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四省重点中学2015届高三下学期入学考试+数学理+Word版含答案

2012 级高三下学期入学考试 理科数学
一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上) 1、设集合 P = {x | x2 A、 m ? P C、 m ? P 2、复数

2x ≤ 0} , m = 30.5 ,则下列关系中正确的是( B、 m ? P D、 m ? P




1? i (i 是虚数单位)的共轭复数的虚部为( 1? i A、 ? 1 B、0
C、1 D、2

3、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 a13 ? S13 ? 13,则a1 ? (



A、 ?14 B、 ?13 C、 ?12 D、 ?11 4、一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是( A、1 B、2 C、3 D、4 5、对任意 x ? R ,函数 f ( x) ? ax3 ? ax2 ? 7 x 不存在 极值点的充要条件是( ... A、 0 ? a ? 21 B、 0 ? a ? 21
2





C、 a ? 0 或 a ? 21

D、 a ? 0 或 a ? 21 )

6、设 k ? R ,若关于 x 方程 x ? kx ? 1 ? 0 的二根分别在区间 (0,1) 和 (1, 2) 内,则 k 的取值范围为 ( A、 (??, ?2) C、 (1,3)

(2, ??)

B、 (2, ) D、 ( ??, 2)

5 2

5 ( , ??) 2


7、已知 O 是平面上的一个定点,A,B,C,是平面上不共线三个点,动点 P 满足:

OP ? OA ? ? (
A、内心

AB AC ? ), ? ? (0, ??) ,则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( | AB | sin B | AC | sin C
B、垂心 C、外心 D、重心

8 、设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点 , P 是 C 上一点 , 若 PF1 ? PF2 ? 6a, 且 a 2 b2 ) ?PF1F2 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为(
A、 2 B、 2 2 C、 3 D、

9、已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图象与直线y ? kx(k ? 0) 有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐标的最大 值为 ? ,则 ? 等于( ) A、 ? cos? B、 ? sin ? C、 tan ? D、 ? tan ?

4 3 3

?4 log 2 x , 0 ? x ? 2 ? 10、已知函数 f ? x ? ? ? 1 2 ,若存在实数 a 、 b 、 c 、 d , x ? 5 x ? 12, x ? 2 ? ? 2 满足 f ? a ? ? f ?b ? ? f ? c ? ? f ? d ? ,其中 d ? c ? b ? a ? 0 ,则 abcd 的取值范围是(
A、 (16, 21) B、 ?16,24?
1



C、 (17, 21)

D、 (18, 24)

二.填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卷上) 11、阅读右侧程序框图,则输出的数据 S 为________. 开始

?2 x ? y ? 0 ? 12、已知变量 x, y满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则z ? log 2 ( x ? y ? 1) 的 ?x ? 0 ?
最大值是 .

S ? 1, i ? 1
i?5
是 否

S ? S ? (?1)i

输出 S

13、 体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1, 2, 3 的三个箱中, 要求每个箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放球方法 有________种。

i ? i ?1
第 11 题图

结束

14、在矩形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 3 ,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B ? AC ? D ,则四面体

ABCD 的外接球的体积为
15、设函数 f ( x) 的定义域为 R,若存在常数 m>0,使 | f ( x) |? m | x | 对一切实数 x 均成立,则称 f ( x) 为 F 函数。给出下列函数:① f ( x) ? 0 ;② f ( x) ? x 2 ;③ f ( x) ? ④ f ( x) ?
2

2 (sin x ? cos x) ;

x ;⑤ f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足对一切实数 x1、x2 均有 x ? x ?1
。其中是 F 函数的序号为______________

三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,请把答案填在答题卷上) 16、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C 。 (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 2, c ? 3 ,D 为边 BC 的中点,求 AD 的长度。

17、 (本小题满分12分) 已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前四项和 S4 ? 14, 且a1 , a3 , a7 成等比. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn为数列{

1 }的前n项和 ,若 Tn ? ? an?1对一切n ? N * 恒成立,求实数 ? 的最小值. an an?1

2

18、 (本小题满分 12 分) 2013 年 6 月 11 号“神舟十号 ”发射成功。 这次发射过程共有四个值得关注的环节, 即发射、 实验、 授课、 返回。据统计,由于时间关系,某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为

3 1 1 2 、 、 、 ,并 4 3 2 3

且各个环节的直播收看互不影响。 (Ⅰ)现有该班甲、乙、丙三名同学,求这 3 名同学至少有 2 名同学收看发射直播的概率; (Ⅱ)若用 X 表示该班某一位同学收看的环节数,求 X 的分布列与期望.

