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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.1 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修11_图文

2.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质

自主学习 新知突破

1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性 质.
2.通过对抛物线的简单几何性质的学习,进一步体会数 形结合思想在解题中的应用,并能应用几何性质解决有关问 题.

太阳能是最清洁的能源,太阳能灶是日 常生活中应用太阳能的典型例子.太阳能灶 接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周 形成的曲面,它的原理是太阳光线(平行光束) 射到抛物镜面上,经镜面反射后,反射光线 都经过抛物线的焦点,这就是太阳能灶把光 能转化为热能的理论依据.

[问题1] 抛物线有几个焦点? [提示1] 抛物线有1个焦点. [问题2] 抛物线有点像双曲线的一支,抛物线有渐近线 吗? [提示2] 抛物线没有渐近线.

抛物线的几何性质

类型 y2=2px(p>0)

y2=-2px (p>0)

x2=2py x2=-2py

(p>0)

(p>0)

图象

焦点
准线 范围 性 质 对称轴 顶点 离心率 开口方向

_???_2p_,__0_??? _

_???_-__p2,__0_???

_???_0_,__2p_???_

_???_0,__-__p2_???

_x_=_-__p2__

_x_=_p2____

_y=__-__p2__ _y_=_p2____

x_≥__0_,_y_∈__R x_≤__0,__y_∈__R y_≥__0_,_x_∈__R y_≤_0_,__x_∈_R_

_x_轴___

__y轴___

_____
向右

_原_点__(_0,_0_)

_____
e=1

_____
向左

_____
向上

_____
向下

抛物线的性质特点 (1)抛物线只有一个焦点,一个顶点,一条对称轴,一条准 线,无对称中心,因此,抛物线又称为无心圆锥曲线. (2)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸, 但它没有渐近线. (3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该 点到准线的距离的比,所以抛物线的离心率是确定的,为1.

(4)抛物线的焦点在对称轴上,准线垂直于对称轴,焦点到 准线的距离为 p,它是一个不变量,不随抛物线位置的变化而变 化,焦点与准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等, 均为p2.

1.抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 到

x 轴的距离是( )

17 A.16

B.78

C.1

D.1156

解析: 抛物线方程可化为 x2=14y,准线方程为 y=-116.
∵点 M 到焦点的距离等于点 M 到准线的距离.
∴点 M 到 x 轴的距离是1156. 答案: D

2.顶点在原点,焦点是 F(0,5)的抛物线方程是( )

A.y2=20x

B.x2=20y

C.y2=210x

D.x2=210y

解析: 由于焦点是(0,5)在 y 轴正半轴上,可设抛物线标准

方程为 x2=2py(p>0),由条件知p2=5,解得 p=10,则抛物线方 程为 x2=20y,故选 B.

答案: B

3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的 距离为7,则抛物线C的方程为________.
解析: 依题意得:4+p2=7,解得 p=6. 所以抛物线方程为 y2=12x. 答案: y2=12x

4.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的 距离为5.求p与m的值.
解析: 由抛物线方程得其准线方程:y=-p2,根据抛物线 定义,点 A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离,即 4+p2=5, 解得 p=2,∴抛物线方程为 x2=4y,
将 A(m,4)代入抛物线方程,解得 m=±4. 综上,p=2,m=±4.

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抛物线的标准方程与性质
对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在y轴上;②焦点在x轴上;③抛物线的横坐标为1 的点到焦点的距离等于6;④抛物线的通径长为5;⑤由原点向 过焦点的某条直线作垂线,垂足为(2,1). 适合抛物线y2=10x的条件是________.(要求填写合适条 件的序号) [思路点拨] 本题主要考查抛物线的简单几何性质,根据 抛物线的几何性质,用排除法解决问题.

解析: 抛物线 y2=10x 的焦点在 x 轴上,所以①不正确; 又抛物线 y2=10x 的准线为 x=-52,横坐标为 1 的点到焦点的距 离为:1+52=72≠6,所以③不正确;抛物线的通径长为:2p= 10≠5,所以④不正确.
设垂足为 C(2,1),则 kOC=12- -00=12,而连接垂足和焦点的斜 率为:052- -12=-2,由 2×???-12???=-1 可知两者垂直,适合题意.
答案: ②⑤

解决本题要熟练掌握抛物线简单的几何性 质,对于开口方向,对称轴,通径,焦半径等相关的知识是必 要的.另外,根据图形来分析,会起到更好的解题效果.

1.根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)焦点是 F(-8,0),准线是 x=8; (2)如图所示,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶 点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上.求抛物线 E 的方程.

解析: (1)焦点是 F(-8,0),准线是 x=8,表明抛物线顶点 在原点,焦点在 x 轴负半轴,故抛物线的标准方程可设为 y2=- 2px(p>0),所以 p=16.因此所求抛物线的标准方程为 y2=-32x.
(2)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30°. 设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30°=4 3,y=|OB|cos 30°=12. 因为点 B(4 3,12)在 x2=2py 上, 所以(4 3)2=2p×12,解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x2=4y.

