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湖北省2013年


2013 年_普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)


?

学(理科)

4. 将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R ) 的图像向左平移 m( m ? 0) 个单位长度后, 所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

? ? 5? C. D. 6 12 6 3 x2 y2 y2 x2 ? 5.已知 0 ? ? ? ,则双曲线 C1 : ? ? 1与 C 2 : ? ? 1的 cos 2 ? sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ? 4
A. B. A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 6.已知点 A(-1,1) 、B(1,2) 、C(-2,1) 、D(3,4) ,则向量 AB 和 CD 方向上的投影为 A.

??? ?

????

3 2 2

B.

3 15 2

C.

3 2 2

D.

3 15 2

7 . 一 辆 汽 车 在 高 速 公 路 上 行 驶 , 由 于 遇 到 紧 急 情 况 而 刹 车 , 以 速 度

v (t ) ? 7 ? 3t ?

25 1? t

在此期间汽车继续行驶的距离 (单位: (t的单位: s , v的单位: m / s ) 行驶至停止,

m )是
A. 1+25 ln 5 B. 8+25ln

11 3

C. 4+25ln 5

D. 4+50 ln 2

8.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别为 V1, V2, V3, V4, 这四个几何体为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有

AV1 ? V2 ? V4 ? V3 .

B. V ? V ? V ? V 1 3 2 4

C. V ? V ? V ? V 2 1 3 4

D. V ? V ? V ? V 2 3 1 4

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中抽 取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)= A.

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频率分布直方 图如图所示。 (1)直方图中 x 的值为___________; (2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为___________。 12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i=___________。

13.设 x, y , z ? R ,且满足: x +y +z =1,x+ 2 y +3 z = 14, x+y+z= ___________。 则 14.古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个三角形数为
2 2 2

n ( n +1) 2

=

1

1 n 2 + n ,记第 n 个 k 边形数为 N (n, k )(k ? 3) ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的 2 2 1 n2 + n 2 2 N ( n, 4)=n 2 N ( n, 3)= 1 n2 - n 2 2 2 N ( n, 6)=2 n -n N ( n, 5)= 3 1

表达式: 三角形数 正方形数 五边形数

六边形数 …………………………………………………………….. 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=_________________。 二.填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡的 ..... 对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请现在答题卡指定位置将你所选的题目序号 后的方框图用 2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如 图 , 圆 O 上 一 点 C 在直径AB上的射影为D, 点D在半径OC 上的射影为E . 若

AB ? 3 AD ,

CE EO

的值为

.

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在直线坐标系 xoy 中, 椭圆 C 的参数方程为

?

x ? a cos ? y ? b sin ?

?? 为参数 , a ? b ? 0 ? . 在极坐标系(与直角坐标系

xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴为正半轴 为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐标分
别为 ? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数 ? 与 ? =b. 若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则 ?? 4? 2
.

椭圆的离心率为

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC中,角A、B、C 对应的边分别为a , b, c. 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1. (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC的面积 S ? 5 3, b ? 5, 求 sin B sin C的值.

数学(理工类) 试卷 A 型 第 4 页(共 6 页) 18.(本小题满分 12 分)

已知等比数列 ? a n ? 满足: a2 ? a3 ? 10, a1a2 a3 ? 125. (I)求数列 ? a n ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m, 使得

1 a1

?

1 a2

? ?????? ?

1 an

若不存在,说明理 ? 1? 若存在,求 m的最小值;

由. 19.(本小题满分 12 分) 如图, AB 是圆 O 的直径,点 C是圆 O 上异于 A、B 的点,直线 PC ? 平面ABC ,

E , F 分别为PA, PB的中点.
(I)记平面 BEF 与平面ABC的交线为l,是判断l与平面PAC的位置关系, 并加以说明; ( II ) 设 ( I ) 中 的 直 线 l与圆 O的另一个交点为 D , 且点 Q满足 DQ ?

?

1 2

? CP. 记 直 线

P Q 与平面 A 所成的角为 , B C

异 面 直 线 所 成 的 锐 角 为 O

o

, 二 面 角

E ? l ? C的大小为?,求证: ? ? sin ? sin ? . sin
20.(本小题满分 12 分)

假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N 800, 50 的随机变量, 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 Pn . 求 Pn 的值; (I) (参考数据:若 X ? N ? , ?

?

2

?

?

2

? , 有 P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826, )

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544, P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974.
(II)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每年每天往返一次, A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元 /辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于 P0 的 概 率 运 完 从 甲 地 去 乙 地 的 旅 客 , 且 使 公 司 从 甲 地 去 乙 地 的 营 运 成 本 最 小 , 那 么 应 配 备

A型车、B型车各多少辆?

数学(理工类) 试卷 A 型 第 5 页(共 6 页) 21.(本小题满分 13 分)

2 如图, 已知椭圆 C1与 C 2的中心原点坐标 O , 长轴均为 MN 且在x轴上,短轴长分别为 2 m、n ? m ? n ? ,
过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1、 C2的四个交点按纵坐标 从大到小依次为 A、B、C、D. 记

??

m n

, ?BDM 和?ABN的面积分别为S1、S 2 .

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 =? S 2 , 求 ?的值; (II)当 ? 变化时,是否存在于坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 =? S 2 , 并说明理由.

22.(本小题满分 14 分) 设 n 为正整数, r 为正有理数. (I)求函数 f ? x ? ? ?1 ? x ? (II)证明:
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1 ? x ? ? 1? 的最小值;

n r ?1 ? ? n ? 1? r ?1

r?2

? nr ?

? n ? 1?

r ?1

? n r ?1

r ?1

;

(III)设 x ? R, ? x ? 为 不小于 x 的最小整数,例如 ? 2 ? =2,?? ? =4,? ? ? =-1. 记 ... 2

? 3? ? ?

令S ?

3

81 ? 3 82 ? 3 83 ? ?????? ? 3 125, 求 ? S ?的值.
4 3 4 3 4 3 4 3

(参考数据: 80 ? 344.7,81 ? 350.5,124 ? 618.3,126 ? 631.7. )

数学(理工类) 试卷 A 型 第 6 页(共 6 页)


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