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江苏省连云港市2013-2014学年高一下学期期末试卷 (四星)数学 Word版含答案

连云港市 2013—2014 学年度第一学期高一期末考试 数学试题(四星)
注意事项: 本试题共两大题,共 20 小题,共 160 分,考试时间 120 分钟。 一 题号 1—14 得分 15 16 17 18 19 20 二 总分

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请将答案直接填写在横线上.

1 , 2, 3, 4,5? ,B ? ?? 1,0, 1 , 6? ,则 A ? B ? 1.设集合 A ? ?0,
x ? ?2 ? 1, x ? 0 2.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?2)) = 2 ? ?x , x ? 0





3.计算 eln 3 ? log

5

25 ? (0.125)

?

2 3

?

. . . (用 “<” 连接) .

4.已知 A(?a,3) , B(5, ?a) , C (1,0) 三点共线,则实数 a 的值为 5.已知 a ? 0.32 , b ? log2 0.3, c ? 20.3 , 则 a, b, c 之间的大小关系是 6.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ? [1,5], 则函数 f (2 x ? 3) =

7.已知两条直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m , l2 : 2x ? (5 ? m) y ? 8 ,若 l1 // l2 ,则实数 m 的值 为 . .

1), B(3, 4), C (4, ? 1), 8.已知 ?ABC 的三个顶点坐标为 A(1, 则 ?ABC 的面积为

9.已知直线 a , b 与平面 ? , ? , ? ,有下列四个命题: ①若 a // b, a //? ,则 b // ? ; ③若 ? // ? , a ? ? ,则 a ? ? ; 其中,命题正确的是 ②若 a // b, a ? ? ,则 b ? ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; . (请把正确的序号填在横线上) . .

10.用半径为 2 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的体积为 11.若函数 f ( x) ?| x | ?( x ? 2) 在区间 (a, 2a ? 1) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是

12.一张坐标纸对折一次后,点 A(0,2) 与点 B (?4,0) 重叠,若点 C (?3,4) 与点 D( x, y ) 重叠, 则x? y= .

1 13.定义在 [ ?2,2] 上的偶函数 f ( x) 在 [0,2] 上单调递减,且 f ( ) ? 0 ,则满足 f (log1 x) ? 0 的 2 4
1

集合为 14.已知方程


1 2 x ?| 2 x ? a | 有四个不同的解,则实数 a 的取值范围为 2



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,四边形 ABCD 是菱形, PA ? PC , E 为 PB 的中点. (1)求证: PD // 平面 AEC ; (2)求证:平面 AEC ? 平面 PDB .

P

E D A
(第 15 题图)

C B

16.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ?

x . 2x ? 1

1 (1)判断函数 f ( x) 在 (? , ? ?) 上的单调性,并给予证明; 2
(2)设 g ( x) = tx ?

1 x2 ,当 x ? ( ,3] 时, g ( x) ? 0 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2 2x ? 1

2

17.(本题满分 14 分) 如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2, P 是 BC 的中点,点 Q 是棱 CC1 上的动点. (1)点 Q 在何位置时,直线 D1Q , DC , AP 交于一点,并说明理由; (2)求三棱锥 B1 ? DBQ 的体积; (3)若点 Q 是棱 CC1 的中点时,记过点 A , P , Q 三点的平面截正方体所得截面为 S , 求截面 S 的面积. D1

C1

A1

B1 D

Q C P

A
(第 17 题图)

B

18.(本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的方程为 2 x ? (k ? 3) y ? 2k ? 6 ? 0 , k ? R. (1)若直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距之和为 1,求坐标原点 O 到直线 l 的距离; (2)求坐标原点 O 到直线 l 距离的最大值; (3)若直线 l 与直线 l1 : 2 x ? y ? 2 ? 0 和 l2 : x ? y ? 3 ? 0 分别相交于 A ,B 两点,点 P(0, 2) 到 A , B 两点的距离相等,求 k 的值.

