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2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)5:数列

2 012 高考试题分类汇编:5:数列
一、选择题
1.【2012 高考安徽文 5】公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 = (A) 1 【答案】A (B)2 (C) 4 (D)8

2 【解析】 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1 。

2.【2012 高考全国文 6】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? (A) 2
n ?1

(B) ( )

3 2

n ?1

(C) ( )

2 3

n ?1

(D)

1 2 n ?1

【答案】B 【解析】 因为 an?1 ? S n?1 ? S n , 所以由 S n ? 2an?1 得, n ? 2(S n?1 ? S n ) , 整理得 3S n ? 2S n?1 , S 所以

S n ?1 3 3 ? , 所 以 数列 {S n } 是 以 S1 ? a1 ? 1 为首 项 ,公 比 q ? 的 等 比 数列, 所 以 2 Sn 2

3 S n ? ( ) n ?1 ,选 B. 2
3.【2012 高考新课标文 12】数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 【答案】D 【解析】由 an?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1得,

an?2 ? (?1) n an?1 ? 2n ? 1 ? (?1) n [(?1) n?1 an ? 2n ? 1] ? 2n ? 1 ? ?an ? (?1) n (2n ? 1) ? 2n ? 1,
n n 即 an?2 ? an ? (?1)(2n ? 1 ? 2n ? 1 ,也有 an?3 ? an?1 ? ?(?1)(2n ? 1 ? 2n ? 3 ,两式相加 ) )

得 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? ?2(?1) n ? 4n ? 4 ,设 k 为整数, 则 a4k ?1 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? a4k ?4 ? ?2(?1) 4k ?1 ? 4(4k ? 1) ? 4 ? 16k ?` , 10 于是 S 60 ?

K ?0

? (a4k ?1 ? a4k ?2 ? a4k ?3 ? a4k ?4 ) ? ? (16k ?`10) ? 1830
K ?0

14

14

4.【2012 高考辽宁文 4】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= (A) 12 (B) 16 (C) 20
-1-

(D)24

【答案】B 【解析】? a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d ,

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题。 5.【2012 高考湖北文 7】定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定 的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数” 。现有定义在(∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x?;②f(x)=2x;③ |。 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 7. 【答案】C
2 f (an?1 ) an?1 【解析】 设数列 ?an ? 的公比为 q .对于①, 故①符合条件;对于②, ? 2 ? q 2 ,是常数, f (an ) an

;④f(x)=ln|x

| an ?1 | f (an?1 ) 2an?1 f (an ?1 ) ? ? an ? 2an?1 ?an ,不是常数,故②不符合条件;对于③, f (an ) f (an ) 2 | an |

?

an ?1 f (an?1 ) ln | an?1 | ,不是常数,故④不符 ? ? q ,是常数,故③符合条件;对于④, f (an ) ln | an | an

合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选 C. 【点评】本题考查等比数列的新应用,函数的概念.对于创新性问题,首先要读懂题意,然后 再去利用定义求解,抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项,等比中项的性质等. 6.【2012 高考四川文 12】设函数 f ( x) ? ( x ? 3) ? x ? 1 ,数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,
3

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? (
A、0 【答案】D. B、7 C、14

) D、21

【解析】 f (a1 ) ? f (a2 ) ??? f (a7 ) ? (a1 ? 3) ? a1 ?1 ? (a2 ? 3) ? a2 ?1 ? ?(a7 ? 3)
3 3

3

? a7 ?1 ? 14,即 (a1 ? 3)3 ? a1 ? 3 ? (a2 ? 3)3 ? a2 ? 3 ??(a7 ? 3)3 ? a7 ? 3 ? 0 ,根据等差数
列的性质得 (a4 ? 3 ? 3d ) ? (a4 ? 3 ? 2d ) ? ? ? (a4 ? 3 ? 3d ) ? 7(a4 ? 3) ? 0 ,即
3 3 3

(a4 ? 3 ? 3d )3 ? (a4 ? 3 ? 3d )3 ? (a4 ? 3 ? 2d )3 ? (a4 ? 3 ? 2d )3 ? ? ? (a4 ? 3)3 ? 7(a4 ? 3) ? 0

