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福建省福州市第八中学高二数学上学期期末考试试题 理_图文

福建省福州市第八中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学 (理) 试题
一、选择题: (共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 在复平面内,复数 A.第一象限 A. a ? b C. a ? b

2i ? 2i 对应的点位于 1? i
C.第三象限 B. a ? b D. a ? b 且 a ? b D. y ? x ? 2 D.第四象限

B.第二象限

2. 用反证法证明命题:“如果 a ? b ? 0 ,那么 a ? b ”时,假设的内容应是

3. 曲线 y ? 4 x ? x 3 在点(-1,-3)处的切线方程是 A. y ? 7 x ? 4 B. y ? 3 x ? 6 C. y ? x ? 4 4. 在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中,正确的有

A.①③ B.②③ C.①④ 5. 对于非零复数 a, b ,以下有四个命题: ①a?

D.③④

1 ? 0 ; ② (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ;③若 a ? 1 ,则 a ? ?1或 ? i ; a 2 ④若 a ? ab, 则 a ? b 或 a=0.则其中一定为真命题的是( )
A.②④ B.①③ C.①② D.③④

1 1 1 6. 利用数学归纳法证明 ? ? ? n n ?1 n ? 2
等式左端是 A. 1 ?

1 ? ? 1 (n∈N*,且 n≥2)时,第一步不 2n 1 1 ? 2 4
D.

1 2

B.

1 1 ? 2 4

C. 1 ?

1 1 1 ? ? 2 3 4

f ? x ? dx 的值为 4 ? x , 0 ? x ? 2, ? ? A. ? ? 6 B. ? ? 2 C. 2? D. 8 2 2 x y 8. 设椭圆 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,以 F2 为圆心,OF2 ( O a b 为椭圆中心) 为半径作圆 F2 ,若它与椭圆的一个交点为 M ,且 MF1 恰好为圆 F2 的一条切线,
7. 函数 f ? x ? ? ?
2

? ? 2 ? x,

x ? 0,

,则

?

2 ?2

则椭圆的离心率为

3 2 9. 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形,E 为 PD 中点, 若 PA ? a ,PB ? b , PC ? c ,则 BE ? P 1 1 1 A. a ? b ? c 2 2 2 1 1 1 E B. a ? b ? c 2 2 2 1 3 1 C. a ? b ? c C D 2 2 2 1 1 3 A B D. a ? b ? c 2 2 2 2 x 10.当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? ( x ? ax)e 的图象大致是
A. 3 ? 1 B. 2 ? 3 C. D.

2 2

二.填空题: (5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.函数 y ? ln x ? x 的单调递增区间为_______________. 12. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, CC1 中点为 E ,则直线 AE 与 BC1 所成的角的大小 为 .
2

13. 设 a=

3 ,b= 7 ? 2 ,c= 5 ? 2 ,则 a、b、c 的大小关系为________. (按 4
x x
x

从大到小的顺序排列,否则不给分) 14.已知点 A( x1 , a 1 ), B ( x2 , a 2 ) 是函数 y ? a (a ? 1) 的图象上任意不同两点,依据图象
x1 ? x2 a x1 ? a x2 ? a 2 成立. 运 2 用类比思想方法可知,若点 A ? x1 , ln x1 ? , B ? x2 , ln x2 ? 是函数 y ? ln x 的图象上任意不同两点,

可知, 线段 AB 总是位于 A、 B 两点之间函数图象的上方, 因此有结论

则类似地有___________________. 15. 已知 f ( x) ? x ,定义 f1 ( x) ? f ?( x), f 2 ( x) ? ? f1 ( x) ?? , x
e

, f n ?1 ( x) ? ? f n ( x) ?? , n ? N .经计算

f1 ( x) ?

1? x x?2 3? x , f 2 ( x) ? x , f3 ( x) ? x , ,照此规律,则 f n ( x) ? x e e e

三、解答题: (3 小题,共 30 分)

16. (本小题 10 分)复数 z1 ? 数,求实数 a 的值.

