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2014理科数学高考压轴题(含详案)Microsoft Word 文档


压轴题周末检测(2.21)
1.(山东省实验中学)已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? ln x a ? R. (1)若函数 f ( x ) 在 ?1,2? 上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g ( x ) ? f ( x ) ? x 2 是否存在实数 a ,当 x ? (0, e]( e 是自然常数)时,函数 g ( x ) 的 最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x ? (0, e] 时,证明: 2 2 5 e x ? x ? ( x ? 1) ln x 2

3. (09 湖南)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直 线 x=2 的距离的 3 倍之和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。

x2 y2 ? ?1 4. 已知椭圆 2 4 两焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆在第一象限弧上一点,并满足
PF1 ? PF2 ? 1 ,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点.

2.已知 a , b ? R,函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x 2 ? ax ? b 的图象经过点 A(0,2) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 A 处的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行,求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 [1,??) 上为减函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)令 a ? ?1 , c ? R,函数 g ( x) ? c ? 2cx ? x 2 .若对任意 x ? (?1,??) ,总存在
1

(Ⅰ)求 P 点坐标; (Ⅱ)求证直线 AB 的斜率为定值; (Ⅲ)求△PAB 面积的最大值.
B

y A F1 P

O F2

x

x2 ?[?1,??) ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 c 的取值范围.

5.已知椭圆 C 的一个顶点为 A(0, ?1) ,焦点在 x 轴上,右焦点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 (1)求椭圆 C 的方程; ??? ? ??? ? (2)过点 F(1,0)作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,设 FA ? ? FB, T (2, 0) , 若 ? ? [?2,?1], 求 | TA ? TB | 的取值范围。

6 . ?ABC 的 内 切 圆 与 三 边 AB, BC, CA 的 切 点 分 别 为 D, E , F , 已 知
B(? 2 ,0), C ( 2 ,0) ,内切圆圆心 I (1, t ), t ? 0 ,设点 A 的轨迹为 L . (1)求 L 的方程; (2)过点 C 的动直线 m 交曲线 L 于不同的两点 M , N (点 M 在 x 轴的上方) ,问在 x 轴 ???? ? ???? ???? ???? QM ? QC QN ? QC 上是否存在一定点 Q ( Q 不与 C 重合) ,使 ???? ? ? ???? 恒成立,若存在,试求 QM QN

出 Q 点的坐标;若不存在,说明理由.

y A D

.I
B O E

F x

C

压轴题周末检测答案(2.21)
1.【解析】 : (1)

f ' ( x) ? 2 x ? a ?

在 ?1,2? 上恒成立, 1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ?0 x x 得

(Ⅱ)函数 f ( x) 在 [1,??) 上为减函数, 所以 ? 0 在 [1,??) 上恒成立, 1

令 h( x ) ? 2 x 2 ? ax ? 1 ,有 ?h(1) ? 0

? ?h ( 2 ) ? 0

?a ? ?1 ? ? 7, a ? ? ? ? 2

……………………… 4 分



a??

7 2

………………… 5 分

? 2x ? a x ?1 所以 1 在 [1,??) 上恒成立. ……6 分 a ? 2x ? x ?1 令 . 1 ,则 1 g ( x) ? 2 x ? g ?( x) ? 2 ? x ?1 ( x ? 1) 2
因为 x ? 1 ,所以 g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 [1,??) 为增函数, 所以 所以

f ?( x) ?

(2)假设存在实数 a ,使 g ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] )有最小值 3, ……………………………………………6 分 1 ax ? 1 g ( x) ? a ? ? x x ① 当 a ? 0 时, g ( x ) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x ) , , 4 (舍去) min ? g ( e) ? ae ? 1 ? 3 a? e ②当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增 1 1 1 g ( x) 0? ?e (0, ) ( , e] a a a 2 , a ? e ,满足条件. ? 1 g ( x ) min ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 a ③当 1 时, g ( x ) 在 (0, e] 上单调递减, g ( x ) , , 4 (舍去) min ? g ( e) ? ae ? 1 ? 3 ?e a? a e 2 综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 g ( x) 有最小值 3. ……………………10 分
'

g ( x) min ? g (1) ? 2 ?

1 7, ? 4 4

7. 4 经检验, a 的取值范围是 a?

