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高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材


含绝对值的函数图象的画法及其应用
一、三点作图法 三点作图法是画函数 y = k | ax + b | + c ( ak ≠ 0) 的图象的一种简捷方法 (该函数图形形 状似“V” ,故称 V 型图) 。 步骤是:①先画出 V 型图顶点 ? ?

? b ? ,c ? ; ? a ?

②在顶点两侧各找出一点; ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线, 就得到函数 y = k | ax + b | + c ( ak ≠ 0) 的 图象。 例 1. 作出下列各函数的图象。 (1) y =| 2 x ? 1 | ?1 ; (2) y = 1? | 2 x + 1 | 。 , 。其图象如图 1 所示。 解: (1)顶点 ? , ? ,两点(0,0)(1,0) ?1

?1 ?2

? ?

图1 (2)顶点 ? ?

? 1 ? , 。其图象如图 2 所示。 , ,两点(-1,0)(0,0) 1? ? 2 ?

图2 注: k>0 时图象开口向上, k<0 时图象开口向下。 当 当 函数图象关于直线 x = ?

b 对称。 a

二、翻转作图法 翻转作图法是画函数 y =| f ( x ) | 的图象的一种简捷方法。 步骤是:①先作出 y = f ( x ) 的图象;②若 y = f ( x ) 的图象不位于 x 轴下方,则函数

y = f ( x) 的图象就是函数 y =| f ( x) | 的图象; ③若函数 y = f ( x ) 的图象有位于 x 轴下方的, 则可把 x 轴下方的图象绕 x 轴翻转 180°到 x 轴上方,就得到了函数 y =| f ( x ) | 的图象。
例 2. 作出下列各函数的图象。 (1) y =|| x | ?1 | ; (2) y =| x 2 ? 2 x ? 3 | ; (3) y =| lg( x + 3) | 。 解: (1)先作出 y =| x | ?1 的图象,如图 3,把图 3 中 x 轴下方的图象翻上去,得到图 4。图 4 就是要画的函数图象。

图3

图4
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(2)先作出 y = x ? 2 x ? 3 的图象,如图 5。把图 5 中 x 轴下方的图象翻上去,得到
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图 6。图 6 就是要画的函数图象。

图5 图6 (3)先作出 y = lg( x + 3) 的图象,如图 7。把图 7 中 x 轴下方的图象翻上去,得到图 8。图 8 就是要画的函数图象。

图6

图7

三、分段函数作图法 分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图,这种方法是画含有绝对值 的函数的图象的有效方法。 例 3. 作出下列函数的图象。 (1) y = x 2 ? 2 | x | +1 ; (2) y =| x + 1 | + | x ? 1 | ; (3) y =| x 2 ? 2 x ? 3 | 。 解: (1) y = x 2 ? 2 | x | +1 = ? 图 9 就是所要画的函数图象。

? x 2 ? 2 x + 1( x ≥ 0) ? ? x 2 + 2 x + 1( x < 0) ?

?? 2 x ? (2) y =| x + 1 | + | x ? 1 |= ?2 ?2 x ?
图 10 就是所要画的函数图象。 (3) y =| x 2 ? 2 x ? 3 |

( x ≤ ?1) (?1 < x < 1) ( x > 1)

? x 2 ? 2 x ? 3( x 2 ? 2 x ? 3 ≥ 0) ? =? 2 ?? x + 2 x + 3( x 2 ? 2 x ? 3 < 0) ? ? x 2 ? 2 x ? 3( x ≤ ?1或x ≥ 3) ? =? 2 ?? x + 2 x + 3(?1 < x < 3) ?
图 11 就是所要画的函数图象。

图9 图 10 图 11 注:分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。三点作图法、翻转作图法 虽然简便,但要注意适应的题型,第(3)小题也可用翻转作图法,有兴趣的同学不妨试一
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试。

四、应用 把数化为形是“数形结合”思想。利用图形的直观性化难为易,有事半功倍之效,简 洁明快之感。 1. 求函数值域。 例 4. 求函数 y =| x + 1 | + | x ? 1 | 的值域。 解:由图 10 知函数的值域为 [ 2, ∞) 。 +

2. 求函数的单调区间。
2 例 5. 求函数 y =| x ? 2 x ? 3 | 的单调递增区间。

解:由图 6 知函数单调递增区间为[-1,1] U [3, ∞ ) 。 +

3. 求方程解的个数。 例 6. 求方程 x 2 ? 2 | x | +1 =| lg( x + 3) | 解的个数。 解:方程 x 2 ? 2 | x | +1 =| lg( x + 3) | 解的个数就是函数 y = x 2 ? 2 | x | +1 的图象与函 数 y =| lg( x + 3) | 的图象在同一坐标系中交点的个数。由图 12 知两个函数图象有 5 个交点, 所以方程 x 2 ? 2 | x | +1 =| lg( x + 3) | 有 5 个解。

图 12

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