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河北省唐山市2013届高三9月摸底考试(数学理)


试卷类型:B 唐山市 2012-2013 学年度高三年级摸底考试 理科数学
第I卷 一、选择题(共 60 分) (1)复数

3?i 3?i ? 的虚部为 2?i 2?i

(A)2i (B)-2i (C)2 (D)-2 (2)设集合 U=AUB, A={1,2,3}, A ? B={1},则 CU B = (A){2} (B) {3} (C) {1,2,3} (D) {2,3}

? x ? y ? ?1 ? (3)已知 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z=2x-y 的最大值为 ?3 x ? y ? 3 ?
(A) 2 (B)1
2

(C) -1
2

(D) 3

(4)已知双曲线

x y ? =1 的离心率为 2,则该双曲线的实轴长为 2 a 12 (A)2 (B)4 (C) 2 3 (D) 4 3
(A)

(5)若 tanθ =2,则 cos2θ =

4 5
x

(B)-
?x

4 5

(C)

3 5

(D)-

3 5

(6)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0. 3)内是增函数的是 (A) y= 2 ? 2 (C)y= log 0.5 | x | (B) y=cos x - (D) y=x+x 1

(7)在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC= 3 ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°,则该三棱锥 外接球的体积为 (A)2 ? (B)

? 3

(C)4 ?

(D)

(8) 要得到函数 y ? sin( (A)向左平移

?
3

4? 3

? x) 的图象,只需将函数 y ? sin(

?
6

? x) 的图象

? ? 个单位 (B)向右平移 单位 6 6 ? ? (C)向左平移 个单位 (D 向右平移 个单位 2 2
(9)空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 (A)6+2 5 (B)8+2 3 (C)8+2 5 (B)6+2 3 (10)一名小学生的年龄和身高(单位:cm) 的数据如下: 6 7 8 年龄 x 118 126 136 身高 y

9 144

? 由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归直线方程为 ? ? 8.8x ? a ,预测该学生 y 10 岁时的身高为

(A) 154

.(B) 153

(C) 152

(D) 151

(11)己知△ABC 的外心、重心、垂心分别为 O,G,H,若 OH ? ? OG ,则 ? = (A)3 (B)2 (C)

????

????

(12)已知函数 f(x)满足 f(x+1) [f(x)+1]=1。当 x ? [0,1]时,f(x)=x,若 g(x) =f(x)-m(x+1)在区间(-1,2]有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是 (A) (0,

1 2

(D)

1 3

1 ) 2

(B) [ , ) 第 II 卷

1 1 3 2

(C) [ , )

1 1 6 2

(D) (0, )

1 3

二、城空题:本大题共 4 小颐,每小题 5 分,共 20 分。 (13)函数 y ?

4 ? x2 的定义域为_____ ln( x ? 1)

(14)执行右图所示的程序框图,则输出的 z 是_____ (15)以抛物线 y2=4x 上的点 A(4.,4)为圆心,且与抛物线 的准线相切的圆被 x 轴截得的弦长为____ (16)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若(a-b)sinB=asinA-csin C., a2+b2-6(a+b)+18=0, 且 则 AB?BC ? BC ? ? CA?AB =___ CA 三、解答题:本大题共 70 分。 考题(22). (23), (24)题为选考题.解答应写出文字说明、 证明过理或演算步理. (17) (本题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 Sn=

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ?

2 n (8 ? 1) . 7

(I)求数列{ an }的通项公式 an ; (II)设 bn ? log 2 an ,求

1 1 1 。 ? ?? ?? ? b1b2 b2b3 bnbn?1

(18)(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC. AB=AC=l,∠BAC=120,异面直线 B1C 与 A1C1 所成的角为 60°。 (I)求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积: (II)求二面角 B1-AC-B 的余弦值.

(19)(本小题满分 12 分) 某生产线生产的产品等级为随机变量 X.,其分布列: X 1 2 3 P 0.5 a b 设 E(X)=1.7。 (I)求 a. b 的值 (II)已知出售一件 1 级,2 级,3 级该产品的利润依次为 306 元,100 元,0 元.在 该产品生产线上随机抽取两件产品并出售,设出售两件产品的利润之和为 Y,求 Y 的分 布列和 E(Y) .

(20)(本小题满分 12 分) 设动点 M(x, y)到直线 y=3 的距离与它到点 F(0, 1)的距离之比为 3 ,点 M 的轨迹为曲线 E. (I)求曲线 E 的方程: (II)过点 F 作直线 l 与曲线 E 交于 A, B 两点,且 AF ? ? FB .当 2 ? ? ? 3 时,求 直线 l 斜率 k 的取值范围·

??? ?