……9 分 7 . (??, ] 4 (Ⅲ)若对任意 x ? (?1,??) ,总存在 x ?[?1,??) ,使得 f ( x ) ? g ( x ) 成立,则函数 f ( x) 1 2 1 2 在 (?1,??) 上的值域是函数 g ( x) 在 [?1,??) 上的值域的子集. 对于函数 f ( x) ,因为 a ? ?1 ,所以 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x 2 ? x ? b , 又因为过点 A(0,2) ,所以 b ? 2 , 所以 f ( x) ? ln( x ? 1) ? x 2 ? x ? 2 ,定义域 (?1,??) . 1 ? 2 x 2 ? 3x .

(3)令 F ( x) ? e 2 x ? ln x ,由(2)知, F ( x)

min

? 3 .令

? ( x) ?

ln x 5 , ' 1 ? ln x , ? ? ( x) ? x 2 x2

当 0 ? x ? e 时, ? ' ( x) ? 0 , h( x ) 在 (0, e] 上单调递增 ∴

1 5 1 5 ? ? ?3 e 2 2 2 ln x 5 即 2 2 5 ? ( x ? 1) ln x .………14 分 ? e 2 x ? ln x ? ? , e x ? x x 2 2

? ( x) max ? ? (e) ? ?

? 2x ? 1 ? x ?1 x ?1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 , . 3 (舍去) 1 x2 ? ? 2 当 x 变化时, f ( x) 与 f ?( x) 的变化情况如下表:

f ?( x) ?

2.【解析】 (Ⅰ)

, x ? ?1 . 1 ? 2x ? a x ?1 则在 A 点出的切线的斜率为 f ?(0) = 1 ? a ? 3 ,

f ?( x) ?

……2 分

所以 a ? 2 .

……4 分

所以 f ( x) ,所以 f ( x) 的值域为 (??,2] . max ? f (0) ? 2

……12 分

对于函数 g ( x) ? ? x 2 ? 2cx ? c ? ?( x ? c) 2 ? c ? c 2 . (ⅰ)当 c ? ?1 时, g ( x) 的最大值为 g (?1) ? ?1 ? 2c ? c ? ?1 ? c ,

g ( x) 值域为 (??,?1 ? c] ,
所以 (??,2] ? (??,?1 ? c] ,即以 ? 1 ? c ? 2 ,解得 c ? ?3 , 所以 c ? ?3 . (ⅱ)当 c ? ?1 时, g ( x) 的最大值为 g (c ) ? c 2 ? c , g ( x) 值域为 (??, c 2 ? c] . 所以 (??,2] ? (??, c 2 ? c] ,即 c 2 ? c ? 2 ,解得 c ? ?2 或 c ? 1, 所以 c ? 1. ……14 分

(Ⅱ)如图 2 所示,易知直线 x=2 与 C1 C2 k , 的交点都是 A(2,2 6 ) ,B (2,?2 6 ) ,直线 AF,BF 的斜率分别为 AF = ?2 6 , k BF 2 6 = . 当点 P 在 上时,由②知 1 PF ? 6 ? x 2 . C 当点 P 在 2 上时,由③知 PF ? 3 ? x
C1



综上所述, c 的取值范围是 (??,?3] ? [1,??) .

3.解(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y) ,则 由题设 1 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 6 ? x, 2 当 x>2 时,由①得 化简得 当 x ? 2时
x2 y 2 ? ? 1. 36 27

d ? 4 ( x ? 3) 2 ? y 2 ?



3︳x-2︳

若直线 l 的斜率 k 存在,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) k k x y (i) 当 k≤ AF , 或 k≥ BF , 即 k≤-2 6 时, 直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M ( 1, 1) , N( )都在 C 1 x ∣MF∣= 6 - 2 1 上,此时由④知 1 x ∣NF∣= 6 - 2 2 1 1 1 x x x x 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 - 2 1 )+ (6 - 2 2 )=12 - 2 ( 1 + 2 ) ? y ? k ( x ? 3) ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 2 2 ? x y 36 27 ? 由 得 (3 ? 4k ) x ? 24k x ? 36k ? 108 ? 0 则 1 , 1 是这个方程的两根,所 24k 2 12k 2 1 2 2 x x x x 以 1 + 2 = 3 ? 4k *∣MN∣=12 - 2 ( 1 + 2 )=12 - 3 ? 4k
1
2 因为当 k ? 2 6, 或k ? 2 6时, k ? 24, 12k 2 12 100 MN ? 12 ? ? 12 ? ? . 2 1 3 ? 4k 11 ?4 k2 当且仅当 k ? ?2 6 时,等号成立。

