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普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷.文)含详解

2006 年普通高等学校招生全国统一考试试卷 (安徽卷、文科数学)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答 题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答第Ⅱ卷时,必须用 0.5 毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。 4.考试结束,监考人员将试题卷和答题卡一并收回。 参考公式: 如果时间 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果时间 A、B 相互独立,那么 P( A B) ? P( A) P( B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概
k k 率 Pn ? k ? ? Cn P ?1 ? P ? n?k

球的表面积公式 S ? 4? R ,其中 R 表示球的半径
2

球的体积公式 V ?

4 ? R 3 ,其中 R 表示球的半径 3

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 (1)设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} ,集合 S ? {1,3,5} , T ? {3,6} ,则 CU ? S ?T ? 等 B. {2, 4,7,8} C. {1,3,5, 6} D. {2, 4,6,8} 于( ) A. ?

解: S ? T ? {1,3,5,6} ,则 CU ? S ?T ? = {2, 4,7,8} ,故选 B

1 1 ? 的解集是( ) x 2 A. (??, 2) B. (2, ??) C. (0, 2) D. (??, 2) ? (2, ??) 1 1 1 1 2? x ? 0 ,即 x(2 ? x) ? 0 ,故选 D。 解:由 ? 得: ? ? x 2 x 2 2x x ?1 (3)函数 y ? e ( x ? R) 的反函数是( ) A. y ? 1 ? ln x( x ? 0) B. y ? 1 ? ln x( x ? 0) C. y ? ?1 ? ln x( x ? 0) D. y ? ?1 ? ln x( x ? 0)
(2)不等式 解:由 y ? e D。 (4)“ x ? 3 ”是 x ? 4 “的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解:条件集是结论集的子集,所以选 B。
2

x ?1

得: x ? 1 ? ln y,即x=-1+lny ,所以 y ? ?1 ? ln x( x ? 0) 为所求,故选

(5)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

A. ?2

B. 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2 C. ? 4 D. 4



解:椭圆

p ? 4 ,故选 D。

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 6 2

(6)表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 A.

2 ? 3

B. ?

1 3

C. ?

2 3

D.

2 2 ? 3

解: 此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形, 所以由 8 ? 则此球的直径为 2 ,故选 A。

3a 2 ? 2 3 知,a ? 1 , 4

(7)直线 x ? y ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是 A. (0, 2 ?1) A。 (8)对于函数 f ? x ? ? B. ( 2 ?1, 2 ? 1) C. (? 2 ?1, 2 ?1) D. (0, 2 ? 1) 解:由圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 的圆心 (0, a ) 到直线 x ? y ? 1 大于 a ,且 a ? 0 ,选

sin x ? 1 (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是( sin x



A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 解:令 t ? sin x, t ? (0,1] ,则函数 f ? x ? ?

sin x ? 1 (0 ? x ? ? ) 的值域为函数 sin x

1 1 y ? 1 ? , t ? (0,1] 的值域,而 y ? 1 ? , t ? (0,1] 是一个减函减,故选 B。 t t ? ? ? (9) 将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? , 0 ? ? 6 ?
平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的 解析式是( ) A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ?

?
?
6
3

)
)

B. y ? sin( x ?

?
6

)
3 )

D. y ? sin(2 x ?

?

? ? ? ,0? ? 6 ? ? 平移, 平移后的图象所对应的解析式为 y ? sin ? ( x ? ) ,由图 6 7? ? 3? ? )? 象知, ? ( ,所以 ? ? 2 ,因此选 C。 12 6 2 ?x ? y ?1 ? 0 ? (10)如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2 x ? y 的最大值为( ) ?x ? y ?1 ? 0 ? A. 2 B. 1 C. ? 2 D. ? 3 解:当直线 2 x ? y ? t 过点(0,-1)时, t 最大,故选 B。 (11)如果 ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则
解:将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? ( ) A.?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B.?A 1B 1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形

C. ?A 1B 1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A 1B 1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 解: ?A 1B 1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A 1B 1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是

? ? ? ? ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? A2 ? 2 ? A1 ? ? ? ? ? ? ? A2 ? B2 ? C2 ? , 锐角三角形, 由 ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) , 得 ? B2 ? ? B1 , 那么, 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?C2 ? 2 ? C1 ? ? 所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选 D。
(12) 在正方体上任选 3 个顶点连成三角形, 则所得的三角形是直角非等腰 三角形的概 .. 率为( ) A.

1 7

B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7

3 解:在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 C8 个三角形,要得直角非等腰 三角形, ..

