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2016-2017学年高中数学 第二章 函数 2.3 函数的单调性课件 北师大版必修1_图文

§3 函数的单调性

学习目标
1.理解函数的单调性 的概念及其几何意 义. 2.掌握用定义证明函 数单调性的步骤,会 求函数的单调区间. 3.理解函数单调性的 简单应用,会求简单 函数的最值.

思维脉络

一、函数在区间上增加(减少)的定义 1.

2.

做一做1 导学号91000058已知四个函数的图像如图所示,其中 在定义域内具有单调性的函数是( )
解析:已知函数的图像判断其在定义域内的单调性,应从它的图 像是上升的还是下降的来考虑.根据函数单调性的定义可知函数B 在定义域内为增函数.
答案:B

二、单调区间、单调性与单调函数 如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为单调 区间. 如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那 么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性. 如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们分别 称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.

做一做2 已知函数y=f(x)的图像如图所示,则函数的单调减区间



.

答案:

-∞,-

3 2

,

1 2

,

+



三、函数的最大值与最小值
1.最大值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足: (1)对于任意x∈D,都有f(x)≤M ; (2)存在x0∈D,使得f(x0)=M . 那么我们称M是函数y=f(x)的最大值,记作ymax=f(x0). 2.最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足: (1)对于任意x∈D,都有f(x)≥M ; (2)存在x0∈D,使得f(x0)=M . 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值,记作ymin=f(x0).

做一做3 函数y=x-1在区间[3,6]上的最大值和最小值分别是
()
A.6,3 B.5,2 C.9,3 D.7,4 解析:函数y=x-1在区间[3,6]上是增函数,则当3≤x≤6 时,f(3)≤f(x)≤f(6),即2≤y≤5,所以最大值和最小值分别是5,2. 答案:B

思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”.
(1)y=1在其定义域内是增函数. ( × ) (2)若函数 y=f(x)在定义域上有 f(1)<f(2),则 y=f(x)是增函数.
(× ) (3)y=1的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ( × ) (4)若函数 y=f(x)在区间[2,6]上为减函数,则函数 y=f(x)的单调
减区间为[2,6]. ( × )
(5)函数 f(x)在区间[m,n]上的最大值为 f(n),最小值为 f(m).( × ) (6)若任意 x1,x2∈A,当 x1<x2 时,(11)--2(2)>0,则 y=f(x)在 A 上是 增加的. ( √ )

探究一

探究二

探究三

思想方法

探究一函数单调性的判断与证明

【例1】 导学号91000059(1)下列函数在区间(-∞,0)上为增函数的

是( ) A.f(x)=3-x C.f(x)=x2-2x-1

B.f(x)=1-1 D.f(x)=-|x|

(2)已知函数 f(x)=2+-11.

①求 f(x)的定义域;

②证明函数 f(x)=2+-11在[1,+∞)上是增函数.

分析:(1)根据单调性定义,并结合函数图像作答;

(2)严格按照函数单调性的定义来证明.

探究一

探究二

探究三

思想方法

解:(1)D
(2)①由题意知x+1≠0,即x≠-1.
所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
②任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,



f(x2)-f(x1)=222+-11

?

21-1 1+1

=

(22-1)(1+1)-(21-1)(2+1) (2+1)(1+1)

= (23+(12)(-11+) 1).因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.

又因为x1,x2∈[1,+∞), 所以x2+1>0,x1+1>0, 所以f(x2)-f(x1)>0, 所以函数 f(x)=2+-11在[1,+∞)上是增函数.

探究一

探究二

探究三

思想方法

探究一

探究二

探究三

思想方法

变式训练1 (1)下列函数中,在区间(-∞,0)上为增函数,且在区间 (0,+∞)上为减函数的函数为( )

A.f(x)=|1|

B.g(x)=-2x

C.h(x)=5 D.s(x)=1

(2)证明函数f(x)=-x2+4x+1在区间(-∞,2]上是增加的. (1)答案:A

(2)证明:设x1,x2是区间(-∞,2]上的任意两个实数,且x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=(-12+4x1+1)-(-22+4x2+1) =(22 ? 12)+4(x1-x2)=(x1-x2)(4-x1-x2).
因为x1<x2≤2, 所以x1-x2<0,4-x1-x2>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在区间(-∞,2]上是增加的.

探究一

探究二

探究三

思想方法

探究二用图像法求函数的单调区间

【例2】 已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图像,并结合

图像写出函数的单调区间.

分析:首先分类讨论,去掉绝对值号,将函数化为分段函数,然后画

出图像求解即可.

解:f(x)=x|x-2|=

(-2), (2-),

≥ <

22,, 图像如下图所示.

由图像可知,函数的单调增区间为(-∞,1],[2,+∞);单调减区间为 [1,2].

探究一

探究二

探究三

思想方法

探究一

探究二

探究三

思想方法

探究一

探究二

探究三

思想方法

变式训练2 画出函数y=-x2+2|x|+3的图像,根据图像指出其单调

区间.

解:y=-x2+2|x|+3=

-2 + 2 + 3, ≥ 0, -2-2 + 3, < 0,



f(x)=

-(-1)2 + 4, ≥ 0, -( + 1)2 + 4, < 0.

其图像如图所示.

由图像可知,f(x)在(-∞,-1]和[0,1]上是增加的,

在[-1,0]和[1,+∞)上是减少的.

探究一

探究二

探究三

思想方法

探究三函数单调性的简单应用

【例3】 导学号91000060(1)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-

∞,4]上是减少的,求实数a的取值范围;

(2)求函数f(x)=

1 -1

在区间[3,4]上的最值;

(3)已知函数g(x)在R上为增函数,且g(t)>g(1-2t),求t的取值范围.

