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指数函数及其性质课件


人教版高中数学必修1 A版§2.1.2

指数函数及其性质
邓紫妃

问题:如果让一号同学准备2粒米,二号同学准备4粒 米,三号同学准备8粒米,四号同学准备16粒米,五 号同学准备32粒米,......,按这样的规律,五十一 号同学改准备多少粒米?

分析:设x号同学所需准备y粒米,则有

y =2

x 51

( x ∈ Ν* )

当x=51, y = 2

= 1.2(亿吨)

问题 问题1 问题2
思考问题: 思考问题

对应关系

定义域

y = 1.073x y =2 x

x ∈Ν* ,x ≤ 20

x ∈ Ν*

(1)这两个解析式有什么共同特征? (2)它们是否构成函数?

共同特征: 共同特征:
两个解析式都具有 y = a 的形式.
x

指数函数的定义 一般地, 叫做指数函数, 一般地,函数 叫做指数函数, 是自变量, 其中 x 是自变量 函数的定义域是 R.
问题: 为什么a不能小于 且不等于1呢? 问题 为什么 不能小于0且不等于 呢 不能小于 且不等于 注意三点: 注意三点: 且不等于1的常数 (1)底数:大于 且不等于 的常数 )底数:大于0且不等于 (2)指数:自变量 )指数:自变量x (3)幂系数:1 )幂系数:

y = a x (a > 0, 且 a ≠ 1)

判断下列哪些函数是指数函数. 判断下列哪些函数是指数函数

1) y = x 2 , x ∈ R ( 2) y = 2 × 4 x , x ∈ R ( 3) y = ( ? 4) x , x ∈ R (
x

不是 不是 不是 是

1 (4) y = (2 a ? 1) ( a > , a ≠ 1), x ∈ R 2 5) y = π x , x ∈ R ( 是 6) y = 4 2 x , x ∈ R (



分组活动,合作学习: 分组活动,合作学习: (1)全班两大组,第一组从解析式角度研究指数函数,第二组从函数 )全班两大组,第一组从解析式角度研究指数函数,
图像角度研究指数函数。 图像角度研究指数函数。 a>1,0<a<1的具体值 (2)由于a的取值不同,第二组分两小组,分别取a>1,0<a<1的具体值 )由于a的取值不同,第二组分两小组,分别取a>1,0<a<1 1 1 1 画图。例如a=2,3,4…, 画图。例如a=2,3,4 ,a= a=2,3,4
, , 2 3 4



用描点法作函数 y = 2 和y = 3 的图象.
x x
x y=2x y=3x … … … -2 1/4 1/9 -1 1/2 1/3 0 1 1 1 2 3 2 4 9 … … …

y

y =3

x

y =2

x

1
-3 -2 -1

Y=1
1 2 3

o

x

函 数 图 象 特 征

1 x 1 x 用描点法作函数 y = ( ) 和y = ( ) 的图象. 2 3
x y=2-x y=3-x … … … -2 4 9 -1 2 3 0 1 1 1 1/2 1/3 2 1/4 1/9 … … …

1 x 1 x y = ( ) y=( ) 3y

2

-3 -2 -1

o

1

2

3

x

观察右边图象,完成下表 观察右边图象,

1 y=( )x 1x 3 y=( ) 2

y=3X

Y

y = 2x

Y=1
函数 定义域 值域 定点 单调性 y=2x/y=3x

1x 1 x 异同 y =( ) / y =( ) 2 3

O

X

R (0,+∞) 单调增

R (0,+∞) 单调减

同 同 发生变“异” 同 的原因? 异

(0,1) (0,1)

函数 图 象 定义域 值 域 性 定 质

y=ax (a>1)

y=ax (0<a<1)

指 数 函 数 性 质 一 览 表

( 0 , +∞ )
R 0 1 函数 y>1 0<y<1 R x>0, x<0, 函数 0<y<1 y>1

R



x>0, x<0,

再仔细观察,能发现什么新大陆吗? y=3
1 x y =( ) 3
X

Y

1 x y=( ) 2

y = 2x

Y=1 -x1 x1 O

X

(1)Y轴右侧:底大图高

(左侧呢?)

(2)底数互为倒数时两函数的图象关于y轴对称

左右无限上冲天, 左右无限上冲天, 永与横轴不沾边. 永与横轴不沾边 大 1 增,小 1 减, 图象恒过(0,1)点. 点 图象恒过

应用:比较大小
例1、比较下列各组数的大小: ①、

1.7 ,1.7
1 3 1 2

2 .5

3

②、0 .81 .3 ,0 .61 .3

③、a , a

④、1 .7 0.3 ,0 .9 3.1 (a > 0, 且a ≠ 1)

解:① 1.72.5、1.73可以看作函 数y=1.7x的两个函数值 ∵1.7>1 ∴ y=1.7x在R上是增函数 又∵2.5<3 ∴ 1.72.5 < 1.73



∵当x=1.3时,x>0 0.81.3>0.61.3

a ③、 , a
解:

1 3

1 2

( a > 0 , 且 a ≠ 1)
x

④、 .7 1

0 .3

,0 .9

3 .1
1 3
1 3

③ 当a > 1时,y = a 是R上的增函数, ∴ a

<a

1 2
1 2

当0 < a < 1时,y = a x是R上的减函数, a > a

>1, ④ ∵1.70.3>1,而0.93.1<1

∴1.7 0.3 > 0.9 3.1

比较指数幂大小的方法: ①、异指同底:构造函数法(一个), 利用函数的单调性,若 底数是参变量要注意分类讨论。 ②、异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在y轴左右 两侧的特点。

小结:
1.通过本节课,你对指数函数有什么认识? 2.这节课主要通过什么方法来学习指数函数 性质?
数形结合思想方法 从具体的到一般的学习方法

布置作业:
习题2.1 A组 5、7、8


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