-2-

?2(a4 ? 3)((a4 ? 3) 2 ? 27d 2 ) ? 2(a4 ? 3)((a4 ? 3) 2 ? 12d 2 ) ? 2(a4 ? 3)((a4 ? 3) 2 ? 3d 2 ) ? (a4 ? 3)3 ? 7(a4 ? 3) ? 0 ,即 (a4 ? 3)(7(a4 ? 3)2 ? 84d 2 ? 7) ? 0 ,?a4 ? 3 ? 0, 即 a4 ? 3 , ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? 7a4 ? 21,故选 D.
7.【2102 高考福建文 11】数列{an}的通项公式 A.1006 【答案】A. 【解析】因为函数 y ? cos 所以 S 2012 ? B.2012 C.503 D.0 ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于

?
2

x 的周期是 4,所以数列 {an } 的每相邻四项之和是一个常数 2,

2012 ? 2 ? 1006 .故选 A. 4

8.【2102 高考北京文 6】已知为等比数列,下面结论种正确的是
2 2 2 (A)a1+a3≥2a2 (B) a1 ? a3 ? 2a2 (C)若 a1=a3,则 a1=a2(D)若 a3>a1,则 a4>a2

【答案】B 【解析】当 a1 ? 0 , q ? 0 ,时,可知 a1 ? 0 , a3 ? 0 , a2 ? 0 ,所以 A 选项错误;当 q ? ?1 时,C 选项错误:当 q ? 0 时, a3 ? a1 ? a3q ? a1q ? a4 ? a2 ,与 D 选项矛盾,因此描述均 值定理的 B 选项为正确答案,故选 B。 9.【2102 高考北京文 8】某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目前记录 的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为

(A)5(B)7(C)9(D)11 【答案】C 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C。

二、填空题
10.【2012 高考重庆文 11】首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ? 【答案】15

【解析】因为数列是等比数列,所以 S4 ?

1 ? 24 ? 15 。 1? 2
-3-

11.【2012 高考新课标文 14】等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=_______ 【答案】 ? 2 【解析】显然公比 q ? 1 ,设首项为 a1 ,则由 S 3 ? 3S 2 ? 0 ,得 即

a1 (1 ? q 3 ) a (1 ? q 2 ) , ? ?3 ? 1 1? q 1? q
, 即

q 3 ? 3q 2 ? 4 ? 0





q 3 ? q 2 ? 4q 2 ? 4 ? q 2 (q ? 1) ? 4(q 2 ? 1) ? 0

(q ? 1)(q 2 ? 4q ? 4) ? 0 ,所以 q 2 ? 4q ? 4 ? (q ? 2) 2 ? 0 ,解得 q ? ?2 .
12. 【2012 高考江西文 13】 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 公比不为 1。 a1=1, 若 且对任意的 都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=_________________。 【答案】11 【解析】 由条件 an ? 2 ? an ?1 ? 2an ? 0 得 anq2 ? anq ? 2an ? 0 , q ? q ? 2 ? 0 , 即 解得 q ? ?2
2

1 ? (?2)5 33 或 q ? 1 (舍去) ,所以 S5 ? ? ? 11. 1 ? (?2) 3
13.【2012 高考上海文 7】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 分别记为 V1 ,V2 ,...,Vn ,... ,则 lim(V1 ? V2 ? ... ? Vn ) ?
n ??

1 为公比的等比数列,体积 2

【答案】

8 。 7
1 为公比的等比数列, 8
8 。 7

【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以 1 为首项,

1 8 n = 8 (1 ? 1 ) ,∴ ∴ V1 + V2 +?+ Vn = 1 7 8n 1? 8 1?
14.【2012 高考上海文 14】已知 f ( x ) ?

1 ,各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 1? x

an?2 ? f (an ) ,若 a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是
【答案】

3 ? 13 5 。 26
1 2 8 , a 5 ? ,?, a11 ? , 2 3 13

【解析】由题意得, a 3 ?

∵ a2010 ? a2012 ,且 a n. >0,∴ a 2010 ?

?1? 5 ,易得 a2010 = a2008 =?= a 24 = a 22 = a 24 = a 20. , 2

-4-

∴ a 20. + a11 =

? 1 ? 5 8 3 ? 13 5 + = 。 13 26 2

15.【2012 高考辽宁文 14】已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a n+2)=5a n+1 , 则数列{an}的公比 q = _____________________. 【答案】2 【解析】? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ? 因为数列为递增数列,且 a1 ? 0, 所以q ? 1,? q ? 2 【点评】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题。 16. 【2102 高考北京文 10】 已知{an}为等差数列,n 为其前 n 项和, a1 ? S 若 Sn=_______。 【答案】 a2 ? 1 , Sn ?

