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云南师大附中2014届高考适应性月考文科数学


云南师大附中 2014 届高考适应性月考文科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 U ? ?0,1, 2,3? ,集合 A ? ?1,2? ,则 (CU A) A. ?3? B. ?0,1, 2? C. ?0,2,3?

B=
D. ?1, 2,3?

2.函数 f ( x) ? lg3x ? 2 ? x 的定义域为 A. ? 0, 2 ? 3.复数 B. ? 0, 2? C. ? 0, 2 ? D. ? 0, 2?

1 的虚部是 1? i 1 A. 2 1 C. i 2

1 B. ? 2 1 D. ? i 2

3 3
1 正视图 侧视图

4.某几何体的三视图及部分数据如图 1 所示,则此几何 体的体积是 A.

3 2

B. 3 D.3
?x

俯视图

C.2

5.函数 y ? ? x ? b 与 y ? b ( b ? 0 ,且 b ? 1 )的图像大致是 y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.
x

C.

D.
开始
i ? 1, S ? 10

?1? 6. 已知函数 f ( x) ? ? ? ? sin x ,则 f ( x ) 在 ?0, 2? ? 上的 ?2?
零点个数有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 7.按如图 2 所示的程序框图,在运行后输出的结果为 A.66 B.65 C.55 D.46

iD ?. 10 4?个




S ? S ?i

输出 S 结束

i ? i ?1

8.命题 p : ?x ? R,3x ? x ;命题 q : 若函数 y ? f ( x ? 3) 为奇函数,则函数 y ? f ( x) 的 图像关于点 (3, 0) 成中心对称.下列命题正确的是 A. p ? q 真 C. ? p 真 B. p ? q 真 D. ? q 假

9. 已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数, 且满足 f ( x ? 4) ? f ( x) , 当 x ?? ?2,0? 时,f ( x) ? ?2 x 2 , 则 f (2013) 等于 A.-4 B.-2 C.2 D.4

10.将函数 f ( x) ? ?4sin ? 2 x ? 点的横坐标缩短到原来的 最小正值为 A.

? ?

??

? 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位,再将图像上每一 4?

1 ? 倍 21世纪教育网 ,所得图像关于直线 x ? 对称,则 ? 的 2 4 3? 8
C.

? 8

B.

? 2

y

D.

3? 4

11.已知 R 上可导函数 f ( x ) 的图像如图 3 所示,则不等式

?x

2

? 2 x ? 3? f ?( x) ? 0 的解集为
A. ? ??, ?1? C. ? ??, ?1?

-2

-1

O

1

2

x

?3, ??? ? ?1,0? ? 2, ???
2

B. ? ??, ? D. ? ??, ?1?

? ?1,1? ?3, ???

12.若函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 在其定义域的一个子区间 (t ? 1, t ? 1) 上不是单调函数,则 实数 t 的取值范围是 A. ?1, ?

? 3? ? 2?

B. ? ??, ?

? ?

1? ? 2?

C. ?

?3 ? , ?? ? ?2 ?

D. ?

?1 3? , ? ?2 2?

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 注意事项:用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.已知函数 f ( x) ? ? 14.已知 tan x ?

?log 2 x, x ? 0, ?3 , x ? 0,
x

,则 f ? f ?

? ? 1 ?? ?? = ? ? 4 ??




1 ,则 cos 2 x = 3
3

15.曲线 f ( x) ? x ? x ? 2 在点 P 0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则 P 0 点坐标





16.在三棱锥 S ? ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ? 2 , SA ? SC ? 2 ,二面角

S ? AC ? B 的余弦值是
是 .

3 ,若 S 、 A 、 B 、 C 都在同一球面上,则该球的表面积 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 14 分) 如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一 个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l (宽度不计) ,切点 为 M,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系,若池边 AE 满足函数 y ? ? x2 ? 2(0 ? x ? 2 的图象,且点 M 到边 OA 距离为 t ( (1)当 t ?

2 4 ?t ? ). 3 3

2 时,求直路 l 所在的直线方程; 3 (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多
少? 18. (本小题满分 12 分)如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中,四 边形 ABCD 是菱形, PA ? PC , E 为 PB 的中点. P (1)求证: PD ∥平面 AEC ; (2)求证:平面 AEC ⊥平面 PDB
C D
2 2

E B A

19. (本小题满分 12 分)已知方程 x ? 2ax ? b ? 0 是关于 x 的一元二次方程. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数, b 是从 0,1,2 三个数中任取的一 个数,求上述方程有实数根的概率; (2)若 a , b 分别是区间 ?0,3? , ? 0, 2? 内的随机数,求上述方程有实数根的概率.