x2



y2

由①得

(3 ? x) 2 ? y 2 ? 3 ? x,

化简得 y ? 12 x 故点 P 的轨迹 C 是椭圆 x2 y 2 C1 : ? ?1 36 27 在直线 x=2 的右侧
2

C : y 2 ? 12 x 部分与抛物线 2 在直线 x=2 的左侧部分(包括它与直线 x=2 的交点)所组成的曲线,参见图 1

(2) 当

kA k ?k A ? , 2 6? k? 2 6 E ? N

时, 直线 L 与轨迹 C 的两个交点

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

1 MF ? 6 ? x1 , NF ? 3 ? x2 2 分别在 上,不妨设点 M 在 上,点 上,则④⑤知, C ( x , y ), 则x0 ? x1 , x2 ? 2. 设直线 AF 与椭圆 1 的另一交点为 E 0 0 1 1 MF ? 6 ? x1 ? 6 ? x0 ? EF , NF ? 3 ? x2 ? 3 ? 2 ? AF 2 2 MN ? MF ? NF ? EF ? AF ? AE C 所以 。而点 A,E 都在 1 上,且 100 100 AE ? , 所以 MN ? k AE ? ?2 6, 11 11 有(1)知 x x 若直线 ? 的斜率不存在,则 1 = 2 =3,此时 1 100 MN ? 12 ? ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 2 11 100 综上所述,线段 MN 长度的最大值为 11 。
C1 , C2 C1 C2

?y ? 2x ? m ? ? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 由? 2 4 ,得 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 ,
2 2 由 ? ? (2 2m) ? 16(m ? 4) ? 0 ,得 ? 2 2 ? m ? 2 2

P 到 AB 的距离为 则
?
S ?PAB ?

d?

|m| 3 ,

|m| 1 1 1 | AB | ?d ? (4 ? m 2 ) ? 3 ? 2 2 2 3

当且仅当 m ? ?2 ? ?? 2 2 ,2 2 ? 取等号

1 2 1 m2 ? m2 ? 8 2 m (?m 2 ? 8) ? ( ) ? 2 8 8 2 。

∴三角形 PAB 面积的最大值为 2 。
5.解: (1)由题意得:

4.解: (Ⅰ)由题可得 F1 (0, 2 ) , F2 (0 ? 2 ) ,设 P0 ( x0 , y 0 ) ( x0 ? 0, y 0 ? 0) 则 PF1 ? (? x0 , 2 ? y 0 ) , PF1 ? (? x0 ,? 2 ? y0 ) ,
2 2 2 x0 y0 4 ? y0 2 ? ? 1 x ? 0 2 ,从而 ∴ PF1 ? PF2 ? x ? (2 ? y ) ? 1 ,∵点 P( x0 , y0 ) 在曲线上,则 2 4 ,∴ 2 4 ? y0 2 ? (2 ? y0 ) ?1 2 ,得 y0 ? 2 .则点 P 的坐标为 (1, 2 ) .
2 0 2 0

| c ? 1| ? 2 ?c ? 1…………………1 分 2 由题意 b ? 1,? a ? 2 x2 ? y 2 ? 1 ………………………3 分 所以椭圆方程为 2

(2)容易验证直线 l 的斜率不为 0。 故可设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1 ,

(Ⅱ)由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k (k ? 0) ,
? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? ? x2 y2 2 2 ?1 ? ? 则 BP 的 直 线 方 程 为 : y ? 2k ( x ? 1) . 由 ? 2 4 得 ( 2 ? k ) x ? 2k ( 2 ? k ) x

x2 ? y 2 ? 1 中,得 (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ? 1 ? 0. 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 代入
1 则 y1 ? y 2 ? ? 2k y1 y 2 ? ? . ……………………………5 分 2 2 k ?2 k ?2
∵ FA ? ? FB, ∴有 y1 ? ?,且? ? 0.
y2

2k (k ? 2 ) 2k (k ? 2 ) k 2 ? 2 2k ? 2 1 ? xB ? , xB ? ?1 ? 2 2 2 ? ( 2 ? k ) ? 4 ? 0 ,设 B( xB , y B ) ,则 2?k 2?k 2 ? k2 ,
k ? 2 2k ? 2) 4 2k 8k x A ? xB ? y A ? y B ? ?k ( x A ? 1) ? k ( xB ? 1) ? 2 2 2?k 2?k , 2 ? k2 . 同理可得 ,则 y ? yB k AB ? A ? 2 x A ? xB 所以:AB 的斜率 为定值. xA ?
2

?

