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浙江省绍兴一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省绍兴一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (3 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},则?UA=() A.? B.{2,4,6} C.{1,3,6,7} D.{1,3,5,7} 2. (3 分)下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是() A.y=|x| C. B. y= D.y=logaa (a>0,且 a≠1)
x

3. (3 分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() A.y=﹣|x|(x∈R) C. B. y=﹣x ﹣x(x∈R) D.
3

4. (3 分)若 a= A.a>b>c B.b>a>c

0.8,则() C.c>a>b D.b>c>a

5. (3 分)已知函数

那么

的值为()

A.

B. 4
2

C . ﹣4

D.

6. (3 分)函数 f(x)=x ﹣2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范 围() A.(﹣∞,4] B.(﹣∞,5] C.[5,+∞) D.[4,5] 7. (3 分)已知函数 f(x)定义域是[﹣2,3],则 y=f(2 ﹣1)的定义域是() A.(﹣∞,2] B.[﹣1,4] C.[2,+∞) D.
x

8. (3 分)若函数 f(x) ,g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)﹣g(x)=x﹣ 1,则有() A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2) C. f(2)<g (0)<f(3) D. g(0)<f(2)<f(3)

9. (3 分) 若奇函数 f (x) =ka ﹣a (a>0 且 a≠1) 在 R 上是增函数, 那么的 g (x) =loga (x+k) 大致图象是()

x

﹣x

A.

B.

C.

D.

10. (3 分)设函数 f(x)=x﹣ ,对任意 x∈[1,+∞) ,f(mx)+mf(x)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 不能确定

B.(1,+∞)

C. (﹣∞,﹣1) D.

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11. (4 分)﹣3∈{a﹣3,a +1},求 a 的值. 12. (4 分) 的值为.
2

13. (4 分)若幂函数 f(x)=x

m﹣1

在(0,+∞)上是减函数,则实数 m 的取值范围是.
x

14. (4 分)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x?e ,则 x<0 时, f(x)=.

15. (4 分)函数

的单调减区间为.

16. (4 分)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若 f(lnx)>f(1) , 则 x 的取值范围是.

17. (4 分) 已知函数 y=f (x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x≥0 时, ( f x) =
2



若关于 x 的方程[f(x)] +a?f(x)+b=0(a、b∈R)有且只有 7 个不同实数根,则 a+b 的值是.

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 42 分) 18. (8 分)已知 U=R,A={x|1<x<5},B={x|x>4 或 x<2},C={x|3a﹣2<x<4a﹣3} (1)求 A∩B,?U(A∪B) ; (2)若 C?A,求 a 的取值范围. 19. (8 分)设函数 f(x)=3?log2(4x) , ≤x≤4; (1)若 t=log2x,求 t 取值范围; (2)求 f(x)的最值,并给出最值时对应的 x 的值. 20. (8 分)已知函数 f(x)=a +1, (a>0 且 a≠1)恒过定点(3,2) ,若将函数 f(x)的图 象向下平移 1 个单位,再向左平移 a 个单位后得到函数 g(x) ; (1)求实数 a 的值与 g(x)的解析式; (2)求函数 h(x)= 的值域.
x﹣a

21. (8 分)设函数 f(x)=a ﹣ma +m﹣1(a>0,且 a≠1) ; (1)若 m=1,解不等式 f(x)>0; (2)若 a=2,且方程 f(x)=﹣3 有两个不同的正根,求 m 的取值范围. 22. (10 分)定义:若函数 f(x)对于其定义域内的某一数 x0,有 f(x0)=x0,则称 x0 是 f 2 (x)的一个不动点.已知函数 f(x)=ax +(b+1)x+b﹣1(a≠0) . (1)当 a=2,b=7 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对任意的实数 b,函数 f(x)恒有两个不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y=f(x)图象上两个点 A、B 的横坐标是函数 f(x)的不动点, 且 A、B 的中点 C 在函数 g(x)=﹣x+ 的图象上,求 b 的最小值.

