,又 a1= , n+1 n 5

?an? a1 3 ∴? ?是以 = 为首项,1 为公差的等差数列, n 1 5 ? ?

an 3 2 ∴ = +(n-1)·1=n- , n 5 5
2 2 ∴an=n - n. 5 思维升华 等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数 n 都有 an+1-an 等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数 n 都有 2an+1=an+an+2 后,可递推得出 an+2-an+1=an+1-

an=an-an-1=an-1-an-2=?=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法:得出 an=pn+q 后,得 an+1-an=p 对任意正整数 n 恒成立,根据定义判定 数列{an}为等差数列. (4)前 n 项和公式法:得出 Sn=An +Bn 后,根据 Sn,an 的关系,得出 an,再使用定义法证明 数列{an}为等差数列. 1 2 1 1 * (1)在数列{an}中,若 a1=1,a2= , = + (n∈N ),则该数列的通项为 2 an+1 an an+2 ( )
2

1 A.an=

n
2

B.an=

2

n+1 n

C.an=

n+2

3 D.an=

答案 A 解析 由已知式 1 2

an+1 an an+2 an

1 1 = + 可得

an+1 an an+2 an+1
1 即 an= .

1 1 1 1 1 1 1 1 - = - ,知{ }是首项为 =1,公差为 - =2-1=1 的等差数列,所以 =n,

a1

a2 a1

an

n

(2)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. ①设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; ②求{an}的通项公式. ①证明 由 an+2=2an+1-an+2,
5

得 an+2-an+1=an+1-an+2, 即 bn+1=bn+2. 又 b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. ②解 由①得 bn=1+2(n-1)=2n-1, 即 an+1-an=2n-1.
n n

于是∑ (ak+1-ak)=∑ (2k-1), k=1 k=1 所以 an+1-a1=n ,即 an+1=n +a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n -2n+2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点 1 等差数列项的性质 例 3 (1)(2016·浙江五校第一次联考)已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=8π ,则{an}前 9 项的和 S9=______,cos(a3+a7)的值为________. (2)已知{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b10=9,a3+b8=15,则 a5+b6=________. 答案 (1)24π 1 - 2 (2)21
2 2 2

8π 9?a1+a9? 解析 (1)由 a1+a5+a9=3a5=8π ,解得 a5= ,所以{an}前 9 项的和 S9= =9a5 3 2 8π =9× =24π . 3 cos(a3+a7)=cos 2a5=cos 16π 4π 1 =cos =- . 3 3 2

(2)因为{an},{bn}都是等差数列,所以 2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以 2(a3+b8)=(a1+b10) +(a5+b6),即 2×15=9+(a5+b6),解得 a5+b6=21. 命题点 2 等差数列前 n 项和的性质 例 4 (1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=-12,S9=45,则 S12=________. (2)在等差数列{an}中, a1=-2 018, 其前 n 项和为 Sn, 若 - =2, 则 S2 018 的值等于( 12 10 A.-2 018 C.-2 019 答案 (1)114 (2)A 解析 (1)因为{an}是等差数列,所以 S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 成等差数列,所以 2(S6-S3) =S3+(S9-S6),即 2(S6+12)=-12+(45-S6),解得 S6=3.
6

S12 S10

)

B.-2 016 D.-2 017

又 2(S9-S6)=(S6-S3)+(S12-S9), 即 2×(45-3)=(3+12)+(S12-45),解得 S12=114. (2)由题意知,数列{ }为等差数列,其公差为 1, ∴ = +(2 018-1)×1 2 018 1

Sn n

S2 018

S1

=-2 018+2 017=-1. ∴S2 018=-2 018. 思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质:在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d?

am-an =d(m≠n),其几何意义是点(n, m-n

an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.
(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,则 ①S2n=n(a1+a2n)=?=n(an+an+1); ②S2n-1=(2n-1)an. (1)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11 等于( A.58 B.88 C.143 D.176 )

Sn 3n-2 a7 (2)等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若 = ,则 等于( Tn 2n+1 b7
A. C. 37 27 39 29 19 B. 14 D. 4 3

)

