当前位置:首页 >> 高中教育 >> 广东省湛江一中2015届高三上学期8月月考数学试卷(文科)

广东省湛江一中2015届高三上学期8月月考数学试卷(文科)


广东省湛江一中 2015 届高三上学期 8 月月考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若集合 A={0,1,2,4},B={1,2,3},则 A∩B=() A.{0,1,2,3,4} B.{0,4} C.{1,2} D.{3} 2. (5 分)已知复数 z= A.1 B. 2 ,则 z 的实部为() C.﹣2 D.﹣1

3. (5 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=() A. B. C. ﹣ D.﹣

4. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增的是() A.f(x)= B.f(x)=x +1
2

C.f(x)=x

3

D.f(x)=2

﹣x

5. (5 分)sin300°=() A. B. C. D.

6. (5 分)下列有关命题的说法错误的是() 2 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C. 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 2 2 D.对于命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0.则¬p:?x∈R,均有 x +x+1≥0 7. (5 分)函数 f(x)=12x﹣x 在区间[﹣3,3]上的最小值是() A.﹣9 B.﹣16 C.﹣12 D.﹣11 8. (5 分)函数 f(x)= A.[e,+∞) 的单调递减区间是() C.(0,e] D.(0,1)
3

B.[1,+∞)

9. (5 分)函数 y=﹣xcosx 的部分图象是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f′(x)>f(x)恒成立,若 x1<x2,则 与e A. B. C. D. f(x1)的大小关系为() f(x2)>e f(x2)<e f(x2)=e f(x2)与 e f(x1) f(x1) f(x1) f(x1)的大小关系不确定

f(x2)

二、填空题(一)必做题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分. 3 11. (5 分)曲线 y=x ﹣2x+4 在点(1,3)处的切线方程. 12. (5 分)已知函数 f(x)=﹣ x +blnx 在区间[ 是.
2

,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围

13. (5 分)如图所示是函数 y=2sin(ωx+φ) (|φ|≤

,ω>0)的一段图象,则 ω=φ=.

(二)选做题(考生只能做第 14 题,2 题全答的,只计算第 14 题的得分. ) 【几何证明选讲选 做题】 14. (5 分)如图,AC 为⊙O 的直径,OB⊥AC,弦 BN 交 AC 于点 M.若 OC= ,OM=1,

则 MN 的长为.

【坐标系与参数方程选讲选做题】 15.若点 P(x,y)在曲线 (θ 为参数,θ∈R)上,则 的取值范围是.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知 α∈( (1)求 cos( (2)求 sin( ,π) ,sinα=

+α)的值; +2α)的值.

17. (12 分)某中学 2015 届高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他 们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩 的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值; 2 (2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.

18. (14 分)设 f(x)=loga(1+x)+loga(3﹣x) (a>0,a≠1) ,且 f(1)=2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域.

(2)求 f(x)在区间[0, ]上的值域.

19. (14 分)将函数 y=3sin(2x+φ) ,|φ|< 图象. (1)求 y=f(x)解析式; (2)求 y=f(x)的最大值及单调增区间.

的图象向左平移

个得到偶函数 y=f(x)的

20. (14 分)已知函数 f(x)=lnx+ax ﹣3x,且在 x=1 时函数 f(x)取得极值. (Ⅰ)求 a 的值及 f(x)的极值; (Ⅱ)若 g(x)=x ﹣2x﹣1(x>0) ,证明:当 x>1 时,g(x)的图象恒在 f(x)的上方. 21. (14 分)已知函数 f(x)= x ﹣x+2alnx (1)求 f(x)的单调区间; (2)0<a< 时,判断方程:f(x)=(a+1)x 根的个数并说明理由; (3)f(x)有两个极值点 x1,x2 且 x1<x2,证明:f(x2)> .
2 2

