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直线、平面垂直的判定及其性质


直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题 1、“直线 l 垂直于平面?内的无数条直线”是“ l ⊥?”的 A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、如果一条直线 l 与平面?的一条垂线垂直,那么直线 l 与平面?的位置关系是 A、 l ?? B、 l ⊥? C、 l ∥? D、 l ??或 l ∥? 3、若两直线 a⊥b,且 a⊥平面?,则 b 与?的位置关系是 A、相交 B、b∥? C、b?? ) B、任意一条直线 D、无数多条平行线 ( ) D、b∥?,或 b?? ( ) ( ) ( )

4、a∥ ? ,则 a 平行于 ? 内的( A、一条确定的直线 C、所有直线

5、如果直线 a∥平面 ? ,那么直线 a 与平面 ? 内的 A、一条直线不相交 C、无数条直线不相交 B、两条直线不相交 D、任意一条直线都不相交

6、若直线 l 上有两点 P、Q 到平面 ? 的距离相等,则直线 l 与平面 ? 的位置关系是( A、平行 C、平行或相交 二、填空题 7、过直线外一点作直线的垂线有 有 个. 条;垂面有 个;平行线有 条;垂面有 个;平行线有 B、相交 D、平行、相交或在平面 ? 内

)

条;平行平面

8、过平面外一点作该平面的垂线有 有 个.

条;平行平面

9、过一点可作________个平面与已知平面垂直.

10、过平面 α 的一条斜线可作_________个平面与平面 α 垂直.

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2014-07-31

11、过平面 α 的一条平行线可作_________个平面与平面 α 垂直.

三、解答题 12、求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面
王新敞
奎屯 新疆

13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条

王新敞
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14、有一根旗杆 AB 高 8m ,它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地 面上的两点(和旗杆脚不在同一直线上) C , D ,如果这两点都和旗杆脚 B 的距离是 6 m ,那 么旗杆就和地面垂直,为什么?

15、已知直线 l ⊥平面 α ,垂足为 A,直线 AP⊥ l 求证:AP 在 α 内
王新敞
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2014-07-31

参考答案
一、选择题 1、B;2、D;3、D;4、D;5、D;6、D 二、填空题 7、无数,一,一,无数 8、一,无数,无数,一 9、无数 10、一个 11、一个 三、解答题 12、已知:a∥b,a⊥ ? 求证:b⊥α
王新敞
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证明:设 m 是 ? 内的任意一条直线

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a m

b ?

a ?? ? ? ? a ? m? ? ? m ? ?? b ? m? a // b ? ??b ?? m ? ??

13、已知:平面 ? 和一点 P

王新敞
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?
P
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求证:过点 P 与 ? 垂直的直线只有一条

证明:不论 P 在平面 ? 内或外,设直线 PA ? ? ,垂足为 A (或 P ) 若另一直线 PB ? ? ,设 PA, PB 确定的平面为 ? ,且 ? ∴ PA ? a, PB ? a 又∵ PA, PB 在平面 ? 内,与平面几何中的定理矛盾 所以过点 P 与 ? 垂直的直线只有一条
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? ?a

?

A

B

a

B ?

A ? P

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14、解:在 ?ABC 和 ?ABD 中, ∵ AB ? 8m, BC ? BD ? 6m, AC ? AD ? 10m ∴ AB ? BC ? 6 ? 8 ? 10 ? AC
2 2 2 2 2 2

A ? C B D

AB2 ? BD2 ? 62 ? 82 ? 102 ? AD2

∴ ?ABC ? ?ABD ? 90 即 AB ? BC, AB ? BD 又∵ B, C , D 不共线 ∴ AB ? 平面 BCD ,即旗杆和地面垂直;

15、证明:设 AP 与 l 确定的平面为 β 如果 AP 不在 α 内,
王新敞
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则可设 α 与 β 相交于直线 AM ∵ l ⊥α ,∴ l ? AM
王新敞
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又 AP⊥ l ,于是在平面 β 内过点 A 有两条直线垂直于 l ,这是不可能的 所以 AP 一定在 α 内
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