抛物线几何性质的应用
已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x 轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积 为4,求此抛物线的标准方程.
[思路点拨] 求A,B的坐标 ―→ 求出弦长|AB| ―→ 写出△AOB的面积,利用面积列方程解

由题意,抛物线方程为 y2=2mx(m≠0),焦

点 F???m2 ,0???,直线 l:x=m2 ,

2分

∴A,B 两点坐标为???m2 ,m???,???m2 ,-m???,∴|AB|=2|m|. 6 分

∵△AOB 的面积为 4,∴12·???m2 ???·2|m|=4,

8分

∴m=±2 2,

10 分

∴抛物线方程有 y2=±4 2x.

12 分

抛物线的几何性质 (1)抛物线的几何性质包括抛物线的焦点、准线、范围、对 称轴、顶点、离心率、开口方向等,它的应用比较广泛,这一 部分的题型仍以直线与抛物线的关系为载体,涉及求直线方 程,弦长,平行,对称,最值等,解题时,结合题意大胆设出 参数和抛物线上点的坐标,利用条件化简整理,从而得以求 解.

(2)抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛 的应用,但是在解题过程中又容易忽视这些隐含条件,如抛物 线的对称性,准线与对称轴垂直等,解题时应注意挖掘并充分 利用这些隐含条件.

2.求顶点在原点,以x轴为对称轴,且通径长为8的抛物 线的标准方程,并指出其焦点坐标和准线方程.
解析: 抛物线的标准方程为y2=8x或y2=-8x.当抛物线 方程为y2=8x时,焦点为(2,0),准线方程为x=-2;当抛物线 方程为y2=-8x时,焦点为(-2,0),准线方程为x=2.

与抛物线有关的最值问题
已知抛物线 y2=2x. (1)设点 A 的坐标为???23,0???,求抛物线上距离 A 最近的点 P 的 坐标及相应的距离|PA|; (2)在抛物线上求一点 P,使 P 到直线 x-y+3=0 的距离最 短,并求出距离的最小值.

[思路点拨] 第(1)问将距离|PA|的最小值问题转化为函数 最小值问题,即代数方法解决几何问题.第(2)问可用点到直线 距离公式求距离,利用函数思想求最小值,也可采用求出与已 知直线平行的抛物线的切线,再求出切点,两平行直线的距离 即为距离的最小值.

(1)设抛物上任一点 P 的坐标为(x,y), 则|PA|2=???x-23???2+y2=???x+13???2+13. ∵x≥0 且在此区间上函数单调递增,故当 x=0 时,|PA|min =23,故距 A 最近的点的坐标为(0,0).

(2)方法一:设点 P(x0,y0)是 y2=2x 上任一点,则 P 到直线 x-y+3=0 的距离为
d=|x0-y20+3|=???y220-y20+3???=?y0-21?22+5, 当 y0=1 时,dmin=252=54 2, ∴点 P 的坐标是???12,1???.

方法二:设与直线 x-y+3=0 平行的抛物线的切线为 x-y +t=0,与 y2=2x 联立,消去 x,得
y2-2y+2t=0,由 Δ=0,得 t=12, 此时 y=1,x=12,∴点 P 的坐标是???12,1???,两平行线间的距 离就是点 P 到直线的最小距离,即 dmin=54 2.

与抛物线最值有关的问题的解题技巧 与抛物线有关的最值问题,除了利用抛物线的定义,使用 几何法求解外,也可根据题目条件转化为求函数的最值问题, 但应注意抛物线的范围,同时注意设点技巧.

3.已知抛物线 y2=4x 与直线 x+y-2=0 的交点为 A,B, 抛物线的顶点为 O,在A︵OB 上求一点 C,使△ABC 的面积最大, 并求出这个最大面积.

解析: 设与直线 AB 平行且与抛物线相切的直线方程为 x +y-b=0,将它与抛物线方程 y2=4x 联立,
消去 x 得方程 y2=4(b-y), 即 y2+4y-4b=0. 由 Δ=42-4(-4b)=0 得 b=-1, 故切线为 x+y+1=0. 求得切点 C(1,-2).

因直线

x+y+1=0



x+y-2=0

的距离

d=|1+22|=3

2

2 .

由?????xy+ 2=y4-x,2=0,

解得交点坐标为

A(4+2 3,-2-2 3),B(4-2 3,-2+2 3).

∴|AB|=4 6.

于是 S△ABC=12|AB|·d=12×4 6×32 2=6 3.

所以当 C 点为(1,-2)时,S△ABC 的最大值为 6 3.

抛物线 y=-12x2 的焦点坐标是(

)

A.???0,12??? C.???0,-12???

B.???-18,0??? D.???-12,0???

【错解】 B

【错因】 由于 2p=12,所以p2=18,即抛物线的焦点坐标为 ???-18,0???,而这种解法是对抛物线标准方程认识不清楚造成的, 事实上应将其转化为标准方程 x2=-2y,然后再求解,由条件得 x2=-2y,则 2p=2,p2=12,即焦点坐标是???0,-12???.
【正解】 C


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