20. (本小题满分 12 分)已知一家公司生产某种产品的年固定成本为 10 万元,每生产 1 件该产品需投入 2.7 万元.设该公司一年内生产该产品 x 千件并全部销售完,每千件的销

1 ? 10.8 ? x 2 , 0 ? x ? 10, ? ? 30 售收入为 R ( x) 万元,且 R ( x) ? ? . 108 1000 ? ? 2 , x ? 10, ? 3x ? x

(1)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一产品的产销过程中所获的年利润最大. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? (1)若函数在区间 ? t , t ?

1 ? ln x . x

? ?

1? ? (其中 t ? 0 )上存在极值,求实数 t 的取值范围; 2?
a 恒成立,求实数 a 的取值范围. x ?1

(2)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ?

请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作 答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何选讲】 如图 4,已知圆 O1 与圆 O2 外切于点 P ,过点 P 的直线交圆 O1 于点 A ,交圆 O2 于点 B ,
D

AC 为 O1 的直径, BD 切 O2 于 B ,交 AC 延长线于 D .
(1)求证: AD ? BD ; (2)求证:若 BC 、 PD 相交于点 M ,则 AP ? BM ? AD ? PM . 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】

C ·O1 A

M

B

P ·O2

以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为:

? ? x ? 4 cos ? t cos ? , ? ?? ? ? 3 曲线 C2 的参数方程为:? ( ? 为参数,t ? 0 ) , ? ? 2 cos ? ? ? ? , 3? ? ? y ? 2sin ? ? t sin ? , ? 3 ?
点 N 的极坐标为 ? 4,

? ?

??

?. 3?

(1)若 M 是曲线 C1 上的动点,求 M 到定点 N 的距离的最小值; (2)若曲线 C1 与曲线 C2 有两个不同交点,求正数 t 的取值范围. 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 若 a 、b 、 x 、 y 均为正实数,并且 x ? y ? 1 ,求证:ab ? (ax ? by )(ay ? bx) ?

( a ? b) 2 4

云南师大附中 2014 届高考适应性月考卷文科数学参考答案 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 A 5 C 6 B 7 B 8 A 9 C 10 B 11 D 12 A

【解析】
?1? 6. (数形结合)函数 f ( x) 在 [0, 2 π] 上的零点个数,由函数 y ? ? ? 与 y ? sin x 的图象在 ?2?
[0, 2 π] 上的交点个数为 2,故选 B.
x

7.执行程序后,输出 10 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? 10) ,故选 B. 8.∵ p 命题是真命题, q 命题是假命题,故选 A. 9.∵ f ( x) 是 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x), ∴f ( x) 是以 4 为周期的周期函数, 易得当 x ? (0, 2] 时, f ( x) ? 2x2 , ∴f (2013) ? f (503 ? 4 ? 1) ? f (1) ? 2 12 ? 2 ,故选 C. 10.用排除法, ? ?

π 3π 显然不对,若 ? ? ,则依题意有: 8 8 π 3π ? ? f ( x) ? ?4sin ? 2 x ? ? 2 ? ? ? 4cos 2 x ? f ( x) ? 4cos 4 x 满足题设,故选 B. 4 8 ? ?

11. 由可导函数 f (x) 的图象知,不等式
( x2 ? 2x ? 3) f ?( x) ? 0 ? 不等式( x2 ? 2 x ? 3)( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? ( x ? 1)2 ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,∴原不等式的解集为 ?x x ? 1, x ? 3且x ? ?1? ,故选 D.

12.∵函数 f ( x) ? 2 x2 ? ln x 的定义域是 {x x ? 0} , 又 f ?( x) ? 4 x ?

1 4 x2 ? 1 (2 x ? 1)(2 x ? 1) ,∴若函数 f ( x) 在其定义域的一个子区间 ? ? x x x 1 ? 3? (t ? 1, t ? 1) 上不是单调函数,则有 0≤t ? 1 ? ? t ? ?1, ? 故选 A. 2 ? 2?,

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

题号 答案 【解析】

13

14

15

16

1 9

4 5

( 1 , 0 )或( ? 1 , ? 4 ) 6π

? ?log 2 x, x ? 0, 13.由 f ( x) ? ? x 知 ? ?3 , x≤0,

? ? 1 ?? 1 f ? f ? ? ? ? f (?2) ? 3?2 ? . 9 ? ? 4 ??