2x

x+1

2014-2015 学年浙江省绍兴一中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (3 分)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},则?UA=() A.? B.{2,4,6} C.{1,3,6,7} D.{1,3,5,7} 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由全集 U,以及 A,求出 A 的补集即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5}, ∴?UA={1,3,6,7}, 故选 C 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 2. (3 分)下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是() A.y=|x| C. B. y= D.y=logaa (a>0,且 a≠1)
x

考点: 专题: 分析: 即可. 解答:

判断两个函数是否为同一函数. 函数的性质及应用. 根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,这样的函数是同一函数,进行判断 解:对于 A,y=|x|(x∈R) ,与 y=x(x∈R)的对应关系不同,不是同一函数; =|x|(x∈R) ,与 y=x(x∈R)的对应关系不同,不是同一函数; =x(x≥0) ,与 y=x(x∈R)的定义域不同,不是同一函数;
x

对于 B,y= 对于 C,y=

对于 D,y=logaa =x(x∈R) ,与 y=x(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数. 故选:D. 点评: 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,解题时应判断它们的定义域是否 相同,对应关系是否也相同,是基础题. 3. (3 分)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() 3 A.y=﹣|x|(x∈R) B. y=﹣x ﹣x(x∈R) C. D.

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 证明题. 分析: 依据函数的奇函数性质与函数是减函数的性质对四个选项中的函数进行判断,找出 符合条件的选项 解答: 解:A 选项不正确,因为 y=﹣|x|(x∈R)是一个偶函数,且在定义域内不是减函数; 3 B 选项正确,y=﹣x ﹣x(x∈R)是一个奇函数也是一个减函数;

C 选项不正确, D 选项不正确,

是一个减函数,但不是一个奇函数; 是一个奇函数,但在定义域上不是减函数.

综上,B 选项正确 故选 B 点评: 本题考查函数奇偶性的判断与函数单调性的判断,解题的关键是对四个选项中所涉 及的四个函数的性质比较熟悉, 方能快速判断出正确结果, 对一些基本函数的性质的记忆是快 速解答此类题的关键.

4. (3 分)若 a= A.a>b>c B.b>a>c

0.8,则() C.c>a>b D.b>c>a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵ >1,0< <1,c=log20.8<0.

∴a>b>c. 故选:A. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题.

5. (3 分)已知函数

那么

的值为()

A.

B. 4

C . ﹣4

D.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数在定义域内的不同区间上的解析式不同,将自变量代入相应的区间的 解析式即可. 解答: 解:∵ ∴ ,∴ . = = =﹣2,

故选 A. 点评: 理解分段函数在定义域内的不同区间上的对应法则不同是解题的关键. 6. (3 分)函数 f(x)=x ﹣2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范 围() A.(﹣∞,4] B.(﹣∞,5] C.[5,+∞) D.[4,5]
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可以利用二次函数的图象特征得到函数 f(x)的单调递减区间,根据函数 f(x) 在区间(﹣∞,4]上是减函数,得到区间之间的关系,从而求出 a 的取值范围,得到本题结论. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣2(a﹣1)x+2 的对称轴为 x=a﹣1, 2 ∴函数 f(x)=x ﹣2(a﹣1)x+2 的图象开口向上,在区间(﹣∞,a﹣1]上单调递减, (a﹣1, +∞)上单调递增. 2 ∵函数 f(x)=x ﹣2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数, ∴4≤a﹣1, ∴a≥5. 故答案为:C. 点评: 本题考查了函数的单调性,本题难度不大,属于基础题. 7. (3 分)已知函数 f(x)定义域是[﹣2,3],则 y=f(2 ﹣1)的定义域是() A.(﹣∞,2] B.[﹣1,4] C.[2,+∞) D.
x

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接由﹣2≤2 ﹣1≤3 求解 x 的取值范围得答案. 解答: 解:∵函数 f(x)定义域是[﹣2,3], 由﹣2≤2 ﹣1≤3,解得:x≤2. x ∴y=f(2 ﹣1)的定义域是(﹣∞,2]. 故选:A. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,关键是对该类问题的解法的掌握,是基础题. 8. (3 分)若函数 f(x) ,g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)﹣g(x)=x﹣ 1,则有() A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2) C. f(2)<g (0)<f(3) D. g(0)<f(2)<f(3) 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的奇偶性、函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵函数 f(x) ,g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)﹣g(x)=x ﹣1. ∴f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣x﹣1,即﹣f(x)﹣g(x)=﹣x﹣1,化为 f(x)+g(x)=x+1. 联立 ,解得 f(x)=x,g(x)=1.
x x

∴g(0)=1,f(2)=2,f(3)=3. ∴g(0)<f(2)<f(3) . 故选:D.