1 2

1 ,2=a3, a2=______, S 则 2

1 2 1 n ? n 4 4 1 , 2

【解析】因为 S2 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ? a1 ?

1 2 1 n ? n。 4 4 1 2 17.【2012 高考广东文 12】若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? ,则 a1a3 a5 ? 2 1 【答案】 4 1 1 2 2 4 【解析】因为 a2 a4 ? a3 ? ,所以 a1a3 a5 ? a3 ? 。 2 4
所以 a2 ? a1 ? d ? 1, S n ? na1 ? n(n ? 1)d ?

.

三、解答题
2 18.【2012 高考浙江文 19】 (本题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n ? n ,

n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.
【答案】 【解析】

(1) 由 Sn= 2n2 ? n ,得
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡. ? ?

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1,n∈N﹡.
-5-

(2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡
所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 2 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2
2 n?1



2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n ,
2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )]
? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
19.【2012 高考江苏 20】 (16 分)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:

a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

【答案】解: (1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2



?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? 。 an ?1 ? an ?
2 2 2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ? 2

2



?? b ? 2 ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 an ? ? ?? ? ?
(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

∴ 1 < an?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

(﹡) ? 2。

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1

-6-

若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾。 q a1 a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn <1 ,与(﹡)矛盾。 q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q =1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。

又∵ bn?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】 (1)根据题设 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从而证 an ?1 an ? an ?

2

?b ? ?b ? 明 ? n ?1 ? ? ? n ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
(2)根据基本不等式得到 1 < an?1 ? 公比 q =1 。 从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn?1 ? 2 ? 列。最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 。
-7-

2

2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列 {an } 的

bn 2 2 的等比数 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

20. 【2012 高考四川文 20】(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg 【解析】

1 } 的前 n 项和最大? an

21.【2012 高考湖南文 20】 (本小题满分 13 分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元, 将其投入 生产, 到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业 从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底 企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资 金 d 的值(用 m 表示). 【答案】 【解析】 (Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

3 a1 ? d , 2 3 an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ? an ? d . 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? an ?1 ? d 2 3 3 ? ( ) 2 an ? 2 ? d ? d 2 2 3 3 ? ( an ? 2 ? d ) ? d 2 2 a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?
-8-

??
3 3 ? 3 3 ? ? ( )n?1 a1 ? d ?1 ? ? ( )2 ? ? ? ( ) n?2 ? . 2 2 ? 2 2 ?
整理得

3 ? 3 ? an ? ( )n?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( )n?1 ? 1? 2 ? 2 ?

3 ? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d . 2 3 n ?1 由题意, an ? 4000,? ( ) (3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000, 2

? 3 n ? ?( 2 ) ? 2? ?1000 1000(3n ? 2n?1 ) ? 解得 d ? ? . ? 3 n 3n ? 2n ( ) ?1 2
故该企业每年上缴资金 d 的值为缴

1000(3n ? 2n ?1 ) 时, 经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资金为4 3n ? 2n

000元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解 决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出 an ?1 与 an 的关系式 an ?1 ? 只要把第一问中的 an ?1 ?

3 an ? d ,第二问, 2

3 an ? d 迭代,即可以解决. 2

22.【2012 高考重庆文 16】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) ) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记

{an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。
【解析】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 以 a2k ? a1Sk ?2

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
2

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,所

从而 (2k ) ? 2( k ? 2)( k ? 3)

,即

k 2 ? 5k ? 6 ? 0
1 . 2

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 。 23.【2012 高考陕西文 16】已知等比数列 ?an ? 的公比为 q=(1)若

a

3

=

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4
-9-

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? , 【答案】

a

k



a

k ?2



a

k ?1

成等差数列。

24.【2012 高考湖北文 20】 (本小题满分 13 分) 已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1) 求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列错误!不能通过编辑域代码创建对象。的前 n 项和。 20. 【答案】

【解析】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以 及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式 an ? a1 ? ? n ?1? d 求解;有时需要利 用等差数列的定义: n ? an?1 ? c c 为常数) ( 或等比数列的定义: a

an c ? c ( c ' 为常数, ' ? 0 ) ' an ?1

来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数列或等比 数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需
- 10 -

注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 25.【2012 高考天津文科 18】 (本题满分 13 分) 已知 { } 是等差数列, 其前 n 项和为 S n , { (I)求数列{ }与{ (II)记 = + }的通项公式; , (n ,n>2) 。 } 是等比数列, 且 = =2, a 4 ? b4 ? 27 , - =10

【答案】

26.【2012 高考山东文 20】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和

- 11 -

Sm .