1 1? 1 ? tan 2 x 1 9 ?4. 14.∵ tan x ? ,∴ cos 2 x ? ? 2 1 ? tan x 1 ? 1 5 3 9
15.设 P0 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,∵曲线 f ( x) ? x3 ? x ? 2 在 P0 处的切线平行于直线
2 2 y ? 4 x ? 1 ,∴f ?( x0 ) ? 3x0 ? 1 ? 4 ? x0 ? 1 ? x0 ? ?1 ,∴P0 点的坐标为( 1 , 0 )或

( ?1, ?4) . 16.如图 1,取 AC 的中点 D,由已知易证二面角 S?AC?B 的平面角是
3 ,故由余弦定理可得 SB ? 2 ,由勾 3 股定理的逆定理可得 BS⊥AB, BS⊥BC ,补体得正方体,∴三

∠SDB,∴cos ?SDB ?

2?2?2 6 ? ,∴该球的表面积是 6π . 2 2 图1 三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

棱锥 S?ABC 的外接球的半径为

17. (1) M ( ,
2

2 14 ), l : 12 x ? 9 y ? 22 ? 0 3 9
2

(2) M (t ,?t ? 2) ,过切点 M 的切线 l : y ? (?t ? 2) ? ?2t ( x ? t )

t t ,故切线 l 与 AB 交于点 ( ,2) ; 2 2 t 1 t 1 2 4 t 1 17 11 令 y ? 0 ,得 x ? ? ,又 x ? ? 在 [ , ] 递减,所以 x ? ? ? [ , ] 2 t 2 t 3 3 2 t 12 6 t 1 故切线 l 与 OC 交于点 ( ? ,0) 。 2 t ? 地块 OABC 在切线 l 右上部分区域为直角梯形, 1 t 1 t 1 1 面积 S ? (2 ? ? ? 2 ? ) ? 2 ? 4 ? t ? ? 4 ? (t ? ) ? 2 ,等号 t ? 1 , S max ? 2 。 2 2 t 2 t t
2 即 y ? ?2tx ? t ? 2 ,令 y ? 2 得 x ?

) 18. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)如图 2,设 AC BD ? O ,连接 EO,因为 O,E 分别 是 BD,PB 的中点,所以 PD∥EO , ???????(4 分) 而 PD ? 平面AEC, EO ? 平面AEC ,所以 PD∥平面 AEC . ????????????????????????????(6 分)
图2

(Ⅱ)连接 PO,因为 PA ? PC ,所以 AC ? PO ,又四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC ? BD . ??????????????????????????(9 分) 而 PO ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD , PO BD ? O , 所以 AC ? 平面 PBD , ??????????????????????(11 分) 又 AC ? 平面 AEC ,所以平面 AEC ? 平面 PBD . ???????????(12 分) 19. (本小题满分 12 分) 解:设事件 A 为“方程 x 2 ? 2ax ? b2 ? 0 有实数根” . 2 2 当 a≥0 , b≥0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根的充要条件为 a ≥ b . ??(2 分) 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1) , (Ⅰ )基本事件共 12 个: (0, (2,2),(3,0) , (3, 1) , (3,2) .其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取 值. ????????????????????????????(4 分) 事件 A 中包含 9 个基本事件. ????????????????????(6 分) 事件 A 发生的概率为 P( A) ?

9 3 ? . 12 4

???????????????(7 分)

(Ⅱ )试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b) | 0 ≤ a ≤ 3, 0 ≤ b ≤ 2} . 构成事件 A 的区域为 {(a,b) 0 ≤ a ≤3, 0 ≤b ≤ 2,a ≥b} .
1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 ? . 所以所求的概率 P ? 3? 2 3

??????(10 分)

?????????????(12 分)

20. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)当 0 ? x≤10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ?

x3 ? 10 , 30

?????????????????????????????(2 分) 当 x ? 10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?

1000 ? 2.7 x , 3x

????????(4 分)

? x3 8.1 x ? ? 10, 0 ? x≤10, ? ? 30 ∴W ? ? ?98 ? 1000 ? 2.7 x, x ? 10. ? 3x ?

??????????????????(6 分)

(Ⅱ)①当 0 ? x≤10 时,由 W ? ? 8.1 ?

x2 ? 0 ,得 x ? 9 . 10

当 x ? (0, 9) 时, W ? ? 0 ;当 x ? (9, 10] 时, W ? ? 0 , ∴当 x ? 9 时,W 取得最大值,即 Wmax ? 8.1? 9 ?

1 ? 93 ? 10 ? 38.6 . 30

???(9 分)

1000 ? 1000 ? ? 2.7 x ?≤98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 , ②当 x ? 10 时, W ? 98 ? ? 3 x 3x ? ?