点评: 本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性,属于基础题. 9. (3 分) 若奇函数 f (x) =ka ﹣a (a>0 且 a≠1) 在 R 上是增函数, 那么的 g (x) =loga (x+k) 大致图象是()
x
﹣x

A.

B.

C.

D. 考点: 对数函数的图像与性质;奇函数. 专题: 计算题;图表型;函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数, 则由复合函数的性质,我们可得 k=1,a>1,由此不难判断函数 g(x)的图象. 解答: 解:∵函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是奇函数, 则 f(﹣x)+f(x)=0. 即(k﹣1)a +(k﹣1)a =0,解之得 k=1. ﹣x x 又∵函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是增函数, ∴a>1,可得 g(x)=loga(x+k)=loga(x+1) . 函数图象必过原点,且为增函数. 故选:C 点评: 若函数在其定义域为为奇函数,则 f(﹣x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶函 数,则 f(﹣x)﹣f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质,在公 共单调区间上:增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键. 10. (3 分)设函数 f(x)=x﹣ ,对任意 x∈[1,+∞) ,f(mx)+mf(x)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 不能确定 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用.
x
﹣x

x

﹣x

x

﹣x

B.(1,+∞)

C. (﹣∞,﹣1) D.

分析: 先将已知代入条件,将函数原式化简成 的符号将 m 分离出来,然后研究函数的最值. 解答: 解:由 f(mx)+mf(x)>0 得 mx﹣ 整理得 显然 m≠0, ①当 m>0 时, 恒成立,即 恒成立.

恒成立,x>1 时.然后讨论 m

,对任意 x∈[1,+∞)恒成立.

,显然当 x=1 时 y=2x 最小为 2,即

2



解得 m>1 或 m<﹣1.所以 m>1 符合题意. ②当 m<0 时, x ,此时 y=2x 无最大值,所以不成立.
2 2

综上,所求实数 m 的范围是 m>1. 故选 B. 点评: 本题考查了不等式恒成立问题的思路,一般是转化为函数的最值问题求解,能分离 参数的尽量分离参数. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 2 11. (4 分)﹣3∈{a﹣3,a +1},求 a 的值 0. 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 2 2 分析: 已知集合{a﹣3,a +1},分析 a +1≥1 不可能等于﹣3,所以 a﹣3=﹣3,从而求解; 2 解答: 解:∵﹣3∈{a﹣3,a +1}, 2 又 a +1≥1, ∴﹣3=a﹣3, 解得 a=0, 2 当 a=0 时,{a﹣3,a +1}={﹣3,1},满足集合三要素; ∴a=0, 故答案为:0 点评: 此题主要考查元素与集合的关系以及集合三要素的应用,后面结果必须代入进行验 证,这是易错的地方;

12. (4 分)

的值为 8.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数幂的运算法则、对数的运算性质、对数恒等式即可得出. 解答: 解:原式= =2 +4 =8.
2

+2+2

故答案为:8. 点评: 本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算性质、对数恒等式,属于基础题. 13. (4 分)若幂函数 f(x)=x 1) .
m﹣1

在(0,+∞)上是减函数,则实数 m 的取值范围是(﹣∞,

考点: 幂函数图象及其与指数的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用幂函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵幂函数 f(x)=x 在(0,+∞)上是减函数,∴m﹣1<0,解得 m<1. 故答案为: (﹣∞,1) . 点评: 本题考查了幂函数的单调性,属于基础题. 14. (4 分)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x?e ,则 x<0 时, ﹣x f(x)=x?e . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 x<0 时,则﹣x>0,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(﹣x?e )=x?e ,求解即可. 解答: 解:∵函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , x ∵当 x>0 时,f(x)=x?e , ∴当 x<0 时,则﹣x>0, f(x)=﹣f(﹣x)=﹣(﹣x?e )=x?e , (x<0) ﹣x 故答案为:x?e 点评: 本题考查了函数的性质,运用求解函数解析式,属于容易题.
﹣x ﹣x ﹣x ﹣x

m﹣1

x

15. (4 分)函数

的单调减区间为(4,+∞) .

考点: 对数函数的单调区间. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 利用复合函数的单调性求解,先将函数转化为两个基本函数 t=x ﹣4x+3,t>0, y=log0.5t,由同增异减的结论求解. 2 解答: 解:令 t=x ﹣6x+8,t>0 ∴t 在 x∈(4,+∞)上是增函数,此时 t∈(0,+∞) . 又∵y=log0.5t 在(0,+∞)是减函数 根据复合函数的单调性可知: 函数 的单调递减区间为(4,+∞)

故答案为: (4,+∞) .