3 2 ? ?10 ? a 2 ? i, z2 ? ? ? 2a ? 5 ? i ,若 z 1+z2 是实 a?5 1? a

17. (本小题 10 分)设函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6ax ? 8 ,其中 a ? R .①若 f ( x) 在 x ? 3 处取得极值,求常数 a 的值;②若 f ( x) 在 ?1,3? 上不单调,求 a 的取值范围. 18. (本小题 10 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4, 点 D 是 AB 的中点,E 为 CB1 与 BC1 的交点. (1)求证:DE ∥平面 AC C1 A1; (2)求直线 BC1 与平面 DB1C 所成角的正弦值.

第Ⅱ卷(共 50 分) 一、选择题: (2 个小题,每小题 5 分,共 10 分) x2 y 2 19. 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个 a b 区域(不含边界),若点 (1, 2) 在“上”区域内,则双曲线离心率 e 的取值范围是 A. (1, 3 ) B. 1, 5

?

?

C. ( 5 ,??)

D



( 3 ,??)
20. 已知数列 ?an ?, a n ? 3 ? ? ?

?1? ?2?

n ?1

,把数列 ?an ? 的各项排成三角形状,如图所示.记

A(m, n ) 表示第 m 行,第 n 列的项,则 A(10,8) =.

?1? A. 3 ? ? ? ?2?

17

?1? B. 3 ? ? ? ?2?

50

C.

?1? 3?? ? ?2?

53

?1? D. 3 ? ? ? ?2?

52

二、填空题: (1 个小题,共 4 分)

21. 设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x) ,当 x ? x0 h( x ) ? g ( x ) ? 0 在 D 内恒成立,则称 P 点为函数 y ? h( x) 的“类对称中心点”,则函数 时,若 x ? x0

f ( x) ?

x2 ? ln x 的“类对称中心点”的坐标是__________________. 2e 2

三、解答题: (3 个小题,共 36 分) 22. (本小题 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中, PD ? 底面 ABCD, 底面 ABCD 是直角梯形, AB∥DC,

?ADC ? 90 , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 . (I)求证:BC ? 平面 PBD;
(II)问侧棱 PC 上是否存在异于端点的一点 E,使得二面角 E-BD-P 的余弦值为 存在,试确定点 E 的位置;若不存在,说明理由.

6 .若 3

23.(本小题 12 分)如图,直线 l : y ? x ? b(b ? 0) ,抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) ,已知
2

点 P (2, 2) 在抛物线 C 上,且抛物线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为

3 2 . 4

(I)求直线 l 及抛物线 C 的方程; (II)过点 Q (2,1) 的任一直线(不经过点 P )与抛物线 C 交于 A . B 两点,直线 AB 与直 线 l 相交于点 M ,记直线 PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 .判断由 k1 、 k2 、 k3 这 三个数(可随意改变顺序)能否构成等差数列,若能构成等差数列,请证明之;若不能,请 说明理由. 24.(本小题 12 分)已知 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 6 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)对一切 x ? ?3, ?? ? 恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 x ? ? 0, 2? ? ,求证: ln x ? cos x ?

3? sin x . ? 2x x

福州八中 2014—2015 学年第一学期期末考试 高二数学(理) 试卷参考答案及评分标准 第 I 卷(共 100 分)

18. 【解析】 (本小题 10 分) 【解析】(Ⅰ) ∵E 为 CB1 与 BC1 的交点,∴E 为 BC1 的中点, 又点 D 是 AB 的中点,即 DE 为三角形 ABC1 的中位线, ∴DE ∥AC1………………………………2 分 又 DE ? 平面 AC C1 A1 ∴DE ∥平面 AC C1 A1………………………4 分(用向量法酌情给分) (Ⅱ) 直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5, 2 2 2 ∵AC +BC =AB , ∴AC⊥BC,而由条件知,AC⊥C1C,且 BC⊥C1C=C,……………5 分 因此,以 CA.CB.CC1 分别为 x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标系, ∵AC=3,BC=4,AA1=4, 高二数学(理)期末考试卷答案 第 1 页 共 4 页

∴ A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C (0, 0, 0), D ? 3 , 2, 0 ? , B (0, 4, 4), C ? 0, 0, 4 ? 1 ? ? 1
?2 ?

