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福建省建瓯市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版


建瓯二中 2012-2013 学年高二上学期期末考试数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.命题“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的逆否命题是 A. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b B. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b C. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b D. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b 5i 2.i 是虚数单位, = 2-i A.1+2i B.-1-2i C.1-2i D.-1+2i ( )

(

)

2 3.对两个变量 y 与 x 进行回归分析,分别选择不同的模型,它们的相关指数 R 如下,其

中拟合效果最好的模型是





A .模型Ⅰ的相关指数 R 2 为 0.98
C .模型Ⅲ的相关指数 R 2 为 0.50
A. y ? ?4 x
2

B .模型Ⅱ的相关指数 R 2 为 0.80 D .模型Ⅳ的相关指数 R 2 为 0.25
( ) B. x ? 4 y
2

4 顶点在原点,且过点 (?4, 4) 的抛物线的标准方程是

C. y ? ?4 x 或 x ? 4 y
2 2

D. y ? 4 x 或 x ? ?4 y
2 2

5. 已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,若双曲线的左支上有一点 M 到右焦点 25 9 F2 的距离为 8,N 是 MF2 的中点,O 为坐标原点,则|NO|等于 A. 2 3 B.1 C.2 D.4 ( ) ( )

x2

y2

6. 随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B?n, p ? ,且 E? ? 300, D? ? 200 , 则 p 等于 A.

2 3

B.

1 3

C. 1

D. 0

7.从 6 名学生中,选出 4 人分别从事 A、B、C、D 四项不同的工作,若其中,甲、乙两人不 能从事工作 A,则不同的选派方案共有 ( ) A.96 种 B.180 种 C.240 种
y
f ?( x)

D.280 种

8.已知函数 f (x)的导函数 f ?( x) 的图象如右图所示, 那么函数 f (x)的图象最有可能的是 ( )

O -1

1

2

x

1

2

9.已知直线 l 过点 P(1,0,-1),平行于向量 a ? (2,1,1) ,平面 ? 过直线 l 与点 M(1,2,3), 则 ( 平 ) B. ( , ?1, ) 面

?

?
1 4 1 2









不 .

可 .

能 .



A. (1,-4,2)

C. (?

1 1 ,1, ? ) 4 2

D. (0,-1,1)

10.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为( A.(1,3) C.(3,+∞) )

x2 y2 a b

B.(1,3] D.[3,+∞)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11.

? (2x ? k )dx ? 2, 则实数k ?
0

1

.

12. 若命题“? x∈R,使得 x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围 是 .
2 2

13.θ 是任意实数,则方程 x +y sin ? =4表示的曲线不可能是



14. 已知点 A(1,0),直线 l:y=2x-4,点 R 是直线 l 上的一点,若 RA = AP ,则点 P 的 轨迹方程为 .

??? ?

??? ?

3 3 2 2 2 2 2 2 15.sin 30°+sin 90°+sin 150°= ,sin 5°+sin 65°+sin 125°= . 2 2 通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)在 (2 x ?

1 n ) 的展开式中,第三项的二项式系数比第二项的二项式 x2

系数大 27,求展开式中的常数项及所有项系数的和。

17.(本小题满分 13 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=AA1= 3, ∠ABC=60°.

3

(1)证明:AB⊥A1C;(2)求二面角 A-A1C-B 的余弦值. 解:法一:(1)证明:∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,∴AB⊥AA1, 在△ABC 中 ,∠BAC=90°,即 AB⊥AC, ∴AB⊥平面 ACC1A1, 又 A1C? 平面 ACC1A1, ∴AB⊥A1C. 法二:(1)证明:∵三棱柱 ABC-A1B1C1 为直棱柱, ∴AA1⊥AB,AA1⊥AC. 在△ABC 中, ∠BAC=90°,即 AB⊥AC. 如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),A1(0,0, 3), ∴ AB =(1,0,0),

??? ?