点评: 本题主要考查复合函数的单调性,结论是同增异减,一定要注意定义域,这类题, 弹性空间大,可难可易. 16. (4 分)已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若 f(lnx)>f(1) , 则 x 的取值范围是(e ,e) . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)是 R 上的偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,f(lnx)>f(1) ,可得|lnx| <1,利用绝对值不等式的解法、对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵函数 f(x)是 R 上的偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,f(lnx)>f(1) , ∴|lnx|<1, ∴﹣1<lnx<1, 解得 .
﹣1 ﹣1

∴x 的取值范围是(e ,e) . ﹣1 故答案为: (e ,e) . 点评: 本题考查了函数的奇偶性、单调性、绝对值不等式的解法、对数函数的单调性,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题.

17. (4 分) 已知函数 y=f (x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x≥0 时, ( f x) =
2



若关于 x 的方程[f(x)] +a?f(x)+b=0(a、b∈R)有且只有 7 个不同实数根,则 a+b 的值是 ﹣1. 考点: 分段函数的应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 2 分析: 确定函数 f(x)的性质,可得关于 x 的方程[f(x)] +a?f(x)+b=0(a、b∈R)有且 只有 7 个不同实数根,则方程 t +at+b=0 必有两个根 x1,x2,其中 x1=1,x2∈( ,1) ,即可得 出结论. 解答: 解:由题意,f(x)在(﹣∞,﹣2]和[0,2]上是减函数,在[﹣2,0]和[2,+∞)上 是增函数, ∴x=0 时,函数取极大值 1,x=±2 时,取极小值 ,|x|≥16 时,f(x)≥1,
2 2

∴关于 x 的方程[f(x)] +a?f(x)+b=0(a、b∈R)有且只有 7 个不同实数根, 则方程 t +at+b=0 必有两个根 x1,x2,其中 x1=1,x2∈( ,1) , ∴1+a+b=0, ∴a+b=﹣1. 故答案为:﹣1.
2

点评: 本题考查分段函数的应用,考查函数的性质,考查数形结合的数学思想,正确确定 函数的性质是关键. 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 42 分) 18. (8 分)已知 U=R,A={x|1<x<5},B={x|x>4 或 x<2},C={x|3a﹣2<x<4a﹣3} (1)求 A∩B,?U(A∪B) ; (2)若 C?A,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;集合. 分析: (1)借助数轴求 A∩B,A∪B,?U(A∪B) ; (2)评论 C 是否等于空集,再由 C?A 求 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵A={x|1<x<5},B={x|x<2 或 x>4}, ∴A∩B={x|1<x<2 或 4<x<5}, A∪B=R, CU(A∪B)=?; (2)若 C=? 时,a≤1, 若 C≠? 时, a>1,且 ,

解得 1≤a≤2, 故此时 1<a≤2. 综上,a≤2. 点评: 本题考查了集合的运算及集合包含关系的应用,属于基础题.

19. (8 分)设函数 f(x)=3?log2(4x) , ≤x≤4; (1)若 t=log2x,求 t 取值范围; (2)求 f(x)的最值,并给出最值时对应的 x 的值. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

分析: (1)由对数函数的单调性求函数的值域; (2)利用换元法求函数的最值. 解答: 解: (1)∵ ∴ 即﹣2≤t≤2; (2)∵f(x)=3?log2(4x)=3?(2+log2x) , ∴令 t=log2x,则 y=3?(2+t) , ∴当 t=﹣2,即 x= 时,f(x)min=0, 当 t=2,即 x=4 时,f(x)max=12. 点评: 本题考查了对数函数的单调性的应用,同时考查了换元法求函数的最值,属于基础 题. 20. (8 分)已知函数 f(x)=a +1, (a>0 且 a≠1)恒过定点(3,2) ,若将函数 f(x)的图 象向下平移 1 个单位,再向左平移 a 个单位后得到函数 g(x) ; (1)求实数 a 的值与 g(x)的解析式; (2)求函数 h(x)= 的值域.
x﹣a

, ,

考点: 函数的值域;指数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意,代入(3,2) ,从而求出 a,再由图象变换求出 g(x)的解析式; (2)函数 h(x)= 可化为
x﹣a

,则

,从而解出值域.

