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辽宁省葫芦岛市第一高级中学2012-2013学年高二数学上学期期中考试试题(数学理)


辽宁省葫芦岛市第一高级中学 2012----2013 学年度上学期高二期中考试数学 (理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 1. 对于实数 a 、b、c, a ? b ”是“ ac > bc ”的( “
2
2

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2.数列{ a n }中, a n ? 1 ? a n ? 2 ? a n , a 1 ? 2 , a 2 ? 5 ,则 a 5 为( A.-3 3.若不等式 ax A.-10
2

B.-11

C.-5
1 2

D.19 < x <
1 3

? bx ? 2 ? 0 解集是{x| -

},则 a ? b 的值为( D.14 )



B. -14

C. 10

4.△ABC 中,已知 b=30,c=15,C=26°,则此三角形的解的情况是( A.一解 B.无解 C.二解

D.无法确定

? 2 x ? y ? 4, ? 5.设 x、y 满足 ? x ? y ? ? 1, ? x ? 2 y ? 2, ?

则z ? x ? y





A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最大值 6.短轴长为 2 5 ,离心率为
2 3

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值
2

的椭圆的两个焦点分别是 F1 , F 2 ,过 F 1 作直线交椭圆于 A,B 两点,则 ? ABF

的周长为( ) 高二理科数学 共 4 页 第1页 A.24 B.12 C.6 D.3 7.若 ? A B C 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 : 1 1 : 1 3 ,则 ? A B C 是 ( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 8.等比数列{ a n }中,已知对任意自然数 n, a 1 ? a 2 ? ....... ? a n ? 2 - 1 ,则
n

高二理科 )

a 1 ? a 2 ? ....... ? a n
2 2

2

等于 (
1

) C. 4 ? 1
n

? 1) 3 3 9.下列命题:①若 p , q 为两个命题,则“ p 且 q 为真”是“ p 或 q 为真”的必要不充分条件。
n 2

A. ( 2 ? 1)

n B. ( 2 ? 1)

D.

1

(4

n

②若

p 为: ? x ? R , x ? 2 x ? 0 ,则
2

?

p 为: ? x ? R , x ? 2 x ? 0 。
2

③命题 p 为真命题,命题 q 为假命题。则命题 p ? ( q ) , ( ? p ) ? q 都是真命题。 ④命题“若
?

?

p ,则 q ”的逆否命题是“若 p ,则

?

q ”.

其中正确结论的个数是( A.1 B. 2

) C.3
1 2

D.4
1 a

10.已知 a ? 0 , b ? 0 , a , b 等差中项是

,且 ? ? a ?

, ? ?b?

1 b

,则 ? ? ? 最小值是( )

A.3 B.4 C.5 D.6 11.已知函数 f(x)=log2x,等比数列{an}的首项 a1>0,公比 q=2,若 f(a2a4a6a8a10)=25,则 f(a1)+f(a2)+? +f(a2 009)=( ) B.1004×2009 D.1005×2009
? 1 上一点 H 作圆 x
2

A.1004×2008 C.1005×2008 12.过椭圆
x
2

?

y

2

? y

2

? 2 的两条切线,点 A,B 为切点,过 A,B 的直线 l 与

9

4

x 轴, y 轴 分布交于点 P,Q 两点,则 ? POQ 面积的最小值为(

)

A.

1 2

B.

4 3

C. 1

D.

2 3

第Ⅱ卷 二、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.在△ABC 中, a - c ? b ? ab ,则角 C=________.
2 2 2

14.已知数列

?an?

an ?

1 n ? n ? 1 ,则其前 99 项和, S 9 9 =

满足



15.已知等差数列 { a n } 中, a 3 ? 7 , a 6 ? 16 ,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:
a1 a2 a4 a ?
7

a3 a
5

a6 a9 a ?
10

a ?

8

?

?

则此数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是 16.椭圆
x a
2 2


? 60
?

