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必修4 三角函数复习学案(含参考答案)


高一数学期中
一、基础知识梳理

三角函数(复习)学案

1.1.1 任意角 1.正角、负角、零角: 按照____________方向旋转所成的角叫正角;按照____________方向旋转所成的角叫 负角;如果一条射线_________________,我们称它形成了一个零角。 2.象限角与轴线角: 我们使角的顶点与_________重合,角的始边与_________________________重合,则 角的终边在第几象限,就叫第几象限角;如果角的终边在_________________上,就认为这 个叫不属于任何象限(通常称为轴线角) 。 3.终边相同的角的表示法: 与角α 的终边相同的角的集合为: ① 象限角的集合: 第一象限角集合为: 第二象限角集合为: 第三象限角集合为: 第四象限角集合为: ② 轴线角的集合: 终边在 x 轴非负半轴角的集合为: 终边在 x 轴非正半轴角的集合为: 故终边在 x 轴上角的集合为: 终边在 y 轴非负半轴角的集合为: 终边在 y 轴非正半轴角的集合为: 故终边在 y 轴上角的集合为: 终边在坐标轴上的角的集合为_______________________________________. .4.度量角的单位制: 角度制:____________________________;弧度制:____________________________ 1.1.2 弧度制 5.“1 度的角” :把______分成_________等份,每一份的弧所对的________角,就是 1 度。 “1 度弧的角” :把长度等于_________的弧所对的________________叫做 1 弧度。 6.角度制与弧度制的换算关系: 7. 如果半径为 R 的圆的圆心角α 所对的弧长为 l ,那么, 角α 的弧度数的计算公式是: ______ 扇形的弧长公式是:__________ 面积公式是_______________ 1.2.1 任意角的三角函数 8. 单位圆定义: 设α 是任意角,它的终边与单位圆交于点 P_(_________)_,则 sinα =______ , cosα =_____ , tanα =_______ . 9. 坐标定义:设α 是任意角,它的终边过点 P_(_________)_,则 r=_________. sinα =______ , cosα =_____ , tanα =______ _. 10.几何定义: (1)带有________的线段叫有向线段(2)画图并指出角α 的正弦线,余弦线、正切线。 11.三角函数各象限的符号:
1

( )

y 0

( ) ( ) x

( )

y 0

( ) ( ) x

( )

y 0

( ) ( ) x

( )

( )

( )

sinα 1.2.2 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系式:____________

cosα

tanα

(2)商除关系式:__________ tanx

1.3 三角函数的诱导公式
角x π —α π +α —α 2π -α 2kπ +α 口诀 sinx cosx

? -α )= 2 ? cos( -α )= 2 ? 能推导: +α ; 2 3? 3? +α ; -α 2 2
Sin( 口诀:函数名变反,符号看象限。

k?

?
2

? ? 与 ? 的三角函数关系:

口诀: 14.特殊角的三角函数值:
角x 弧度数 sinx cosx tanx 角x 弧度数 sinx cosx tanx 1800 2100 2250 2400 3000 3150 3300 3600 00 300 450 600 900 1200 1350 1500

2

1.4.1 正、余弦函数的图象 15. 函 数 y=sinx 的 图 象 : 用 “ 五 点 法 ” 作 出 正 弦 函 数 简 图 时 , 选 择 的 五 个 点 分 别 _________________________________________________________________ 图象为:

__________________________________________________________________________ 16.根据关系__________________________,作出 y ? cos x, x ? R 的图象为:用“五点法”作 出余弦函数的简图时,选择的五个点分别为 _______________________________________________________________________ 图象为

____________________________________________________________________________ 1.4.2 正、余弦函数的性质 17. 正、余弦函数的性质
函数名称 定义域 值域 性 奇偶性 增区间 单 调 性 质 减区间 正弦 y=sinx 余弦 y=cosx

周期性 对称性

18.最大值与最小值及相应的 x 值: (1)正弦 y=sinx.当且仅当 x=_______________时取得最大值 1; 当且仅当 x=_______________时取得最小值-1。 (2)余弦 y=cosx.当且仅当 x=_______________时取得最大值 1; 当且仅当 x=_______________时取得最小值-1。 1.4.3.正切函数的图象与性质 正切函数的图象作法: “三点两线法” 正切函数的图象

3

1.5 正弦型 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质: 1.“五点法”作 y=Asin(ωx+ ? )(ω>0)的图象. 令 X=ωx+ ? 转化为 y=sinX,作图象用五点法,通过列表、描点后作图象. 2. 图象变换: (1)振幅变换(2)周期变换(3)相位变换 振幅变换:y=Asinx(A>0,A≠1)的图象,可以看做是 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标 都 ,(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍(横坐标不变)而得到的.

周期变换:y=sinωx(ω>0,ω≠1)的图象,可以看做是把 y=sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 . ( ? >0) 倍(纵坐标不变)而得到的.由于 y=sinx 周期

为 2π,故 y=sinωx(ω>0)的周期为

相位变换: y=sin(x+ ? )( ? ≠0)的图象, 可以看做是把 y=sinx 的图象上各点向 或向 ( ? <0)平移 个单位而得到的.

由 y=sinx 的图象得到 y=Asin(ωx+ ? )的图象主要有下列两种方法: y=sinx
相位 变换 周期 变换 振幅 变换



y=sinx

周期 变换

相位 变换

振幅 变换

说明:前一种方法第一步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 第二步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 个单位.