( y1 ? y2 ) 4k 1 4k 2 ?? 2 ??? ?2?? 2 y1 y2 k ?2 ? k ?2
2 2



(Ⅲ)设 AB 的直线方程: y ? 2 x ? m .

1 1 ??? ?2?0 ? 2 ? 2 1 4k 2 2 ?? ?? 2 ? 0 ? k 2 ? ? 0 ? k 2 ? …………7 分 2 7 7. k ?2 ∵ TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x 2 ? 2, y 2 ),? TA ? TB ? ( x1 ? x 2 ? 4, y1 ? y 2 ).

? ? [?2,?1] ? ? ? ? ?

5 2

1

? ?2 ? ?

2k 4(k 2 ? 1) , ? x ? x ? 4 ? k ( y ? y ) ? 2 ? ? . 1 2 1 2 k2 ? 2 k2 ? 2 2 2 2 故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x 2 ? 4) ? ( y1 ? y 2 )
又 y1 ? y 2 ? ?

? tan ?MQC ? kQM ?

y1 y2 ,使 ?MQC ? ?NQC ,只需 , tan ?NQC ? ?kQN ? ? x1 ? x0 x2 ? x0

16(k 2 ? 1) 2 4k 2 16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 ? ? (k 2 ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2 28 8 ……………………………………………………8 分 ? 16 ? 2 ? 2 k ? 2 (k ? 2) 2 1 2 7 1 1 7 1 令t ? 2 .? 0 ? k 2 ? ∴ ? 2 ? ,即 t ? [ , ]. 7 16 k ? 2 2 16 2 k ?2 7 17 ∴ | TA ? TB | 2 ? f (t ) ? 8t 2 ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) 2 ? . 4 2 7 1 169 而 t ? [ , ] ,∴ f (t ) ? [4, ] 16 2 32 13 2 ∴ | TA ? TB |? [2, ]. ………………………………………………………10 分 8 ?
6. 【解】 (1)设点 A( x, y ) ,由题知 AB ? AC ? BD ? CE ? BE ? CE

tan ?MQC ? tan ?NQC 成立,即

y1 y2 ?? ,即 x 2 y1 ? x0 y1 ? x1 y 2 ? x0 y 2 ? 0 , x1 ? x0 x 2 ? x0

? ( y1 ? y 2 ) x0 ? x2 ? k ( x1 ? 2 ) ? x1 ? k ( x2 ? 2 ) ? 2kx1 x2 ? 2 x( x1 ? x2 ) ,即 ???? ? ??? ? ???? ??? ? 2 2 2k 2k 2 QM ? QC QN ? QC ,故 x 0 ? ,故所求的点 Q 的坐标为 ( ,0) 时, ???? x0 ? 2 ? ? ???? 恒 2 2 k 2 ?1 k ?1 QM QN
成立. ………………………12 分

? BO ? OE ? ? OC ? OE ? ? 2 OE ? 2 ,根据双曲线定义知,点 A 的轨迹是以 B, C 为焦点,实
轴长为 2 的双曲线的右支(除去点 E ) ,故 L 的方程为 x ? y ? 1( x ? 1) . …4 分
2 2

(2)设点 Q( x0 ,0), M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) .

???? ? ???? ???? ? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ? ???? ???? ???? QM ? QC cos ? QM , QC ? QN QC cos ? QN , QC ? QM ? QC QN ? QC ? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? ???? | QM | | QN | QM QN

……………………… 6 分 ? cos ?MQC ? cos ?NQC ,? ?MQC ? ?NQC ① 当 直 线 MN ? x 轴 时 , 点 Q ( x 0 ,0) 在 x 轴 上 任 何 一 点处 都 能使 得 ?MQC ? ?NQC 成 立. ………………………7 分
2 2 ? ?x ? y ? 1 ② 当 直 线 MN 不 与 x 轴 垂 直 时 , 设 直 线 MN : y ? k ( x ? 2 ) , 由 ? 得 ? ? y ? k(x ? 2)

(1 ? k 2 ) x 2 ? 2 2k 2 x ? (2k 2 ? 1) ? 0
? x1 ? x2 ? 2 2k 2 2k 2 ? 1 , x x ? 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1
…………… 9 分

? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? 2 ) ? k ( x 2 ? 2 ) ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 2k ?

2 2k k 2 ?1


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