2

广东省湛江一中 2015 届高三上学期 8 月月考数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若集合 A={0,1,2,4},B={1,2,3},则 A∩B=() A.{0,1,2,3,4} B.{0,4} C.{1,2} D.{3} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用交集的运算得答案. 解答: 解:∵A={0,1,2,4},B={1,2,3}, ∴A∩B={0,1,2,4}∩{1,2,3}={1,2}. 故选:C. 点评: 本题考查交集及其运算,是基础题. 2. (5 分)已知复数 z= ,则 z 的实部为()

A.1

B. 2

C.﹣2

D.﹣1

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、实部的定义即可得出. 解答: 解:复数 z= = = =﹣1+2i,

则 z 的实部为﹣1. 故选:D. 点评: 本题考查了复数的运算法则、实部的定义,属于基础题. 3. (5 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=() A. B. C. ﹣ D.﹣

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值. 解答: 解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,∴x=﹣4,y=3,r= ∴cosα= = =﹣ , =5.

故选:D. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题. 4. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在区间(﹣∞,0)上单调递增的是() A.f(x)= B.f(x)=x +1
2

C.f(x)=x

3

D.f(x)=2

﹣x

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数函数的奇偶性和单调性即可判断出. 解答: 解:只有函数 f(x)= (x)=2
﹣x

,f(x)=x +1 是偶函数,而函数 f(x)=x 是奇函数,f

2

3

不具有奇偶性. ,f(x)=x +1 中,只有函数 f(x)=
2

而函数 f(x)=

在区间(﹣∞,0)上单调递增的.

综上可知:只有 A 正确. 故选:A. 点评: 本题考查了函数函数的奇偶性和单调性,属于基础题. 5. (5 分)sin300°=() A. B. C. D.

考点: 诱导公式的作用. 专题: 计算题. 分析: 直接根据诱导公式转化求解计算即可. 解答: 解:sin300°=sin(﹣60°+360) =sin(﹣60°) =﹣sin 60° = 故选 A. 点评: 本题考查诱导公式的应用:求值.此类题一般依照“负角化正角,大角化小角”的顺 序进行角的转化. 6. (5 分)下列有关命题的说法错误的是() 2 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0” 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C. 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0.则¬p:?x∈R,均有 x +x+1≥0 考点: 命题的真假判断与应用;四种命题间的逆否关系;必要条件、充分条件与充要条件 的判断. 专题: 综合题. 分析: 根据四种命题的定义,我们可以判断 A 的真假;根据充要条件的定义,我们可以 判断 B 的真假;根据复合命题的真值表,我们可以判断 C 的真假;根据特称命题的否定方 法,我们可以判断 D 的真假,进而得到答案. 解答: 解:命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”故 A 为 真命题; “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件.故 B 为真命题; 若 p∧q 为假命题,则 p、q 存在至少一个假命题,但 p、q 不一定均为假命题,故 C 为假命 题; 命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0.则非 p:?x∈R,均有 x +x+1≥0,故 D 为真命题; 故选 C. 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,四种命题间的逆否关系,充要条件, 是对简单逻辑综合的考查,属于简单题型. 7. (5 分)函数 f(x)=12x﹣x 在区间[﹣3,3]上的最小值是() A.﹣9 B.﹣16 C.﹣12 D.﹣11 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用. 2 分析: 由已知得 f′(x)=12﹣3x ,由 f′(x)=0,得 x=﹣2,或 x=2,由此利用导数性质 3 能求出函数 f(x)=12x﹣x 在区间[﹣3,3]上的最小值. 3 解答: 解:∵f(x)=12x﹣x , 2 ∴f′(x)=12﹣3x ,
3 2 2 2 2 2 2 2

由 f′(x)=0,得 x=﹣2,或 x=2, ∵f(﹣3)=﹣9,f(﹣2)=﹣16,f(2)=16,f(3)=9, ∴函数 f(x)=12x﹣x 在区间[﹣3,3]上的最小值是:f(﹣2)=﹣16. 故选:B. 点评: 本题考查函数在闭区间上最小值的求法, 是中档题, 解题时要注意导数性质的合理 运用.
3