??? ?

(21)(本小胭满分 12 分) 已知函数 f (x)=x3 十 bx2+cx+d. (I)当 b=0 时,证明:曲线 y=f(x)与其在点(0, f(0))处的切线只有一个公共点; 〔2)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为 12x.+y-13=0,且它们只有一个公共 点,求函数 y=f(x)的所有极值之和.

请考生在第(22), (23), (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22)(本小题清分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,圆 O 的圆心 O 在 Rt△ABC 的直角边 BC 上,该圆与直角边 AB 相切,与斜边 AC 交于 D,E,AD=DE=EC,AB= 14 。 (I)求 BC 的长; (II)求圆 O 的半径。

(24)(本小题满分 IO 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f(x)=|x+1|一|x-2|. (I)若不等式 f(x)}≤a 的解集为 (??, ] .求 a 的值; (II)若 ?x ? R. f(x)十 4m<m2,求 m 的取值范围.

1 2

唐山市 2012—2013 学年度高三年级摸底考试

理科数学参考答案
一、选择题: A 卷:ADCBD B 卷:CDABD 二、填空题: AABCC DB ADBCB AC (15)6 27 (16)- 2

(13)(-1,0)∪(0,2] 三、解答题: (17)解:

(14)17

2 (Ⅰ)a1=S1= 7 (81-1)=2. 2 2 - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 7 (8n-1)- 7 (8n 1-1)=23n 2.

…1 分

当 n=1 时上式也成立,所以 an=23n 2(n∈N*) . …6 分 - (Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=log2 23n 2=3n-2, …7 分 所以 1 1 1 1 1 1 b1b2+b2b3+…+bnbn+1=1×4+4×7+…+(3n-2)(3n+1) 1 1 1 1 1 1 = 3 1- 4 + 4 - 7 +…+ - 3n-2 3n+1 1 1 n = 3 1- = . …12 分 3n+1 3n+1 (18)解: (Ⅰ)如图,以 A 为原点,AC 为 y 轴,AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系. 设 AA1=a(a>0) ,依题意得 z 3 1 B1 2 ,- 2 ,a ,A (0,0,0),C (0,1,0). →= - 3, 3 ,-a , B1C 2 2



[( (

) (

)

(

)]

)

(

)

(

)

→ AC A1C1=→=(0,1,0), 由异面直线 B1C 与 A1C1 所成的角为 60?,知 → → B1C ___________ →,A C ?|=|→·A1C1| → |cos ? B C →
1 1 1

| B1C ||A1C1|

A C y

3 1 = …4 分 B 2= 2 ,解得 a= 6. x 2 3+a 所以三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 1 1 3 3 2 V= 2 AB·ACsin 120?·AA1= 2 ×1×1× 2 × 6= 4 . 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,→= - 2 , 2 ,- 6 . B1C

…6 分

(

)

设 n=(x,y,z)为面 ACB1 的法向量,则 n·→=0,n·→=0, AC B1C ?y=0, ? 3 3 则? ?- 2 x+ 2 y- 6z=0. ?

取 z=1,得 x=-2 2,于是 n=(-2 2,0,1). …9 分 又 m=(0,0,1)为面 ACB 的一个法向量, m·n 1 所以 cos ?m,n?= =3. |m||n| 1 因此二面角 B1-AC-B 的余弦值为 3 . …12 分 (19)解: ?0.5+a+b=1, (Ⅰ)依题意,? ?0.5+2a+3b=1.7. 解得 a=0.3,b=0.2. …4 分 (Ⅱ)Y 的所有可能取值为 0,100,200,300,400,600. P (Y=0)=0.22=0.04,P (Y=100)=C10.2×0.3=0.12, 2 P (Y=200)=0.32=0.09,P (Y=300)=C10.2×0.5=0.2, 2 P (Y=400)=C10.3×0.5=0.3,P (Y=600)=0.52=0.25. …8 分 2 Y 的分布列为 Y 0 100 200 300 400 600 P 0.04 0.12 0.09 0.2 0.3 0.25 …10 分 E (Y)=0×0.04+100×0.12+200×0.09+300×0.2+400×0.3+600×0.25 =360(元) . …12 分 (20)解: (Ⅰ)根据题意,|y-3|= 3· x2+(y-1)2. 化简,得曲线 E 的方程为 3x2+2y2=6. …4 分 (Ⅱ)直线 l 方程为 y=kx+1,代入曲线 E 方程,得 (2k2+3)x2+4kx-4=0. …6 分 设 A (x1,y1),B (x2,y2),则 4k x1+x2=- 2 , ① 2k +3 4 x1x2=- 2 . ② 2k +3

→=λ→即(-x ,1-y )=λ(x ,y -1), AF FB
1 1 2 2

由此得 x1=-λx2. 1 3 λ 由①②③,得 2 +4k2= = (λ-1)2

③ 1 2. λ- λ 1

(

)

…9 分

2 1 2 3 3 因为 2≤λ≤3,所以 2 ≤ λ- ≤ 3 ,从而 4 ≤ λ 3 1 3 1 解不等式 4 ≤ 2 +4k2≤2,得 2 ≤k2≤3.