3

19.(本题满分 16 分) 某工厂现有 200 人, 人均年收入为 4 万元. 为了提高工人的收入, 工厂将进行技术改造. 若 改造后,有 x ( 100 ? x ? 150 )人继续留用,他们的人均年收入为 4 a ( a ? N ? )万元;剩 下的人从事其它服务行业,这些人的人均年收入有望提高 (2 x)% . (1)设技术改造后这 200 人的人均年收入为 y 万元,求出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当 x 为多少时,能使这 200 人的人均年收入达到最大,并求出最大值.

20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e| x ?2t ?1| , g ( x) ? e| x ?t|?1 , x ? R , 2 ? t ? 6 , (其中 e ? 2.71828? ) . (1)若 t ? 3 ,解方程 f ( x) ? g ( x) ; (2)求函数 h( x) ?

f ( x) ? g ( x) | f ( x) ? g ( x) | 在 [1,6] 上的最小值. ? 2 2

4

2013-2014 学年度高一第二学期期末考试

数学试题(四星)答案
一、填空题 1.

2 2

2.5 8.1

3. 9.10
2

4. 215 10. (

5. c ? a ? b

6.15

7.8 11. ? 二、解答题

3 2

12. x 2 ? ? y ? 1? ? 4

? ? , ) 3 2 1 13. 2

14.②③

15. (1)搅匀后从中任意摸出 1 个球,所有可能出现的结果有:红、黄、蓝、白,共有 4 种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“恰好是红球”(记为事件 A)的结果只有 1 1 种,所以 P(A)= 4 . ???????????????????????????????5 分 (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,再从中任意摸出 1 个球,所有可能出现的结果有:(红,红)、(红,黄)、(红,蓝)、(红,白)、(黄,红)、(黄, 黄)、(黄,蓝)、(黄,白)、(蓝,红)、(蓝,黄)、(蓝,蓝)、(蓝,白)、(白,红)、(白,黄)、 (白,蓝)、(白,白),共有 16 种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“至少有一 7 次是红球”(记为事件 B)的结果只有 7 种,所以 P(B)= 16 . ?????????????????? ??????14 分

16. (1)由 c // a ,得: 2(m ? 1) ? 3m ? 0 ,则 m ? (2)因为 a ? (?1, 2) ,所以 | a |? 5 由 a ? 2b ? 2a ? b ,得: a ? 2b ? 2a ? b ? 0

2 5

??????3 分

?????????????4 分

?

? ?

?

?

??
2

?

2a ? 3a ? b ? 2b ? 0 , 10 ? 3a ? b ? 2b ? 0
2

2

2

2

??????????7 分
2

由 | a ? b |? 3 ,得 a ? 2a ? b ? b ? 9 ,即 ?2a ? b ? b ? 4 ,???????9 分 解之得, a ? b ? 2 , b ? 8 。 设 a ? b 与 b 的夹角为 ? 。
2

???????11 分

5

( a ? b) ? b a ? b ? b 2?8 2 ? ? ?? 则 cos ? ? ,?????????13 分 2 | a ? b || b | 3 ? 2 2 3 ? 2 2
又 ? ? [0, ? ] ,所以 ? ?

2

a ? b 与 b 的夹角为

3? .??????????????????????14 分 4

3? 。 4

1 3 cos ? x) ? k ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x cos ? x ? k 17. (1) f ( x) ? 2sin ? x( sin ? x ? 2 2

=

3 1 ? cos 2?x sin 2?x ? ?k 2 2

= sin( 2?x ? 由题意知

?
6

)?k ?

T ? ? ,得 ? 的取值范围为 0 ? ? ? 1 2 2

1 2

??????????????????6 分 ????????????8 分

(2)若 f ( x ) 的最小正周期为 ? ,得 ? =1

??????????????9 分

f ( x) = sin( 2 x ?

?

1 ? ? ?? )?k ? , 有 f ( x ) 在区间 ?? , ? 上为增函数, 所以 f ( x ) 的最 6 2 ? 6 6?

1 1 ,则 k ? ? , ?? ??????????11 分 6 2 2 ? 3 ? 4 所以 f (? ) = sin( 2? ? ) ? ,所以 cos( 2? ? ) ? ? ???????12 分 6 5 6 5 ? ? ? ? f ( ? ? ) ? sin( 2? ? ) ? sin( 2? ? ? ) 2 6 6 3
大值为 f ( ) ? 1 ? k ? =

?