8. ( 5 分)函数 f(x)= A.[e,+∞) 考点: 专题: 分析: 解答: f′(x)=

的单调递减区间是() C.(0,e] D.(0,1)

B.[1,+∞)

利用导数研究函数的单调性. 导数的概念及应用. 在定义域内解不等式 f′(x)<0 即可. 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) . ,令 f′(x)= <0 解得 x>e,

∴函数 f(x)的单调减区间为[e,+∞) . 故选:A. 点评: 本题考查了利用导数求函数的单调区间问题,要注意考虑函数的定义域. 9. (5 分)函数 y=﹣xcosx 的部分图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象;奇偶函数图象的对称性;余弦函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 由函数的表达式可以看出, 函数是一个奇函数, 因只用这一个特征不能确定那一个 选项,故可以再引入特殊值来进行鉴别. 解答: 解:设 y=f(x) ,则 f(﹣x)=xcosx=﹣f(x) ,f(x)为奇函数; 又 故应选 D. 时 f(x)<0,此时图象应在 x 轴的下方

点评: 本题考查函数的图象,选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征.

10. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足:f′(x)>f(x)恒成立,若 x1<x2,则 与e A. B. C. D. f(x1)的大小关系为() f(x2)>e f(x2)<e f(x2)=e f(x2)与 e f(x1) f(x1) f(x1) f(x1)的大小关系不确定

f(x2)

考点: 指数函数的单调性与特殊点;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 构造函数 g(x)= ,利用导数研究函数的单调性即可得到结论.

解答: 解:构造函数 g(x)= ∴函数 g(x)单调递增, ∵若 x1<x2, ∴g(x1)<g(x2) , 即 ,

,则





f(x2)>e

f(x1) ,

故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较, 根据条件构造函数, 利用导数研究函数的单调性 是解决本题的关键. 二、填空题(一)必做题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分. 3 11. (5 分)曲线 y=x ﹣2x+4 在点(1,3)处的切线方程 x﹣y+2=0. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 3 分析: 先求导函数,然后将点的坐标代入,求出切线斜率,即可求得曲线 y=x ﹣2x+4 在 点(1,3)处的切线方程. 3 2 解答: 解:y=x ﹣2x+4 的导数为:y=3x ﹣2, 将点(1,3)的坐标代入,即可得斜率为:k=1,

∴曲线 y=x ﹣2x+4 在点(1,3)处的切线方程为 y﹣3=x﹣1, 即 x﹣y+2=0. 故答案为:x﹣y+2=0. 点评: 本题考查了导数的几何意义, 它把函数的导数与曲线的切线联系在一起, 使导数成 为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体,属于基础题.
2

3

12. (5 分)已知函数 f(x)=﹣ x +blnx 在区间[ 是(﹣∞,2]. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 由 f′(x)=﹣x+ = 当 b≤0 时, 在区间[ ,

,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围

, +∞) 上 f′ (x) <0 恒成立, 此时函数 f (x) =﹣ x +blnx 在区间[

2



+∞)上是减函数,满足条件; 当 b>0 时,在区间[ ,+∞)上 f′(x)≤0 恒成立,由函数 f(x)=﹣ x +blnx 在区间[
2



+∞)上是减函数,可得: ≤ , 最后综合讨论结果,可得满足条件的 b 的取值范围. 解答: 解:∵函数 f(x)=﹣ x +blnx,
2

∴f′(x)=﹣x+ = 当 b≤0 时,在区间[

, ,+∞)上 f′(x)<0 恒成立,
2

此时函数 f(x)=﹣ x +blnx 在区间[ 当 b>0 时,在区间[
2

,+∞)上是减函数,满足条件;

,+∞)上 f′(x)≤0 恒成立, ,+∞)上是减函数,

由函数 f(x)=﹣ x +blnx 在区间[

可得: ≤ ,即 0<b≤2, 综上所述 b≤2, 即 b 的取值范围是(﹣∞,2], 故答案为: (﹣∞,2] 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质, 是导数法研究函数单调性的简单应用, 难 度不大,属于基础题.