答案 (1)B (2)A 11?a1+a11? 11?a4+a8? 解析 (1)S11= = 2 2 = 11×16 =88. 2

a1+a13

2 a7 2a7 a1+a13 (2) = = = b7 2b7 b1+b13 b1+b13 2 = 3×13-2 37 = . 2×13+1 27

×13 S13 = T13 ×13

5.等差数列的前 n 项和及其最值
7

考点分析 公差不为 0 的等差数列, 求其前 n 项和与最值在高考中时常出现.题型有小题, 也 有大题,难度不大. 典例 1 (1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54,则此数列前 10 项的和 S10 等 于( A.45 C.75 ) B.60 D.90

(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则 S110=________. 解析 (1)由题意得 a3+a8=9, 10?a1+a10? 10?a3+a8? 10×9 所以 S10= = = =45. 2 2 2 (2)方法一 设数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 10×9 ? ?10a + 2 d=100, 则? 100×99 ? ?100a + 2 d=10,
1 1

1 099 ? ?a = 100 , 解得? 11 ? ?d=-50.
1

110×109 所以 S110=110a1+ d=-110. 2 ?a11+a100?×90 方法二 因为 S100-S10= =-90, 2 所以 a11+a100=-2, ?a1+a110?×110 ?a11+a100?×110 所以 S110= = =-110. 2 2 答案 (1)A (2)-110 典例 2 在等差数列{an}中,已知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10=S15,求当 n 取何值时,Sn 取得最大值,并求出它的最大值. 规范解答 解 ∵a1=20,S10=S15, 10×9 15×14 ∴10×20+ d=15×20+ d, 2 2 5 ∴d=- . 3 5 65 ? 5? 方法一 由 an=20+(n-1)×?- ?=- n+ , 3 3 ? 3? 得 a13=0.
8

即当 n≤12 时,an>0,当 n≥14 时,an<0. ∴当 n=12 或 n=13 时,Sn 取得最大值, 12×11 ? 5? 且最大值为 S12=S13=12×20+ ×?- ?=130. 2 ? 3? 方法二 Sn=20n+
*

n?n-1? ? 5? 5 2 125 5? 25?2 3 125 ·?- ?=- n + n=- ?n- ? + .
2

? 3?

6

6

6?

2?

24

∵n∈N ,∴当 n=12 或 n=13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 方法三 由 S10=S15,得 a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0,即 a13=0. ∴当 n=12 或 n=13 时,Sn 有最大值,且最大值为 S12=S13=130.

1.(2016·重庆一诊)在数列{an}中,an+1-an=2,a2=5,则{an}的前 4 项和为( A.9 C.24 答案 C B.22 D.32

)

解析 由 an+1-an=2,知{an}为等差数列且公差 d=2,∴由 a2=5,得 a1=3,a3=7,a4=9, ∴前 4 项和为 3+5+7+9=24,故选 C. 2.在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+a5+a6 等于( A.40 C.43 答案 B 解析 a1+a2+a3=3a2=15,∴a2=5, 又 a1=2,∴d=3,a4+a5+a6=3a5=3(a1+4d) =3×14=42. 3.(2016·佛山模拟)已知等差数列{an}满足 a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,则 n 的值 为( A.8 C.10 答案 C ) B.9 D.11 B.42 D.45 )

9

解析 由 Sn-Sn-3=51,得 an-2+an-1+an=51, 所以 an-1=17,又 a2=3,

n?a2+an-1? Sn= =100,解得 n=10.
2 4. (2016·绍兴柯桥区二模)各项均不为零的等差数列{an}中, 若 an+1=an-an-1(n∈N , n≥2), 则 S2 016 等于( )
2 *

A.0 B.2 C.2 015 D.4 032 答案 D 解析 由已知可得 an=2an(n≥2), ∵{an}各项均不为零, ∴an=2(n≥2), 又{an}为等差数列,∴an=2,∴S2 016=4 032. 5 5.已知数列{an}满足 an+1=an- ,且 a1=5,设{an}的前 n 项和为 Sn,则使得 Sn 取得最大值 7 的序号 n 的值为( A.7 C.7 或 8 答案 C 解析 5 5 由题意可知数列 {an} 是首项为 5 ,公差为- 的等差数列,所以 an = 5- (n - 1) = 7 7 ) B.8 D.8 或 9
2

40-5n ,该数列前 7 项是正数项,第 8 项是 0,从第 9 项开始是负数项,所以 Sn 取得最大值 7 时,n=7 或 n=8,故选 C. *6.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若

Sn 为常数,则称数列{an}为“吉祥数列”.已知等差数列 S2n
)