个单位.后一种方法

4

二、例题
例 1. π ? 1 2π -α = ,求 sin? -α?的值. (1) 已知 cos? ?6 ? 3 ?3 ?

(2) 已知 sin θ=

cos?π-θ? cos?2π-θ? 3 ,求 + 的值. 3 3 ? π-θ?-1? cos?π+θ?sin?π+θ?-sin?3π+θ? cos θ? sin ? ?2 ? ? ?2 ? ?2 ?

π 例 2. 函数 f (x)=3sin(2x+ )的最小正周期为 3 对称轴方程是 π 当 x∈[0, ]时,函数的值域是 2

;图象的对称中心是



; 单调减区间是__________________________ ; .

例 3. 若函数 f(x)=sin(ωx+φ)(?>0,0≤φ<2π)的图象(部分)如图所示,则 ω=_________, φ=_________.
y

1
1 ? 例 4.已知函数 y=3sin ( x ? ) 2 4

π 2π - O 3 3

x

(1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.

5

三、练习:
1.将分针拨快 15 分钟,则分针转过的弧度数是( )

A.

?
2

B. ?

?
2

C.

?
6

D. ?

?
6
)

2.已知 A={第一象限角}, B={锐角}, C={小于 900 的角},则有(

A.

B ? A?C

B. B ? C ? C

C. A ? C

D. A ? B ? C
)

3.两个圆心角相同的扇形面积之比为 1:2,则它们的周长之比为( A.1:2 B.1:4 C.1: 2 D.1:8 ) D. ) D.- ) 2 2 D. 3 3 2 3 2

4.已知 f(sin x)=cos 3x,则 f(cos 10° )的值为( 1 1 3 A.- B. C.- 2 2 2 7π 1 ? 5.若 sin(3π+α)=- ,则 cos ? ? 2 -α?等于( 2 1 1 3 A.- B. C. 2 2 2 π? 1 ?π ? 6.已知 sin? ?α-4?=3,则 cos?4+α?的值等于( -2 2 1 1 A.- B. C. 3 3 3

y ? 2 sin(
7. 函数

?
6 [

? 2 x)( x ? [0, ? ])
为增函数的区间是( )

[ 0,
(A)

?
3

]

?

(B) 12

,

7? ] 12

? 5? [ , ] 6 (C) 3

5? , ?] (D) 6 [

? ? 2 y ? 2 cos( x ? )( ≤ x ≤ ? ) 3 6 3 的最小值是( 8.函数
( A) ? 2



( B) ? 3

(C ) ? 1

( D)1

? y ? sin( 2 x ? ) 6 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( 9. 为了得到函数



? (A)向右平移 6 个单位长度 ? (C)向左平移 6 个单位长度
0 0 0

? (B)向右平移 3 个单位长度 ? (D)向左平移 3 个单位长度

10.已知角α =-2960 ,在[0 ,360 )内与角α 终边相同的角是. ___ ___,与角α 终边相同且绝对 值最小的角是 ______. π 7π 1 α+ ?= ,则 cos?α+ ?=________. 11.若 sin? 12 ? ? 3 ? 12?
6

12.sin2 1° +sin2 2° +?+sin2 88° +sin2 89° =________. 13.已知 tan(3π+α)=2,则 π ? ?π ? sin?α-3π?+cos?π-α?+sin? ?2-α?-2cos?2+α? -sin?-α?+cos?π+α? =________. 14.已知 P(8,y)是α 终边上一点,且 sinα =0.1y,求 tanα ,cosα

7

例 4.解 (1)列表: x
1 ? x? 2 4

?
2

3 ? 2

5 ? 2

7 ? 2 3 ? 2

9 ? 2

0
?
4

?
2

?

2? 0

3sin ( x ? ) 描点、连线,如图所示: (2)方法一 “先平移,后伸缩”.

1 2

0

3

0

-3

先把 y=sinx 的图象上所有点向右平移

?
4

个单位, 得到 y=sin ( x ? ) 的图象; 再把 y=sin ( x ? )
4 4

?

?

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin ( x ? ) 的图象, 最后将 y=sin ( x ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍 (横
4 4 1 2

?

1 2

?

坐标不变) ,就得到 y=3sin ( x ? ) 的图象.
4

1 2

?

方法二 “先伸缩,后平移” 先把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin x 的图 象;再把 y=sin x 图象上所有的点向右平移 得到 y=sin (x1 2 1 2

1 2

?
2

个单位,
x 2

?
2

)=sin ( ? ) 的图象,最后将 y=sin ( ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长到
4 4 1 2

x 2

?

?

原来的 3 倍(横坐标不变) ,就得到 y=3sin ( x ? ) 的图象.
4

?

(3)周期 T=

2?

?

=

2? ? =4 ? ,振幅 A=3,初相是- . 1 4 2

(4)令 x ?

1 2

?
4

=

?
2

+k ? (k∈Z),

得 x=2k ? + 令

3 ? (k∈Z),此为对称轴方程. 2

1 ? ? x- =k ? (k∈Z)得 x= +2k ? (k∈Z). 2 4 2
?
2

对称中心为 (2k? ? ,0) (k∈Z).

8

9


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