13. (5 分)如图所示是函数 y=2sin(ωx+φ) (|φ|≤

,ω>0)的一段图象,则 ω=2φ=



考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由图象得到函数周期,利用周期公式求得 ω;由五点作图的第一点求得 φ 的值. 解答: 解:由图可知,T= ∴ω= ; φ=0,得 φ= . .

由五点作图第一点知,2× 故答案为:2, .

点评: 本题考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解函数解析式,关键是掌握由五点作 图的某一点求 φ,是基础题. (二)选做题(考生只能做第 14 题,2 题全答的,只计算第 14 题的得分. ) 【几何证明选讲选 做题】 14. (5 分)如图,AC 为⊙O 的直径,OB⊥AC,弦 BN 交 AC 于点 M.若 OC= ,OM=1,

则 MN 的长为 1. 考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 2015 届高考数学专题. 分析: 本题重点考查与圆有关的比例线段问题,重点应用相交弦定理,勾股定理等知识 解答: 解:已知 AC 为⊙O 的直径,OB⊥AC,弦 BN 交 AC 于点 M.若 OC= ,OM=1, 则 OB= , 2 2 2 在△ OBM 中利用勾股定理:BM =OB +OM 解得:BM=2 进一步求得:CM=1+ ,AM= ﹣1 利用相交弦定理:BM?MN=CM?AM 即 2MN=( +1) ( ﹣1) 解得:MN=1 点评: 本题应用到与原有关的比例线段知识,解题时应用到相交弦定理和勾股定理

【坐标系与参数方程选讲选做题】 15.若点 P(x,y)在曲线 (θ 为参数,θ∈R)上,则 的取值范围是



考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 由
2 2

(θ 为参数,θ∈R)可得:k= =

.因此 k 可以看作 P

(2,0)与圆:x +y =1 上的点的连线的直线的斜率的取值范围.利用点到直线的距离公式 即可得出. 解答: 解:由 (θ 为参数,θ∈R)可得:k=
2 2

因此 k 可以看作 P(2,0)与圆:x +y =1 上的点的连线的直线的斜率的取值范围. 设过点 P 的直线方程为:y=k(x﹣2) ,化为 kx﹣y﹣2k=0, ∵ ≤1,解得 .

解得 ∴ 的取值范围是 故答案为:

. . .

点评: 本题考查了圆的参数方程、斜率计算公式、直线与圆的位置关系,考查了推理能力 和计算能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知 α∈( (1)求 cos( (2)求 sin( ,π) ,sinα=

+α)的值; +2α)的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先利用 α 的范围和 sinα 的值,求得 cosα 再利用余弦的两角和公式求得答案.

(2)利用二倍角公式分别求得 sin2α 和 cos2α 的值,进而利用两角和与差的正弦函数求得 sin( +2α)的值. ,π) ,sinα= , =﹣ , +α)=cos cosα﹣sin sinα=
2

解答: 解:∵α∈( ∴cosα=﹣ (1)cos(

×(﹣ )﹣ × =﹣ , × + × = .



(2)sin2α=2sinαcosα=﹣ ∴sin( +2α)=sin

,cos2α=2cos α﹣1= cos2α+cos sin2α=

点评: 本题主要考查了两角和与差的正弦函数和余弦函数公式的应用. 考查了学生基础公 式的记忆和运算能力. 17. (12 分)某中学 2015 届高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他 们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩 的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值; (2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.
2