1 ? 3 ? sin( 2? ? ) + cos(2? ? ) 2 6 2 6
?????????????????14 分

=

3? 4 3 3?4 3 或 10 10

18. (1) CB ? a ? b , BD ?

3b , 则 AD ? a ? 3b , ??????4 分
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????6 分

CD ? a ? ( 3 ? 1)b
(2)由题知

AC AE 3 AE 3 ?1 ? ? ? ,所以 , BD ED 3 AD 2
3 ?1 AD 2

所以 AE ?

????????????????10 分

6

3 ?1 (a ? 3b)(a ? ( 3 ? 1)b) 2 3 ?1 3 3 ?1 .????????????????16 分 ? (4 ? 3 ) ? 2 2

AE ? CD ?

19. (1)由题知,令 ?CNA ? ? , ?BND ? ? , 则 tan ?CNA ?

1 2 , tan ?BND ? , ?????????????2 分 x 4? x

所以 tan?CND ? tan( ? ? ? ? ? ) ? ? tan( ? ? ?) ? ?

tan? ? tan ? ???6 分 1 ? tan? tan ?

=

4? x ( 0 ? x ? 4,且 x ? 2 ? 2, x ? 2 ? 2 ) ????????8 分 x ? 4x ? 2
2

(2)过点 C 作直线 AB 的对称点 M,连结 DM,交 AB 于点 N,则点 N 即为所求的点。 ??????????????????????????????10 分 在 AB 上任取一不同于点 N 的点 P,边结 CP,DP, 则 PC ? PD ? PM ? PD ? DM ,所以在点 N 处 NC ? ND 的值最小。??12 分

D
如图设 AN= x ,此时

C A N
M 第 19 题图

?CND ? ?CNA , 4? x 1 即 2 = , x ? 4x ? 2 x 1 所以 x ? 。 4

P

B

????????????????16 分 20 .( 1 ) 由 题 知 , 得 直 线 AM 的 方 程 为 y ? 2 x ? 4 , 直 线 AN 的 方 程 为

y??

1 x ? 1??????2 分 2

5 8 5 定理知, AN= ,??????4 分 5

所以,圆心到直线 AM 的距离 d ?

4

,所以, AM ? 2 4 ?

16 4 5 ,由中位线 ? 5 5

由题知 k AM ? k AN ? ?1,所以 AN ⊥ AM , S ?

1 4 5 8 5 16 = 。???6 分 ? ? 5 2 5 5

(2) | PE |= (3 3)2 ? (?5)2 ? 4 ? 4 3 , PO ? (3 3)2 ? (?5)2 ? 2 13 , 所以 cos ?OPE ?
4 3 2 13 ? 2 3 13



?????8 分

7

所以 cos ?FPE ? 2cos 2 ?OPE ? 1 ? 2(

2 3 13

)2 ? 1 ?

11 , 13

11 528 ????????????10 分 ? 13 13 (3)由题知直线 AM 和直线 AN 的斜率都存在,且都不为 0,不妨设直线 AM 的的方程
所以 PE ? PF ? | PE || PF | cos ?EPF ? (4 3)2 ?

? y ? k ( x ? 2) 2 , y ? k ( x ? 2) ,则直线 AN 的方程为 y ? ? ( x ? 2) ,所以,联立方程 ? 2 2 k ?x ? y ? 4

2 ? 2k 2 所以, ( x ? 2)[(1 ? k ) x ? 2k ? 2] ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? , 1? k 2
2 2

所以 M (

2 ? 2k 2 4k , ), 1? k 2 1? k 2
2 , 0) , 3

同理, N (

2k 2 ? 8 ? 8k , ), 4? k2 4? k2

??????13 分

因为 x 轴上存在一点 D (?

所以, k DM

? 4k 2 ? 4k ?k ?k ? 2 = ,同理 k DN ? 2 , ?????15 分 ? 1? k 2 2 4k ? 8 k ? 2 k ?2 2 ? 2k ?6 1? k 2
2 , 0) 。 3
?????16 分

所以, k DN = k DM ,所以,直线 MN 过定点 (?

8


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