???? ? A1C =(0, 3,- 3). ? ??? ???? ? ∵ AB · A1C =1×0+0× 3+0×(- 3)=0,
∴AB⊥A1C. (2)如图,可取 m= AB = (1,0,0)为平面 AA1C 的法向量,设平面 A1BC 的法向量为 n =(l,m,n), 则 BC ·n=0, A1C ·n=0, 又 BC =(-1, 3,0), A1C = (0, 3,- 3).

??? ?

??? ? ??? ?

???? ?

???? ?

?-l+ 3m=0, ∴? ? 3m- 3n=0,

∴l= 3m,n=m.

不妨取 m=1,则 n=( 3,1,1).

m·n cos〈m,n〉= |m|·|n|
= 3×1+1×0+1×0 ( 3) +1 +1 · 1 +0 +0
2 2 2 2 2 2



15 , 5

∴二面角 A-A1C-B 的余弦值为
4

15 . 5

18.(本小题满分 13 分) 已知椭圆的焦点在 x 轴上,短轴长为 4,离心率为

5 . 5

(1)求椭圆的标准方程; (2)若直线L方程为y=x+1,L交椭圆于M、N两点,求 MN 的长.

19.(本小题满分 13 分) 用数学归纳法证明:当 x>-1,n ? N 时,(1+x) ≥1+nx.。
n

?

2 3 2 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=- 与 x=1 时都取得极值, 3 (1)求 a,b 的值与函数 f(x)的单调区间;(2)若对 x∈[-1,2],不等式 f(x)<c 恒成立, 求 c 的取值范围. 解:(1)f(x)=x +ax +bx+c,f′(x)=3x +2ax+b, 2 12 4 1 由 f′(- )= - a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0 得 a=- ,b=-2, 3 9 3 2
3 2 2 2

f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数 f(x)的单调区间如下表: x f′(x) f(x)
2 (-∞,- ) 3 + 递增 2 - 3 0 极大值 2 (- ,1) 3 - 递减? 1 0 极小值 (1,+∞) + 递增?

2 2 所以函数 f(x)的递增区间是(-∞,- )与(1,+∞),递减区间(- ,1); 3 3 1 2 2 2 22 3 (2)f(x)=x - x -2x+c,x∈[-1,2],当 x=- 时, f(- )= +c 为极大值, 2 3 3 27 而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值,要使 f(x)<c ,x∈[-1,2]恒成立,则只 需要 c >f(2)=2+c,得 c<-1,或 c>2. 21.(本小题满分 14 分)用射击的方法引爆装有汽油的大汽油罐,已知只有 5 发子弹备用, 且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功(可以是两次不连续的命中),每次射 2 击命中率都是 ,每次命中与否互相独立。 3 (1) 求油罐被引爆的概率. (2) 如果引爆或子弹打光则停止射击, 设射击次数为ξ , 求ξ 的分布列及ξ 的数学期望
2 2

5

解:(1)“油罐被引爆”的事件为事件 A,其对立事件为 A ,则 P( A )=C 1 ? ?? ? ? ? ? 5
? ? ? ? 2 ?? 1 ? ? 3 ?? 3 ?
4 5 ?1? ? ?3? ? ?

? 2 ?? 1 ? ? 3 ?? 3 ?

4

?1? ? 3?

5

1 ∴P(A)=1- ?C5 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?

232 243

答:油罐被引爆的概率为

232 243

(2)射击次数ξ 的可能取值为 2,3,4,5,
2 4 P(ξ =2)= ? ? ? , ? ? ?3? 9
2 2

2 1 2 8 P(ξ =3)=C 1 . . . ? 2 3 3 3 27
3



P(ξ =4)=C 1 . .? ? 3

2 ?1? 2 4 1 ? 2 ?? 1 ? ? 1 ? , P(ξ =5)=C 1 .? ?? ? ? ? ? ? ? 4 3 ? 3 ? 3 27 3 ?? 3 ? ? 3 ? 9 ?

4

故ξ 的分布列为:

ξ

2
4 9

3
8 27

4
4 27

5
1 9

P Eξ =2× +3×
4 9 1 79 8 4 +4× +5× = . 9 27 27 27

6


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