考点: 古典概型及其概率计算公式;茎叶图;极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用平均数求出 x 的值,中位数求出 y 的值,解答即可. (2)根据所给的茎叶图,得出甲班 7 位学生成绩,做出这 7 次成绩的平均数,把 7 次成绩 和平均数代入方差的计算公式,求出这组数据的方差. (3) 设甲班至少有一名学生为事件 A, 其对立事件为从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取 两名学生,甲班没有一名学生;先计算出从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生的 所有抽取方法总数,和没有甲班一名学生的方法数目,先求出从成绩在 90 分以上的学生中 随机抽取两名学生,甲班没有一名学生的概率,进而结合对立事件的概率性质求得答案. 解答: 解: (1)∵甲班学生的平均分是 85, ∴ ∴x=5, ,

∵乙班学生成绩的中位数是 83,∴y=3; (2)甲班 7 位学生成绩的方差为 s=
2

=40;

(3)甲班成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A,B, 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C,D,E, 从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (C,D) , (C,E) , (D,E) 其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) . 记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 甲班至少有一名学生”为事件 M,则 . .

答:从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲校至少有一名学生的概率为

点评: 本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识,考查或然与必然的数 学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识. 18. (14 分)设 f(x)=loga(1+x)+loga(3﹣x) (a>0,a≠1) ,且 f(1)=2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域. (2)求 f(x)在区间[0, ]上的值域.

考点: 对数函数的值域与最值; 函数的定义域及其求法; 函数的值域; 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(1)=2 求得 a 的值,由对数的真数大于 0 求得 f(x)的定义域; (2)判定 f(x)在(﹣1,3)上的增减性,求出 f(x)在[0, ]上的最值,即得值域. 解答: 解: (1)∵f(x)=loga(1+x)+loga(3﹣x) , ∴f(1)=loga2+loga2=loga4=2,∴a=2; 又∵ ,∴x∈(﹣1,3) ,

∴f(x)的定义域为(﹣1,3) . 2 (2)∵f(x)=log2(1+x)+log2(3﹣x)=log2[(1+x) (3﹣x)]=log2[﹣(x﹣1) +4], ∴当 x∈(﹣1,1]时,f(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,f(x)是减函数, ∴f(x)在[0, ]上的最大值是 f(1)=log24=2; 又∵f(0)=log23,f( )=log2 =﹣2+log215,

∴f(0)<f( ) ; ∴f(x)在[0, ]上的最小值是 f(0)=log23; ∴f(x)在区间[0, ]上的值域是[log23,2]. 点评: 本题考查了求函数的定义域和值域的问题, 利用对数函数的真数大于 0 可求得定义 域,利用函数的单调性可求得值域.

19. (14 分)将函数 y=3sin(2x+φ) ,|φ|< 图象. (1)求 y=f(x)解析式; (2)求 y=f(x)的最大值及单调增区间.

的图象向左平移

个得到偶函数 y=f(x)的

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1) 由条件利用函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律、 诱导公式求得 ( f x) =3cos2x. (2) (2)由 f(x)的解析式,可得它的最大值,令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈z,求得 x 的范围, 可得函数的增区间. 解答: 解: (1)将函数 y=3sin(2x+φ) ,|φ|< (x+ )+φ)的图象, +φ) ,∴ +φ=kπ+ ,k∈z,∴φ=﹣ ,f(x)=3sin 的图象向左平移 个得到函数 y=3sin[2

故偶函数 y=f(x)=3sin(2x+ (2x+ ﹣ )=3cos2x.

(2) 由f (x) =3cos2x, 可得它的最大值为 3, 令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ, k∈z, 求得 kπ﹣ 故函数 f(x)的增区间为[kπ﹣ ,kπ],k∈z.