当且仅当

1000 100 时,W 取得最大值 38. ? 2.7 x ,即 x ? 3x 9
????????(11 分)

综合①②知:当 x ? 9 时,W 取得最大值为 38.6 万元,

故当年产量为 9 千件时,该公司在这一产品的产销过程中所获的年利润最大. ???????????????????????????(12 分) 21. (本小题满分 12 分)

1 ? ln x ln x ????????(2 分) , x ? 0 ,则 f ?( x) ? ? 2 , x x 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增;在 (1, ? ? ) 上单调递减, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值. ??????????????(4 分)
解: (Ⅰ )因为 f ( x) ?
1? ? 因为函数 f ( x ) 在区间 ? t , t ? ? (其中t ? 0) 上存在极值, 2? ?

?t ? 1, ? 所以 ? 1 t ? ? 1, ? ? 2

解得

1 ? t ? 1. 2

???????????????????(6 分)

a ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) , , 即为 ≥a, 记 g ( x) ? x ?1 x x [( x ? 1)(1 ? ln x)]?x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x 所以 g ?( x) ? , ???????(9 分) ? x2 x2
(Ⅱ )不等式 f ( x)≥ 令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x) ? 1 ?
∵x≥1 ,∴h?( x)≥0 ,

1 , x

∴h( x) 在 [1, ? ?) 上单调递增,

∴ [h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 ,

故 g ( x) 在 [1, ? ?) 上也单调递增,所以 [ g ( x)]min ? g (1) ? 2 , 所以 a≤2 . ????????????????????????(12 分) 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)如图 3,过点 P 作两圆公切线交 BD 于 T, 连接 PC ,∵AC 为直径,∴?APC ? 90? , ∴?BPC ? ?TPC ? ?TPB ? 90? , ? ?A ? ?ACP ? 90? , 又 BD 与⊙O2 相切于 B, PT 为两圆公切线,

图3

∴?TPC ? ?A , ?TBP ? ?TPB , ∴?TPB ? ?ACP ? ?TBP , ∴?A ? ?TBP ? 90? , 故 ?ADB ? 90?, ∴AD⊥BD .

????????????????????(5 分)

(Ⅱ) 由(Ⅰ)易证 △ APC ∽ △ ADB , ∴

PC AP 又由(Ⅰ)知∠ACP=∠DBP, ? , BD AD PC PM ? , BD BM

∴P、B、D、C 四点共圆,又易证 △PCM ∽△BDM ,∴

PM AP ? , BM AD ∴ AP BM ? AD PM .


????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4? 4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,可得点 N (2, 2 3) ,
2 1? ? 3? ? 曲线 C1 为圆 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 1, ? 2? ? 2 ? ? ? 2

?1 3? 圆心为 O1 ? , ?2 2 ? ? ,半径为 1, ? ?
∴ O1 N =3, ∴ MN 的最小值为 3 ? 1 ? 2 . ??????????????????(5 分)
2

2 1? ? 3? ? (Ⅱ)由已知,曲线 C1 为圆 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 1, ? 2? ? 2 ? ? ?

曲线 C2 为圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? t 2 (t ? 0) ,圆心为 O2 (2, ∵曲线 C1 与曲线 C2 有两个不同交点,
2 1? ? 3? ? ∴t ?1 ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? t ? 1, t ? 0 , 2? ? 2 ? ? ? ? 2

3) ,半径为 t,

解得 3 ? 1 ? t ? 3 ? 1, ∴正数 t 的取值范围是 ( 3 ? 1, 24. (本小题满分 10 分)

3 ? 1) .

??????????????(10 分)

证明: (ax ? by)(ay ? bx) ? ab ? a2 xy ? b2 xy ? abx2 ? aby 2 ? ab
? xy(a2 ? b2 ) ? ab( x2 ? y 2 ? 1)

? xy(a2 ? b2 ) ? ab[( x ? y)2 ? 2xy ? 1] .
∵x ? y ? 1,

????????????????(3 分)

∴ (ax ? by)(ay ? bx) ? ab ? xy(a2 ? b2 ) ? 2abxy ? xy(a ? b)2≥0 ( x, y ? 0) ,
? ab≤(ax ? by)(ay ? bx) .

?????????????????????(6 分)
2 2

? (ax ? by ) ? (ay ? bx) ? ? a( x ? y ) ? b( x ? y ) ? 又 (ax ? by )(ay ? bx)≤ ? ? ?? ? 2 2 ? ? ? ? ( a ? b) ?a?b? ?? . ? ? 2 4 ? ?
2 2

? ab≤(ax ? by)(ay ? bx)≤

(a ? b)2 . 4

?????????????????(10 分)


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