则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有 24 个,得 所以选 C。

24 , C83

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理科 数学
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡 上书写作答,在试题卷上书写作答无效 。 ... ........... 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填写在答题卡的相应位 置。

3 ? 2 1 ? 3 (13)设常数 a ? 0 , ? ax ? ? 展开式中 x 的系数为 2 ,则 a =_____。 x? ? 1 1 ? r ? r 3 1 r 4? r r 4 ? r 8? 2 r a = 知a= 。 解: Tr ?1 ? C4 a x x 2 ,由 x8?2 r x 2 ? x3 , 得r ? 2, 由C4 2 2 B C D 中,AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC , (14) 在 A M 为 BC 的中点, 则 MN ? _______。
(用 a、 b 表示) 解:由AN ? 3NC得4 AN ? 3AC =3(a ? b) , AM ? a ?

4

1 b ,所以 2

MN ?

3 1 1 1 ( a ? b) ? ( a ? b) ? ? a ? b 。 4 2 4 4

(15)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

f ? f ?5?? ? __________。 1 1 ? f ( x) ,所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 解:由 f ? x ? 2 ? ? 得 f ? x ? 4? ? f ? x? f ? x ? 2?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x?

f ? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

(16)平行四边形的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,已知其中有两个 顶点到 ? 的距离分别为 1 和 2 ,那么剩下的一个顶点到平面 ? 的距离可能是: ①1; ②2; ③3; ④4; 以上结论正确的为______________。(写出所有正确结论的编号 ) .. 解:如图,B、D 到平面 ? 的距离为 1、2,则 D、B 的 中点到平面 ? 的距离为

1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

B、 C 到平面 ? 的距离为 1、 2, D 到平面 ? 的距离为 x , 则 x ? 1 ? 2或x ? 2 ? 1 ,即 x ? 1 ,所以 D 到平面 ? 的距 离为 1; C、 D 到平面 ? 的距离为 1、 2, 同理可得 B 到平面 ? 的 距离为 1;所以选①③。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 (17)(本大题满分 12 分)已知 0 ? ? ?
2

3 ,所以 C 到平面 ? 的距离为 3; 2

C D B

?
A1

A 第 16 题图

?
2

,sin ? ?

4 5

sin ? ? sin 2? 的值; cos 2 ? ? cos 2? 5? ) 的值。 (Ⅱ)求 tan(? ? 4 ? 4 3 sin 2 ? ? sin 2? 解:(Ⅰ)由 0 ? ? ? ,sin ? ? ,得 cos ? ? ,所以 = 2 5 5 cos 2 ? ? cos 2? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 20 。 3cos 2 ? ? 1 sin ? 4 5? tan ? ? 1 1 ? ,∴ tan(? ? ) ? ? 。 (Ⅱ)∵ tan ? ? cos ? 3 4 1 ? tan ? 7
(Ⅰ)求 (18)(本大题满分 12 分)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要 对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现 有芳香度分别为 0,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先 要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。 (Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4 的概率; (Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3 的概率; 解:设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4”的事件为 A,“所选用的两 种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3”的事件为 B (Ⅰ)芳香度之和等于 4 的取法有 2 种:

(0, 4) 、 (1,3) ,故 P ( A) ?

2 。 15

P

(Ⅱ)芳香度之和等于 1 的取法有 1 种:

(0,1) ;芳香度之和等于 2 的取法有 1 种: 1 1 13 (0, 2) ,故 P( B) ? 1 ? ( 2 ? 2 ) ? 。 C6 C6 15
(19)(本大题满分 12 分)如图,P 是 边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面外一点, PA ? 1 ,P 在平面 ABC 内的射影为 BF 的中点 O。 H A O B

F

E

D C 第 19 题图

(Ⅰ)证明 PA ⊥ BF ; (Ⅱ)求面 APB 与面 DPB 所成二面角的大小。 解:(Ⅰ)在正六边形 ABCDEF 中, ABF 为等腰三角形, ∵P 在平面 ABC 内的射影为 O,∴PO⊥平面 ABF,∴AO 为 PA 在平面 ABF 内的射影;∵O 为 BF 中点,∴AO⊥BF,∴PA⊥BF。 (Ⅱ)∵PO⊥平面 ABF,∴平面 PBF⊥平面 ABC;而 O 为 BF 中点,ABCDEF 是正六边形 , ∴A、O、D 共线,且直线 AD⊥BF,则 AD⊥平面 PBF;又∵正六边形 ABCDEF 的边长为 1,∴

AO ?