≤x≤kπ,

点评: 本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数 的单调性,属于基础题. 20. (14 分)已知函数 f(x)=lnx+ax ﹣3x,且在 x=1 时函数 f(x)取得极值. (Ⅰ)求 a 的值及 f(x)的极值; 2 (Ⅱ)若 g(x)=x ﹣2x﹣1(x>0) ,证明:当 x>1 时,g(x)的图象恒在 f(x)的上方. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的极值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (I)先求函数的定义域,然后根据在 x=1 时函数 f(x)取得极值求出 a 的值,最 后根据 f′(x)<0 可求出函数的减区间,f′(x)>0 可求出函数的增区间;
2

(II)设 F(x)=f(x)﹣g(x) ,利用导数研究函数 F(x)的最大值,从而可判定 F(x) 的符号,即可证得 g(x)的图象恒在 f(x)图象的上方. 解答: 解: (I)由题可知,函数的定义域为{x|x>0}, f′(x)= +2ax﹣3= ,

∵x=1 处函数 f(x)取得极值 ∴f′(1)=0,即 2a﹣3+1=0,解得 a=1 即 f′(x)= 当 x∈(0, )时,f′(x)>0,当 x∈( ,1)时,f′(x)<0,当 x∈(1,+∞)时,f′(x) >0 ∴函数 f(x)的单调增区间为(0, ) , (1,+∞) ,函数 f(x)的单调减区间为( ,1) (II)证明:设 F(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣x+1,F′(x)= ∵当 x∈(0,1)时,F′(x)>0,当 x∈(1,+∞)时,F′(x)<0 ∴F(x)≤F(1)=0 即 f(x)<g(x)恒成立,从而 g(x)的图象恒在 f(x)图象的上方. 点评: 本题主要考查了函数的单调性和恒成立问题以及不等式的证明, 同时考查了计算能 力,属于中档题.
2

21. (14 分)已知函数 f(x)= x ﹣x+2alnx (1)求 f(x)的单调区间; (2)0<a< 时,判断方程:f(x)=(a+1)x 根的个数并说明理由; (3)f(x)有两个极值点 x1,x2 且 x1<x2,证明:f(x2)> .

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1) 函数 ( f x) = x ﹣x+2alnx 的定义域为 (0, +∞) , 且f ( ′ x) =x﹣1+ 当△ =1﹣8a≤0,即 a≥ 时,f′(x)≥0 恒成立, 当△ =1﹣8a>0,且 0<a< ,x∈(0, >0,x∈( 当 a≤0,x∈( , )∪( ,+∞)时,f′(x)
2

=



)时,f′(x)<0, )时,f′(x)<0,

,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,

进而根据函数单调性与导函数符号的关系,可得到 f(x)的单调区间;

(2)若 f(x)=(a+1)x,则 x ﹣(a+2)x+2alnx=0,令 t(x)= x ﹣(a+2)x+2alnx=0, 利用导数法分析函数单调性和极值,进而判断函数零点的个数,可判断方程:f(x)=(a+1) x 根的个数; (3)由已知可得 x2= 得结论. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= x ﹣x+2alnx 的定义域为(0,+∞) ,
2

2

2

∈( ,1) ,分析 f(x2)在( ,1)上的单调性,进而可

f′(x)=x﹣1+

=



当△ =1﹣8a≤0,即 a≥ 时,f′(x)≥0 恒成立, 此时函数 f(x)的单调递增区间为: (0,+∞) , 当△ =1﹣8a>0,即 a< 时, 若 0<a< , 由 x∈ (0, 时,f′(x)<0 得: 此时函数 f(x)的单调递减区间为: ( )和( 若 a≤0, 由 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0, )时,f′(x)<0 得: , +∞) ,+∞) , ) ,单调递增区间为: (0, ) ∪ ( , +∞) 时, f( ′ x) >0, x∈ ( , )

此时函数 f (x) 的单调递减区间为: (0,
2

) , 单调递增区间为: (

(2)若 f(x)=(a+1)x,则 x ﹣(a+2)x+2alnx=0, 令 t(x)= x ﹣(a+2)x+2alnx=0,
2

则 t′(x)=x﹣(a+2)+ ∵0<a< ,

=

=



故当 x∈(0,a)∪(2,+∞)时,t′(x)>0,当 x∈(a,2)时,t′(x)<0, 即 t(x)在(0,a)和(2,+∞)上单调递增,在(a,2)上单调递减, 当 x=a 时,函数取极大值,当 x=2 时函数取极小值, ∵t(a)<0,t(10)>0