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点为 F1 , F 2 ,P 为椭圆上一点, ? F1 PF

2

则椭圆离心率的取值范围是____________ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17.(本题满分 10 分)设命题 p :实数 x 满足 x ? 4 ax ? 3 a ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q :实数 x 满足
2 2

x ? 2 x ? 8 ? 0 , 且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.
2

18. (本题满分 12 分)在△ABC 中,D 为 BC 边中点, ? B ? ? DAC ? 90 ,判断△ABC 的形状。 19. (本题满分 12 分)已知椭圆的一个焦点 F1 ?0 , ? 2 2 ? ,且离心率 e 满足 , e , 成等比数列. (1)求椭 3 3 高二理科数学 共 4 页 第3页
2 4 1 3 圆的标准方程;(2)试问是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 M,N,且线段 MN 恰被点 P ( ? , ) 2 2

?



A A

平分. 20. (本题满分 12 分)在 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边为 a , b , c 已知 sin (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 ? ABC 的面积为
3 15 4
1 x
2

C 2

?

10 4



,且 sin

2

A ? sin

2

B ?

13 16

sin

2

C ,求 a , b , c 的值.

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

4?

数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 点 Pn ( a n , ,

1 a n ?1

)( n ? N ) 在
*

曲线 y ? f ( x ) 上 , 且 a 1 ? 1, a n ? 0 . (I)求数列{ a n }的通项公式 a n ; (II)数列{ b n }的首项 b1=1,前 n 项和为 Tn,且 求数列{ b n }的通项公式 bn. 22.(本题满分 12 分)已知椭圆 C: 半径的圆与直线 x-y+ 6 =0 相切。 (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 P(4,0) ,A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交随圆 C 于另一点 E,证 明直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q.
x a
2 2

T n ?1 an
2

?

Tn a n ?1
2

? 16 n

2

? 8n ? 3 ,

?

y b

2 2

=1(a>b>0)的离心率为

1 2

,以原点为圆点,椭圆的短半轴为

高二期中考试数学(理)参考答案 一.选择题: BDB C B 二.填空题: 13. 60
?

BBDAC

BD
1 2

14.9

15.598

16.

? e ?1

三.解答题 17.解:设 A ? ? x x ? 4 a x ? 3 a ? 0 ( a ? 0 )? ? ? x 3 a ? x ? a ( a ? 0 ) ?
2 2

B ? x x

?

2

? 2 x ? 8 ? 0 ? ?x x ? ? 4 或 x ? 2 ? .

?

????? 4 分

? ? p 是 ? q 的必要不充分条件,? q 是 p 必要不充分条件,

? A? B ,
?

????????6 分

所以 3 a ? 2 或 a ? ? 4 ,又 a ? 0 ,

所以实数 a 的取值范围是 a ? ? 4 . 18. 解:
? B ? ? DAC ? 90 ,? ? DAC ? 90 同理 ? BAD ? 90
? ? ?

???????10 分
- ?B

???.2 分

- ?C

AD BD 在 ? ABD 中, ? ? sin B sin 90 - ? C

?

? ?

AD DC 在 ? ADC 中, ? ???????6 分 ? sin C sin 90 - ? B

?

两式相比得 sin C cos C ? sin B cos B ???????.8 分 即 sin 2 B ? sin 2 C
? 2 B ? 2C 或 2 B ? 2C ? ? ? ABC 为等腰或直角三角形???.12 分

19.解: (1) e ?
2

8 9

?

c a

?

2 3

2

?c ? 2

2 ? a ? 3 .....2分 ....

?b

2

? 1?

y

2

? x

2

? 1 ....4分 ...

9

(2)假设存在这样的直线 l ,设 M ? x 1 , y 1 ?, N ? x 2 , y 2 ? 则
y1 9
2

? x 1 ? 1,
2

y2 9

2

? x 2 ? 1 ,作差得 ? y 1 ? y 2 ?? y 1 - y 2 ? ? 9 ? x 1 ? x 2 ?? x 1 - x 2 ? ? 0 .. ..6分
2

? x 1 ? x 2 ? - 1, y 1 ? y 2 ? 3

设直线 l 的斜率为 k ,则 k ? 3 ....8分 ...