19、 (本小题满分 12 分) 如图一,平面四边形 ABCD关于直线 AC 对称,?A ? 60? , ?C ? 90? , CD ? 2 .把 ?ABD 沿 BD 折起(如 图二) ,使二面角 A ? BD ? C 的余弦值等于

3 。对于图二,完成以下各小题: 3

(Ⅰ)求 A , C 两点间的距离; (Ⅱ)证明: AC ? 平面 BCD ; (Ⅲ)求直线 AC 与平面 ABD所成角的正弦值.

20、 (本小题满分 13 分)
3

x2 y 2 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,点 M 在椭圆 E 上. 已知 F 1 (?c,0)、F 2 (c,0) 是椭圆 a b ? (Ⅰ)若 ?F1MF2 的最大值是 ,求椭圆 E 的离心率;
2
(Ⅱ)设直线 x ? my ? c 与椭圆 E 交于 P 、 Q 两点,过 P 、 Q 两点分别作椭圆 E 的切线 l1 , l2 ,且 l1 与 l2 交于点 R , 试问:当 m 变化时,点 R 是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证 明你的结论;若不是,说明理由.

21、 (本小题满分 14) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x2 . (I)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围;
3x x (Ⅱ)在(1)的条件下,若 a ? 1 , h( x) ? e ? 3ae , x ? [0, ln 2] ,求 h( x) 的极小值;

(Ⅲ)设 F ( x) ? 2 f ( x) ? 3x ? kx(k ? R) ,若函数 F ( x) 存在两个零点 m, n(0 ? m ? n) ,
2

且满足 2 x0 ? m ? n ,问:函数 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线能否平行于 x 轴?若能, 求出该切线方程,若不能,请说明理由.

1-10:CADBA

BDCCB
4

125 ? 15、①④⑤ 6 16、解: (1) 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C ) ? sin B 1 ? B ? (0, ? ),? sin B ? 0,? cos A ? , A ? -----------6 分 2 3
11、0 12、2 13、10 14、
2 2 1 1 1 (2) AD ? ( AB ? AC ),? AD ? AB ? AC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC 2 2 2 1 1 19 ? AD ? 9 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3? ? ---------12 分 2 2 2 ? ?4a1 ? 6d ? 14 2 17、解: (1)设公差为 d,由已知得: ? ? ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) ,联立解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍去)

……5 分 ? a1 ? 2 ,故 an ? n ? 1 1 1 1 1 ? ? ? (2) an an ?1 (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1) (n ? 2)
? Tn ?

……6 分 ……8 分

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ? …… ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2) n 2(n ? 2)2 4 ? (n ? 2) ,?? ? ? 2(n ? ) ? 8 2(n ? 2) n n

?Tn ? bn ?1 ,? ?

4 又 2(n ? ) ? 8 ? 12 ,? ? 的最大值为 12 ………12 分 n 18、解: (Ⅰ)设“这 3 名同学至少有 2 名同学收看发 射直播”为事件 A ,
2 3 则 P( A) ? C3 ( )2 ? (1 ? ) ? C3 ( )3 ?

3 4

3 4

3 4

27 . …………………………………………………4 分 32

(Ⅱ)由条件可知 X 可能取值为 0,1, 2,3, 4 .