故 t(x)在(0,a)和(a,2)没有零点,在(2,+∞)有唯一的零点, ∴t(x)有且只有一个零点, 即方程:f(x)=(a+1)x 有且只有一个根, (3)∵f(x)有两个极值点 x1,x2 且 x1<x2, ∴f′(x)=0 有两个不同的根 x1,x2 且 x1<x2, 2 ∴x ﹣x+2a=0 有两个不同的根 x1,x2 且 x1<x2, ∴x1+x2=1,x1?x2=2a, ∴2a=(1﹣x2)?x2, 由 x1<x2,可得:x2=
2 2

∈( ,1) ,

∵f(x)= x ﹣x+2alnx= x ﹣x+(x1?x2)lnx, ∴f(x2)= x2 ﹣x2+(x1?x2)lnx2,
2

∴f′(x2)=x2﹣1+(1﹣2x2)lnx2+

=(1﹣2x2)lnx2,其中 x2∈( ,1) ,

∴f′(x2)>0,即 f(x2)在( ,1)上单调递增, ∴f(x2)>f( )= 点评: 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性, 利用导数研究函数的极值, 是导 数的综合应用,运算量大,综合性性,转化困难,属于难题.


赞助商链接
更多相关文档:

...等四校2016届高三(上)第二次联考数学试卷(文科)(解...

2015-2016 学年广东省湛江一中等四校高三(上)第二次 联考数学试卷(文科)参考...B. 【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用,基本知识的考查. 8.已知直线...

...等四校2016届高三(上)第二次联考数学试卷(文科)(解...

2015-2016 学年广东省湛江一中等四校高三(上)第二次 联考数学试卷(文科)参考...B. 【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用,基本知识的考查. 8.已知直线...

...等四校2017届高三上学期第一次联考数学试卷(文科)

【详解】广东省湛江一中等四校2017届高三上学期第一次联考数学试卷(文科) - 2016-2017 学年广东省湛江一中等四校高三(上)第一次联考数 学试卷 (文科) 一、...

2015-2016学年广东省湛江一中高二上学期期末文科数学试...

2015-2016学年广东省湛江一中高二上学期期末文科数学试卷(带解析) - ………○………外………○………装………○……… ...

广东省湛江一中2013届高三上学期期中考试文科综合试题

广东省湛江一中2013届高三上学期期中考试文科综合试题_数学_高中教育_教育专区。湛江一中 2012—2013 学年度第一学期期中考试 高三级文科综合试卷考试时间:150 分钟 ...

广东省湛江一中2015-2016学年高二上学期期中数学试题(...

2015-2016 学年广东省湛江一中高二(上)期中数学试卷(文科)一、选择题. (共 ...【点评】本题考查三角形的面积,涉及正余弦定理的应用,属基础题. 8.已知(3,...

广东省湛江一中2015-2016学年高二上学期期中考试文科数...

广东省湛江一中2015-2016学年高二上学期期中考试文科数学试题_数学_高中教育_教育专区。湛江一中 2015—2016 学年度第一学期第一次考试 高二级 文科数学 试卷考试...

2016年广东省湛江第一中学高三英语下学期期末(文科)试卷

2016年广东省湛江第一中学高三英语下学期期末(文科)试卷_英语_高中教育_教育专区。2016 年广东省湛江第一中学高三英语下学期期末(文科)试卷 英语 本试卷分第Ⅰ卷(...

广东省湛江一中2012届高三10月模拟考试题文科综合能力测试

最​新​高​考​题​:​高​考​地​理​复​习​专​...广东省湛江一中 2012 届高三 10 月模拟考试题 文科综合能力测试 本试卷分第Ⅰ...

广东省湛江一中2016届高考“临门一脚”文综政治试题

广东省湛江一中2016届高考“临门一脚”文综政治试题_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。2016 高考“临门一脚” 文科综合政治能力测试题第 II 卷 12.商品...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com