?5a ? 10d ? 105, 【答案】 (I)由已知得: ? 1 ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 , 即 bm ? 72m?1 . ∵
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , bk 7

∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, ∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

27.【2012 高考全国文 18】(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 【答案】

n?2 an 。 3

- 12 -

28.【2012 高考安徽文 21】 (本小题满分 13 分) 设函数 f(x) =

x + sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn } . 2

(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。 【答案】

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 2 2 3 2? 2? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 3 2? 4? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2 k? ? (k ? Z ) , 3 3 2? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值, 得:当 x ? 2k? ? 3 2? 得: xn ? 2n? ? 。 3 2? (II)由(I)得: xn ? 2n? ? 。 3 2n? 2n? Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? n(n ? 1)? ? 。 3 3
【解析】 (I) f ( x) ? 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0 ,
*

当 n ? 3k ?1(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

2? 3 , ? 3 2 4? 3 ?? , 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
* *

得: 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0 , 当 n ? 3k ?1(k ? N ) 时, sin Sn ?
*

3 , 2

- 13 -

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin Sn ? ?

3 。 2

- 14 -

【2012 高考上海文 23】 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题 满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 对 于 项 数 为 m 的 有 穷 数 列 ?an ? , 记 bk ? max ?a1 , a2 ,..., ak ? ( k ? 1, 2,..., m ) 即 bk 为 ,

a1 , a2 ,..., ak 中的最大值,并称数列 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,如 1,3,2,5,5 的控制数列是
1,3,3,5,5 (1)若各项均为正整数的数列 ?an ? 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 ?an ? (2)设 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,满足 ak ? bm?k ?1 ? C ( C 为常数, k ? 1, 2,..., m ) ,求证:

bk ? ak ( k ? 1, 2,..., m )
?1 ? (3)设 m ? 100 ,常数 a ? ? ,1? ,若 an ? an2 ? (?1) ?2 ?
n ( n ?1) 2

n , ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,求

(b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ... ? (b100 ? a100 )
【 答 案 】

- 15 -

【2012 高考广东文 19】 (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N .
*

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 【答案】 【解析】 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1。 因为 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 1,求得 a1 ? 1 。 (2)当 n ? 2 时, Sn ? Tn ? Tn?1 ? 2Sn ? n2 ? [2Sn?1 ? (n ?1)2 ] ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 2n ? 1 , 所以 Sn ? 2Sn?1 ? 2n ?1 所以 Sn?1 ? 2Sn ? 2n ? 1 ① ②

② ? ①得 an?1 ? 2an ? 2 , 所以 an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) ,即

an?1 ? 2 ? 2 (n ? 2) , an ? 2 a2 ? 2 ? 2。 a1 ? 2

求得 a1 ? 2 ? 3 , a2 ? 2 ? 6 ,则

所以 ?an ? 2? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 an ? 2 ? 3 ? 2n?1 ,

- 16 -

所以 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 , n ? N 。
*

【2102 高考福建文 17】 (本小题满分 12 分) 在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值 相等的概率。









【2012 高考江西文 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列|an|的前 n 项和 Sn ? kcn ? k (其中 c,k 为常数) ,且 a2=4,a6=8a3 (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn。 【答案】 【解析】(1)当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 ) 则 an ? Sn ? Sn?1 ? k (c ? c
n n?1

)

a6 ? k (c6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c2 )
a6 c6 ? c5 ? 3 2 ? c3 ? 8 ,∴c=2.∵a2=4,即 k (c2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k=2,∴ an ? 2n (n)1) a3 c ? c
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 2
- 17 -

综上所述 an ? 2n (n ? N * ) (2) nan ? n2n ,则

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n2 n (1) 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ( n ? 1)2 n ? n2 n ?1 (2)

(1)-(2)得

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n2n?1 Tn ? 2 ? (n ?1)2n?1

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