?3 ? CD ? ? , 2, 0 ? , CB1 ? ? 0, 4, 4 ? , BC1 ? ? 0, ?4, 4 ? …………………7 分 ?2 ? 设平面 DB1C 的法向量 n =(x0,y0,z0), ?3 ? ?n CD ? 0 ? x0 ? 2 y0 ? 0 则由 ? ,令 x0=4,则 y0=-3,z0=3, ? ?2 n CB ? 0 ? ? ? 1 ?4 y0 ? 4 z0 ? 0
∴ n =(4,-3,3),……………………………………9 分 又直线 BC1 与平面 DB1C 所成角 ? 的正弦值即直线 BC1 与平面 DB1C 的法向量夹角的余弦值, ∴ sin ? ? cos ? n, BC1 ? ?

n1 BC1 n BC1

?

3 17 17
3 17 .………………………10 分 17

∴直线 BC1 与平面 DB1C 所成角的正弦值为

第Ⅱ卷(共 50 分) 一. 选择题: (共 2 小题,每小试题 5 分,共 10 分)

(Ⅱ)因为 PC ? (0,2, ?1) ,又 PE ? ? PC 且 ? ? ? 0,1? ,设 E ( x0 , y0 , z0 ) 则 ( x0 , y0 , z0 ? 1) ? (0, 2? , ?? ) 所以, E (0,2? ,1 ? ? ) 即 DE ? (0,2? ,1 ? ? ) .……………………6 分 设平面 EBD 的法向量为 n ? (a, b, c) , 因为 DB ? (1,1,0) ,由 n DB ? 0 , n DE ? 0 ,



?a ? b ? 0 得? , ?2? b ? (1 ? ? )c ? 0

2? ? ? , ………………9 分 令 a ? ?1 ,则可得平面 EBD 的一个法向量为 n ? ? ?1,1, ? ?1? ? ?
而平面 PDB 的法向量即为 BC ? (?1,1, 0) …………………………………………10 所以,

6 n BC ? ? 3 n BC

2 2? 2 2 1?1? ( ) ? ?1



解得 ? ?

1 或 ? ? ?1 ,……………………11 分 3

又由题意知 ? ? ? 0,1? ,故 ? ?

1 ,即点 E 在靠近点 P 的三等分处。………12 分 3

(Ⅱ)可以构成等差数列,即 k1 + k2 =2 k3

……………………6 分

直线 AB 的斜率存在,? 设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 y ? kx ? 2k ? 1 ,由

? y ? kx ? 2k ? 1, 2 得 ky ? 2 y ? 4k ? 2 ? 0 , ? 2 y ? 2 x , ? 设点 A 、 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,则 y ? y ? 2 , y y ? 2 ? 4k ,…7 分 1 2 1 2
k k

y ? 2 y1 ? 2 2 , k2 k1 ? 1 ? 2 ? x1 ? 2 y1 y1 ? 2 ?2 2

?

2 , y2 ? 2

2 2 ? +8 2( y1 ? y2 ) ? 8 2 2 4k ? 2 .…9 分 k ? k1 ? k2 ? ? ? ? ? 2 ? 4 k 2 y1 ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 3 ? 2? ? 4 k k

? y ? kx ? 2k ? 1, 2k ? 1 4k ? 1 得 xM ? , yM ? , k ?1 k ?1 ? y ? x ? 2, 4k ? 1 ?2 2k ? 1 k ? 1 ,…………………………11 分 ? ? k3 ? 2k ? 1 3 ?2 k ?1 ? k1 ? k2 ? 2k3 ,即由 k1 、 k2 、 k3 这三个数可构成等差数列.……………12 分
由?


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