3 1 1 2 1 P( X ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ; 4 3 2 3 36 3 1 1 2 3 1 1 2 P( X ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) 4 3 2 3 4 3 2 3 3 1 1 2 3 1 1 2 13 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ; 4 3 2 3 4 3 2 3 72 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 P( X ? 2) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 7 ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? ; 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 18 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 23 P( X ? 3) ? (1 ? ) ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ? ? ? ? (1 ? ) ? ; 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 72 3 1 1 2 1 P( X ? 4) ? ? ? ? ? ; 4 3 2 3 12 即 X 的分布列 4 3 0 1 2 X 1 7 1 13 23 P 12 18 36 72 72
…………………………………………………………………10 分

1 13 7 23 1 9 X 的期望 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? .………………………12 分 36 72 18 72 12 4 AE , CE 19、解: (Ⅰ)取 BD 的中点 E ,连接 , AB ? AD , CB ? CD AE ? BD , CE ? BD 由 ,得: ??AEC 就是二面角 A ? BD ? C 的平面角,
5

? cos?AEC ?

3 3 在 ?ACE 中, AE ? 6 , CE ? 2 AC2 ? AE2 ? CE 2 ? 2 AE ? CE ? cos?AEC

3 ? 4 ? AC ? 2 ………(4 分) 3 (Ⅱ)由 AC ? AD ? BD ? 2 2 , AC ? BC ? CD ? 2 ? AC2 ? BC2 ? AB2 , AC2 ? CD 2 ? AD2 , ? ?ACB ? ?ACD ? 90 ? ? AC ? BC , AC ? CD , 又 BC ? CD ? C ? AC ? 平面 BCD . ………(8 分) (Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知 BD ? 平面 ACE BD ? 平面 ABD ∴平面 ACE ? 平面 ABD平面 ACE ? 平面 ABD ? AE , 作 CF ? AE 交 AE 于 F ,则 CF ? 平面 ABD, CE 3 .…………(12 分) ?CAF 就是 AC 与平面 ABD所成的角? sin ?CAF ? sin ?CAE ? ? AE 3 方法二:设点 C 到平面 ABD的距离为 h , 1 1 1 1 ? ? ? 2 2 ? 2 2 sin 60?? h ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ∵ VC ? ABD ? VA?BCD 3 2 3 2 2 3 h 3 于是 AC 与平面 ABD所成角 ? 的正弦为 sin ? ? . ………(12 分) ?h ? ? AC 3 3 方 法 三 : 以 CB , CD , CA 所 在 直 线 分 别 为 x 轴 , y 轴 和 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 C ? xyz , A(0,0,2), B(2,0,0), C (0,0,0) D(0,2,0) . 设平面 ABD的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AB ? 0 , n ? AD ? 0 , ? 2 x ? 2 z ? 0,2 y ? 2 z ? 0 取 x ? y ? z ? 1 ,则 n ? (1,1,1) , 于是 AC 与平面 ABD所成角 ? 的正弦即 ? 6 ? 2 ? 2? 6 ? 2 ?



sin ? ?

| n ? CA | | 0 ? 0 ? 2 | 3 ? ? 3 . …………(12 分) 3?2 | n || CA |
MF1 ? MF2 ? 2a,? MF1 ? MF2 ? ( MF1 ? MF2 2 ) ? a2 2 4b2 ? 2MF1 ? MF2 2b 2 ? 2 ?1 ? a 2MF1 ? MF2

20、解:(Ⅰ)

? cos ?F1MF2 ?

MF12 ? MF22 ? 4c2 2MF1 ? MF2

………4 分

? 2b 2 ,所以 2 ? 1 ? 0 ………5 分 2 a c b2 2 因此椭圆 E 的离心率 e ? ? 1 ? 2 ? ………6 分 a a 2 a2 (Ⅱ)当 m 变化时,点 R 恒在一条定直线 x ? 上 c x2 y 2 证明:先证明:椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)上一点M ( x0 , y0 )的切线方程是 a b
因为 ?F1MF2 的最大值是

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b
方法一:当 x0 y0 ? 0时, 设 切线方程为:y-y0 =k(x-x0 )与椭圆 E 方程联立得:

(b2 ? a2k 2 ) x2 ? 2a2k ( y0 ? kx0 ) x ? a2 ( y0 ? kx0 )2 ? a2b2 ? 0
由 ? ? 0及

x0 2 y0 2 ay bx ? 2 ? 1得:( 0 k ? 0 )2 ? 0 2 a b b a
6

b 2 x0 xx y y 所以 k ? ? 2 ,因此切线方程是 02 ? 02 ? 1 ………9 分 a b a y0
x2 方法二:不妨设 点M ( x0 , y0 ) 在第一象限,则由 y ? b 1 ? 2 a 2 ?bx b x0 得 y' ? ,所以 k ? y ' x ? x0 ? ? 2 2 a y0 x a2 1 ? 2 a
因此切线方程是

x0 x y0 y ? 2 ? 1 ………9 分 a2 b

设 P( x1 , y1 )、Q( x2 , y2 ),

x1 x y1 y xx y y ? 2 ? 1 , l2的方程是 22 ? 22 ? 1 2 a b a b 2 a ( y2 ? y1 ) 联立方程,解得 x ? ,又 x1 ? my1 ? c, x2 ? my2 ? c , x1 y2 ? x2 y1 所以 x1 y2 ? x2 y1 ? (my1 ? c) y2 ? (my2 ? c) y1 ? c( y2 ? y1 )
则 l1的方程是 因此 xR ?

a2 a 2 ( y2 ? y1 ) a 2 ,当 m 变化时,点 R 恒在一条定直线 x ? 上。…13 分 ? c x1 y2 ? x2 y1 c
2

21、解: (Ⅰ) g ( x) ? f ( x) ? ax ? ln x ? x ? ax, g ?( x) ?

1 ? 2 x ? a. x 1 由题意,知 g ?( x) ? 0, x ? (0, ??) 恒成立,即 a ? (2 x ? ) min .…… 2 分 x 1 2 又 x ? 0, 2 x ? ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时等号成立. x 2 1 故 (2 x ? ) min ? 2 2 ,所以 a ? 2 2 . ……4 分 x x 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 1 ? a ? 2 2. 令 e ? t ,则 t ?[1, 2] ,则 h( x) ? H (t ) ? t ? 3at.

H ?(t ) ? 3t 2 ? 3a ? 3(t ? a )(t ? a ). ……5 分
由 H ?(t ) ? 0 ,得 t ? , a ? (1, 2 2],? a ? [1, 2 4 ] , a 或 t ? ? a (舍去) ①若 1 ? t ? a ,则 H ?(t ) ? 0, H (t ) 单调递减; h( x) 在 (0,ln a ] 也单调递减; ②若 a ? t ? 2 ,则 H ?(t ) ? 0, H (t ) 单调递增. h( x) 在 [ln a ,ln 2] 也单调递增; 故 h( x) 的极小值为 h(ln a ) ? ?2a a ……8 分
2
3

(Ⅲ)设 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 的切线平行于 x 轴,其中 F ( x) ? 2ln x ? x ? kx.

?2 ln m ? m2 ? km ? 0, ① ? 2 2 ln n ? n ? kn ? 0, ? ② ? 结合题意,有 ?m ? n ? 2 x0 , ③ ? ? 2 ? 2 x0 ? k ? 0, ④ ? ? x0

……10 分

m m n ? 2 x . 由④得 k ? 2 ? 2 x . ①—②得 2ln ? ( m ? n)( m ? n) ? k ( m ? n). ,所以 k ? 0 0 n x0 m?n 2ln
7

m ? 1) m 2(m ? n) n 所以 ln ? ? . ⑤ ……11 分 m n m?n ?1 n m 2(u ? 1) 2(u ? 1) ? 0(u ? (0,1)). 设 y ? ln u ? (u ? (0,1)) , 设 u ? ? (0,1) ,⑤式变为 ln u ? n u ?1 u ?1 1 2(u ? 1) ? 2(u ? 1) (u ? 1) 2 ? 4u (u ? 1) 2 y? ? ? ? ? ? 0, u (u ? 1)2 u(u ? 1)2 u(u ? 1) 2 2(u ? 1) 2(u ? 1) ? 0. 所以函数 y ? ln u ? 在 (0,1) 上单调递增,因此, y ? y |u ?1 ? 0 ,即 ln u ? u ?1 u ?1 m 2( ? 1) m n 也就是, ln ? ,此式与⑤矛盾. m n ?1 n 所以 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴.……14 分 2(

8


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