过 O 在平面 POB 内作 OH⊥PB 于 H,连 AH、DH,则 AH⊥PB,DH⊥PB,所以 ?AHD 为所 求二面角平面角。

1 3 3 , DO ? , BO ? 。 2 2 2

1 6 6 AO 在 AHO 中,OH= , tan ?AHO ? 。 ? 2 = 4 OH 6 3 4 3 DO 在 DHO 中, tan ?DHO ? ? 2 ? 6; OH 6 4 6 ? 6 4 6 ?? 而 tan ?AHD ? tan(?AHO ? ?DHO) ? 3 3 6 1? ? 6 3
(Ⅱ)以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系,P(0,0,1),A(0, ? 0,0),D(0,2,0),∴ PA ? (0, ? , ?1) , PB ? (

1 3 ,0),B( , 2 2

3 , 0, ?1) , PD ? (0,2, ?1) 2 ? 1 ? y1 ? 1 ? 0 ? ? 2 设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ( x1, y1,1) ,则 n1 ? PA , n1 ? PB ,得 ? , ? 3 x ?1 ? 0 1 ? ? 2 2 3 n1 ? ( , ?2,1) ; 3 ? 2 y2 ? 1 ? 0 ? 设平面 PDB 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 ,1) ,则 n2 ? PD , n2 ? PB ,得 ? 3 , x2 ? 1 ? 0 ? ? 2 2 3 1 n2 ? ( , ,1) ; 3 2 n ?n cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? | n1 | ? | n2 |
(20)(本大题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx( x ? R) ,已知
3 2

1 2

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。 (Ⅰ)求 b 、 c 的值。

(Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。 证明(Ⅰ)∵ f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c 。从而

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? (3x2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是 一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x3 ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x2 ? 6 ,由此可知,

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间; (? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;
g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,
极小值为 ?4 2 。 (21)(本大题满分 12 分)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件 ,

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2, Sn n ?1

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? an p n ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。
a

S2 n 4n ? 2 a ? a2 得: 1 ? ? 3 ,所以 a2 ? 2 , Sn n ?1 a1 an ? nd ? a1 ? 2n 2(a ? nd ? a ) 2(a ? n ? 1) 4n ? 2 S 2 n n n 1 2 即 d ? a2 ? a1 ? 1 , 又 = , ? ? ? a ? a a ? 1 n ?1 Sn a ? a n 1 n n 1 ?n 2 所以 an ? n 。
解: (Ⅰ) 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由 (Ⅱ)由 bn ? an p n ,得 bn ? npn 。所以 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ?
a

? (n ?1) pn?1 ? npn ,

当 p ? 1 时, Tn ? 当 p ? 1 时,

n ?1 ; 2

pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ?
(1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p3 ?

? (n ?1) pn ? npn?1 ,
? p n?1 ? p n ? np n?1 ? p(1 ? p n ) ? np n?1 1? p

? n ?1 , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? 。 n ? p(1 ? p ) ? np n ?1 , p ? 1 ? ? 1? p
x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点。 a 2 b2 P 为双曲线 C 右支上一点,且位于 x 轴上方,M 为左准线上一点, O 为坐标原点。已知四边 形 OFPM 为平行四边形, PF ? ? OF 。 (Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; y (Ⅱ)当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交 双曲线于 A、B 点,若 AB ? 12 ,求此时的双曲线方程。 H M P | PM | ? c ,作 解:∵四边形 OFPM 是 ,∴ | OF | ?
(22)(本大题满分 14 分)如图,F 为双曲线 C: x N O 第 22 题图 F

a2 ,又 c | PF | ? | OF | ?c ?c 2 ?e2 2 e? ? ? ? ? , e ? ?e ? 2 ? 0 。 a2 a 2 c 2 ? 2a 2 e 2 ? 2 | PH | c?2 c?2 c c x2 y2 2 2 (Ⅱ) 当 ? ? 1 时,e ? 2 ,c ? 2a ,b ? 3a ,双曲线为 2 ? 2 ? 1 , 设 P ( x0 , y0 ) , 4a 3a a 2 3a 15a 2 2 ? 则 x0 ?| MP | ? | ON |? c ? , y0 ?| MN |? | OM | ? | ON | ? ,所以直线 c 2 2 15 15 OP 的斜率为 ,则直线 AB 的方程为 y ? ( x ? 2a) ,代入到双曲线方程得: 3 3 4 x2 ? 20ax ? 29a 2 ? 0 ,
双曲线的右准线交 PM 于 H,则 | PM |?| PH | ?2 又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得:

12 ? 1 ?

y2 5 29a 2 ? 1为所求。 25a 2 ? 4 ? ? 12a ,解得 a ? 1 ,则 b2 ? 3 ,所以 x 2 ? 3 3 4


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