? 直线 l的方程为

y ? 3 x ? 3 ... ...10分

检验: ?

? y ? 3x ? 3 ?y
2

? 9x

2

? 9

整理得 x ? x ? 0
2

显然 ? ? 0

检验成立,所以存在这样的直线 l ??????.12 20. 解: (Ⅰ) cos (Ⅱ)∵ sin
2

C ? 1 ? 2 sin

2

C 2

? 1? 2? (

10 4

)

2

? 1?

5 4

? ?

1 4

???????????4 分
?b
15 4
2

A ? sin

2

B ?
1 4

13 16

sin

2

C

,由正弦定理可得: a 2
1 ? cos
2

?

13 16

c

2

由(Ⅰ)可知 cos
S ? ABC ? 1 2

C ? ?

, 0 ? C ? ? ,? sin C ?

C ?



ab sin C ?

3 15 4



得 ab=6????????????????????????????????8 分 由余弦定理 c 2 可得 c 2
c
2

? a
?3

2

?b

2

? 2 ab cos C

?

13 16

c

2

? 16 , c ? 0 ,? c ? 4

???????????????????????????10 分

由?

? a 2 ? b 2 ? 13 ? ? ab ? 6 ?

?a ? 3 ?a ? 2 得? 或? ?b ? 2 ?b ? 3

?????12 分

21.解: (I)由题意知

1 a n ?1

?

4?

1 an
2

.?

1 a n ?1
2

? 4?

1 an
2

.

?

1 a n ?1 1 an
2 2

?

1 an 1
2

? 4,即{

1 an
2

} 是等差数列.????????????????2 分

?

?

a1

2

? 4 ( n ? 1) ? 1 ? 4 n ? 4 ? 4 n ? 3 .

? an ?
2

1 4n ? 3

.又 ? a n ? 0 ,? a n ?

1 4n ? 3

. ????????????6 分

(II)由题设知 ( 4 n ? 3 )T n ? 1 ? ( 4 n ? 1)T n ? ( 4 n ? 1)( 4 n ? 3 ).
? T n ?1 4n ? 1 ? Tn 4n ? 3 ? 1. 设 Tn 4n ? 3 ? c n , 则上式变为 c n ?1 ? c n ? 1 .

? { c n } 是等差数列.??????????????????????8 分
T1 1

? c n ? c1 ? n ? 1 ?

? n ? 1 ? b1 ? n ? 1 ? n .

?

Tn 4n ? 3

? n .即 T n ? n ( 4 n ? 3 ) ? 4 n

2

? 3 n . ????????????10 分

∴当 n=1 时, b n ? T 1 ? 1 ;当 n ? 2时 , b n ? T n ? T n ? 1 ? 4 n ? 3 n ? 4 ( n ? 1) ? 3 ( n ? 1) ? 8 n ? 7 .
2 2

经验证 n=1 时也适合上式. ? b n ? 8 n ? 7 ( n ? N ). ??????????12 分
*

22.解: (Ⅰ)由题意知 e=
6 1?1

c a

=

1 2

,所以 e =

2

c a

2 2

=

a -b c
2

2

2

=

1 4

.即 a =
x
2

2

3 4

b.

2

又因为 b=

= 3 ,所以 a =4,b =3.故椭圆的方程为

2

2

?

y

2

=1.?4 分

4

3

(Ⅱ)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y=k(x-4).
? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 2 2 由? x2 y2 ,得(4k +3)x -32k x+64k -12=0. ? ?1 ? 3 ? 4

①?6 分

设点 B(x1,y1),E(x2,y2),则 A(x1,-y1).直线 AE 的方程为 y-y2=
y 2 ( x 2 ? x1 ) y 2 ? y1

y2 ? y1 x 2 ? x1

(x-x2).令 y=0,得

x=x2-

.将 y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入,

整理,得 x=

2 x 1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 ? 8
32 k
2 2


2

②?8 分

由①得 x1+x2=

4k ? 3

,x1x2=

64 k ? 12 4k ? 3
2

?10 分

代入②整理,得 x=1.

所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0).??12 分


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