{bn}的首项为 1,公差不为 0,若数列{bn}为“吉祥数列”,则数列{bn}的通项公式为( A.bn=n-1 C.bn=n+1 答案 B 解析 设等差数列{bn}的公差为 d(d≠0), B.bn=2n-1 D.bn=2n+1

Sn =k,因为 b1=1, S2n
1 1 则 n+ n(n-1)d=k[2n+ ×2n(2n-1)d], 2 2

10

即 2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d, 整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0. 因为对任意的正整数 n 上式均成立, 所以(4k-1)d=0,(2k-1)(2-d)=0, 1 又公差 d≠0,解得 d=2,k= . 4 所以数列{bn}的通项公式为 bn=2n-1. 7.已知数列{an}中,a1=1 且 答案 1 4 1 1 = +(10-1)× =1+3=4, a10 a1 3 1 1

an+1 an 3

1 1 * = + (n∈N ),则 a10=________.

解析 由已知得 1 故 a10= . 4

8.设数列{an}的通项公式为 an=2n-10(n∈N ),则|a1|+|a2|+?+|a15|=________. 答案 130 解析 由 an=2n-10(n∈N )知{an}是以-8 为首项,2 为公差的等差数列,又由 an=2n-
*

*

10≥0,得 n≥5,∴当 n≤5 时,an≤0,当 n>5 时,an>0,∴|a1|+|a2|+?+|a15|=-(a1 +a2+a3+a4)+(a5+a6+?+a15)=20+110=130.

Sn 2n-3 a9 9. 设等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 若对任意自然数 n 都有 = , 则 Tn 4n-3 b5+b7


a3 的值为________. b8+b4
19 41

答案

解析 ∵{an},{bn}为等差数列, ∴ ∵ ∴

a9

b5+b7 b8+b4



a3



a9 a3 a9+a3 a6 + = = . 2b6 2b6 2b6 b6

S11 a1+a11 2a6 2×11-3 19 = = = = , T11 b1+b11 2b6 4×11-3 41 a9 a3 19 + = . b5+b7 b8+b4 41

10.(2017·浙江新高考预测三)设数列{an}满足:a1=1,a2=3,且 2nan=(n-1)an-1+(n+ 1)an+1,则 a20 的值是________. 答案 24 5

解析 由 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,得
11

nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan,
又因为 1×a1=1,2×a2-1×a1=5, 所以数列{nan}是首项为 1,公差为 5 的等差数列, 24 则 20a20=1+19×5,解得 a20= . 5 11.在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n, 所以 Sn=

n[1+?3-2n?]
2
2

=2n-n .

2

由 Sk=-35,可得 2k-k =-35, 即 k -2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N ,故 k=7. 1 12.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1= . 2
?1? (1)求证:? ?成等差数列; ?Sn?
* 2

(2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 当 n≥2 时,由 an+2SnSn-1=0, 1 1 得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以 - =2,

Sn Sn-1

1 1 又 = =2,

S1 a1

?1? 故? ?是首项为 2,公差为 2 的等差数列. ?Sn?

1 1 (2)解 由(1)可得 =2n,∴Sn= . Sn 2n 当 n≥2 时, 1 1 n-1-n 1 an=Sn-Sn-1= - = =- . 2n 2?n-1? 2n?n-1? 2n?n-1?

12

1 当 n=1 时,a1= 不适合上式. 2 1 ? ?2,n=1, 故 a =? 1 - ? ? 2n?n-1?,n≥2.
n

*13.已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且满足 2Sn=an+n-4(n∈N ). (1)求证:数列{an}为等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 当 n=1 时,有 2a1=a1+1-4, 即 a1-2a1-3=0, 解得 a1=3(a1=-1 舍去). 当 n≥2 时,有 2Sn-1=an-1+n-5, 又 2Sn=an+n-4, 两式相减得 2an=an-an-1+1, 即 an-2an+1=an-1,也即(an-1) =an-1, 因此 an-1=an-1 或 an-1=-an-1. 若 an-1=-an-1,则 an+an-1=1. 而 a1=3, 所以 a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾, 所以 an-1=an-1,即 an-an-1=1, 因此数列{an}是首项为 3,公差为 1 的等差数列. (2)解 由(1)知 a1=3,d=1, 所以数列{an}的通项公式 an=3+(n-1)×1=n+2, 即 an=n+2.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

*

13


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