1

(

λ-

1 2≤2, λ

)

2 2 故 k 的取值范围是 - 3,- 2 ∪ 2 , 3 . (21)解: (Ⅰ)当 b=0 时,f (x)=x3+cx+d,f ?(x)=3x2+c. f (0)=d,f ?(0)=c. 曲线 y=f (x)与其在点(0,f (0))处的切线为 y=cx+d. ?y=x3+cx+d, 由? 消去 y,得 x3=0,x=0. ?y=cx+d, 所以曲线 y=f (x)与其在点(0,f (0))处的切线只有一个公共点即切点. (Ⅱ)由已知,切点为(1,1).

[

] [

]

…12 分

…2 分

…5 分

又 f ?(x)=3x2+2bx+c,于是 ?f (1)=1, ?1+b+c+d=1, ? 即? 得 c=-2b-15,d=b+15. ?f ?(1)=-12, ?3+2b+c=-12, 3 2 从而 f (x)=x +bx -(2b+15)x+b+15. …8 分 3 2 ?y=x +bx -(2b+15)x+b+15, 由? 消去 y,得 x3+bx2-(2b+3)x+b+2=0. ?12x+y-13=0, 因直线 12x+y-13=0 与曲线 y=f (x)只有一个公共点(1,1), 则方程 x3+bx2-(2b+3)x+b+2=(x-1)[x2+(b+1)x-b-2] =(x-1) (x-1) (x+b+2) 故 b=-3. …10 分 于是 f (x)=x3-3x2-9x+12,f ?(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3). 当 x 变化时,f ?(x),f (x)的变化如下: x 3 (-∞,-1) -1 (-1,3) (3,+∞) 0 0 f ?(x) + - + f (x) ↗ 极大值 17 ↘ 极小值-15 ↗ 由此知,函数 y=f (x)的所有极值之和为 2. …12 分 (22)解: 1 2 (Ⅰ)由已知及由切割线定理,有 AB2=AD·AE= 3 AC· 3 AC, 9 所以 AC2= 2 AB2. …3 分 由勾股定理得,BC= AC2-AB2=7.
A D E C F B

…5 分

O

(Ⅱ)设圆 O 与 BC 的交点为 F,圆 O 的半径为 r. 1 2 由割线定理,得 CF·CB=CE·CD= 3 AC· 3 AC=AB2, 5 即(7-2r)×7=14,解得 r= 2 .

…8 分 …10 分

(23)解: (Ⅰ)曲线 C1 的极坐标方程化为 ρ=sin θ+ 3cos θ, 两边同乘以 ρ,得 ρ2=ρsin θ+ 3ρcos θ, 则曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+y2=y+ 3x,即 x2+y2- 3x-y=0. …3 分 1 3 曲线 C2 的极坐标方程化为 2 ρsin θ+ 2 ρcos θ=4, 1 3 则曲线 C2 的的直角坐标方程为 2 y+ 2 x=4,即 3x+y-8=0. …6 分 32 1 2 (Ⅱ)将曲线 C1 的直角坐标方程化为 x- 2 + y- 2 =1, 3 1 它表示以 2 , 2 为圆心,以 1 为半径的圆. 该圆圆心到曲线 C2 即直线 3x+y-8=0 的距离

(

) (

)

(

)

3 1 3× 2 + 2 -8 d= =3, 2 所以|AB|的最小值为 2. (24)解: ?-3, x<-1, ? (Ⅰ)f (x)=?2x-1,-1≤x≤2,其图象如下: ?3, x≥2. ?

|

|

…8 分 …10 分

y 3

-1 -1

O 1 2 2 x

-3

…3 分 1 当 x= 2 时,f (x)=0. 1 1 当 x< 2 时,f (x)<0;当 x> 2 时,f (x)>0. 所以 a=0. (Ⅱ)不等式 f (x)+4m<m2,即 f (x)<m2-4m. 因为 f (x)的最小值为-3,所以问题等价于-3<m2-4m. 解得 m<1,或 m>3. 故 m 的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).

…6 分

…10 分


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