解答: 解: (1)函数 f(x)=a 3﹣a 则 f(3)=a +1=2, 3﹣a 即 a =1, 3﹣a=0, a=3,
x﹣3

+1, (a>0 且 a≠1)恒过定点(3,2) ,

则 f(x)=3 +1, 又由函数 f(x)的图象向下平移 1 个单位,再向左平移 3 个单位后得到函数 g(x) ; 则 g(x)=3 . (2)函数 h(x)= 则 , 可化为 ,
x

解得﹣1<y<1, 即 h(x)的值域为(﹣1,1) .

点评: 本题考查了令参数时参数的求法,代入点即可;同时考查了图象的变换及函数的值 域的求法,属于基础题. 21. (8 分)设函数 f(x)=a ﹣ma +m﹣1(a>0,且 a≠1) ; (1)若 m=1,解不等式 f(x)>0; (2)若 a=2,且方程 f(x)=﹣3 有两个不同的正根,求 m 的取值范围. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 2x x+1 分析: (1)化简为 a >a ,分类讨论求解.
2x x+1

(2)根据二次函数的性质转化为

求解即可.

解答: 解: (1)m=1 时,不等式化简为 a >a 当 a>1 时,2x>x+1,解得 x>1; 当 0<a<1 时,2x<x+1,解得 x<1. 2x x+1 (2)a=2,方程 2 ﹣m2 +m+2=0 有两个正根, x 2 令 t=2 ,可得方程 t ﹣2mt+m+2=0 有两个大于 1 的根,

2x

x+1

则有

解得:2<m<3. 点评: 本题考察了指数函数的性质,换元法求解二次不等式,二次方程根的分布.属于中 档题. 22. (10 分)定义:若函数 f(x)对于其定义域内的某一数 x0,有 f(x0)=x0,则称 x0 是 f 2 (x)的一个不动点.已知函数 f(x)=ax +(b+1)x+b﹣1(a≠0) . (1)当 a=2,b=7 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对任意的实数 b,函数 f(x)恒有两个不动点,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若 y=f(x)图象上两个点 A、B 的横坐标是函数 f(x)的不动点, 且 A、B 的中点 C 在函数 g(x)=﹣x+ 的图象上,求 b 的最小值.

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)将 a=2,b=7 代入 f(x)=ax +(b+1)x+b﹣1 (a≠0) ,求出 f(x) ,令 f(x) =x,解方程求不动点即可; 2 2 2 (2)令 ax +(b+1)x+b﹣1=x,即方程 ax +bx+b﹣1=0 恒有两个不等实根,所以△ =b ﹣4a 2 (b﹣1)>0 即 b ﹣4ab+4a>0 对任意的 b∈R 恒成立,

故△ '=16a ﹣16a<0,故 0<a<1; (3)先设出两点的坐标分别为 A(x1,x1) ,B(x2,x2) (x1≠x2) ,又 AB 的中点 C 在函数在 函数 g(x)=﹣x+ 的图象上,

2

所以

,即

,而 x1,x2 是方程 ax +bx+b

2

﹣1=0 的两个根,所以 至此题设中的条件转化为 ,观察发现参数 b 可以表示成参数 a 的函数,至

此,求参数 b 的问题转化为求 b 关于 a 的函数最小值的问题. 解答: 解: (1) f (x) =2x +8x+6=x, 解得 x=﹣2 或 x=
2 2 2

. 所以所求的不动点为﹣2 或



(2)令 ax +(b+1)x+b﹣1=x,即方程 ax +bx+b﹣1=0 恒有两个不等实根, 2 2 所以△ =b ﹣4a(b﹣1)>0 即 b ﹣4ab+4a>0 对任意的 b∈R 恒成立, 2 故△ '=16a ﹣16a<0,故 0<a<1 (3)设 A(x1,x1) ,B(x2,x2)x1≠x2, 又 AB 的中点 C 在函数在函数 g(x)=﹣x+ 的图象上,

所以
2

,即

而 x1,x2 是方程 ax +bx+b﹣1=0 的两个根,所以 即

所以

由(2)知:0<a<1 则当 ,即 时 bmin=﹣1

点评: 本题考点是二次函数的性质,主要考查二次函数、方程的基本性质、不等式的有关 知识,同时考查函数思想、数形结合思想、逻辑推理能力和创新意识.


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