分析:(1)先将函数解析式配方,找出对称轴,画出图形,寻找对称轴

与区间的位置关系求解;

(2)先利用单调性的定义判断f(x)的单调性,再求最值;

(3)充分利用函数的单调性,实现函数值与自变量不等关系的互化.

探究一

探究二

探究三

思想方法

解:(1)∵f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,

∴该二次函数图像的对称轴为x=1-a.

∴f(x)的单调减区间为(-∞,1-a].

∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,

∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.

∴1-a≥4,解得a≤-3.

(2)在区间[3,4]上任取两个值x1,x2,且x1<x2,



1
x1-x2<0,f(x2)-f(x1)=2-1

?

1 1-1

=(12--11-)((21--11)) = (2-11)-(21-1).

探究一

探究二

探究三

思想方法

∵x1,x2∈[3,4],

∴(x2-1)(x1-1)>0.

又∵x1-x2<0,

∴f(x2)<f(x1).

∴f(x)=1-1在区间[3,4]上是减少的.

∴f(x)的最大值为

f(3)=12,最小值为

1
f(4)=3.

(3)∵g(x)在 R 上为增函数,且 g(t)>g(1-2t),

∴t>1-2t,∴t>13,

即所求 t 的取值范围为

1 3

,

+



.

探究一

探究二

探究三

思想方法

探究一

探究二

探究三

思想方法

变式训练 3 (1)已知函数 f(x)=x2-4ax+1 在区间[-1,+∞)上是

增加的,则实数 a 的取值范围是( )

A.a≥-12 C.a≤-12

B.a>-12 D.a=-12

(2)导学号 91000061 已知函数 f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函

数,且在该区间上是增加的,则满足 f(2x-1)<f

1 3

的 x 的取值范围是

()

A.

1 3

,

2 3

C.

1 2

,

2 3

B.

1 3

,

2 3

D.

1 2

,

2 3

(3)函数 y= + 1,∈[-3,-1],的最小值是 --1,∈(-1,4]

;最大值



.

探究一

探究二

探究三

思想方法

解析:(1)f(x)=x2-4ax+1 的图像开口向上,对称轴为 x=2a.

∵f(x)在区间[-1,+∞)上是增加的,

∴2a≤-1,即 a≤-12. ∴实数 a 的取值范围为 a≤-12,故选 C.

(2)由已知,2x-1 在函数的定义域内,又 f(x)在定义域上是增加的,

而 f(2x-1)<f

1 3

,∴

2-1 2-1

≥ <

013 ,,解得12≤x<23.

(3)y=x+1在[-3,-1]上是增加的,

此时ymax=0,ymin=-2; y=-x-1在(-1,4]上是减少的,

此时ymin=-5,无最大值. 故函数最大值为0,最小值为-5.

答案:(1)C (2)D (3)-5 0

探究一

探究二

探究三

思想方法

分类讨论思想在函数的单调性中的应用

典例讨论函数f(x)=

2-1

(-1<x<1,a≠0)的单调性.

分析:要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有

参数,因此要注意分类讨论思想的应用.

解:设 x1,x2 是(-1,1)上的任意两个自变量,且 x1<x2.



f(x1)-f(x2)=12-11

?

2 22-1

=

(12+1)(2-1 (12-1)(22-1)

).

∵x1x2+1>0,x2-x1>0,12-1<0,22-1<0,

∴当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),

此时 f(x)在(-1,1)上是减函数;

当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),

此时 f(x)在(-1,1)上是增函数.

综上所述,当 a>0 时,函数 f(x)在(-1,1)上是减函数;

当 a<0 时,函数 f(x)在(-1,1)上是增函数.

探究一

探究二

探究三

思想方法

1.函数f(x)=-2x 的递增区间是( ) A.(-∞,0)

123456

B.(0,+∞)

C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞) 解析:由f(x)的图像可知,其递增区间为(-∞,0)和(0,+∞). 答案:D

123456

2.若f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数,则有( )

A.a≥12 C.a>-12

B.a≤12 D.a<12

解析:∵f(x)是 R 上的减函数,∴2a-1<0.∴a<12.

答案:D

123456

3.若函数y=|x-a|在区间(-∞,4]上是减少的,则实数a的取值范围



.

解析:函数y=|x-a|的图像如图所示,所以只要a≥4,就能保证函数

y=|x-a|在区间(-∞,4]上是减少的,因此a≥4.

答案:a≥4

123456

4.函数f(x)=2x2+x在区间[-1,0]上的最大值为

,最小值



.

解析:由于 f(x)=2x2+x=2



+

1 4

2

? 18,借助图像可知,f(x)在

-1,-

1 4



是减少的,在

-

1 4

,0

上是增加的,因此

f(x)在区间[-1,0]上的最大值为

f(-1)=1,最小值为 f

-

1 4

=-18.

答案:1 -18

123456

5.证明函数 f(x)=2-3 在区间(3,+∞)上是减少的.

证明:设 x1,x2 是区间(3,+∞)上的任意两个实数,且 x1<x2,



f(x1)-f(x2)=21-13

?

22 2-3

=

(-16-(3)1(-22-)3).

因为 3<x1<x2,所以 x1-x2<0,x1-3>0,x2-3>0,

所以(-16-(3)1(-22-)3)>0,即 f(x1)-f(x2)>0,因此 f(x1)>f(x2).

故 f(x)在区间(3,+∞)上是减少的.

123456

6.已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),求实数a的

取值范围.

解:由题意可知

-1 -1

< <

1- < 1, 2-1 < 1,

解得 0<a<1.①

∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1), ∴1-a>2a-1,即 a<23.② 由①②可知,0<a<23.
即所求实数 a 的取值范围是 0<a<23.


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