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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习课件:第四章 三角函数-7


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第四章 三角函数

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第四章

三角函数

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第7课时

正余弦定理

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第四章

三角函数

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掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形 度量问题.

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请注意
综合近两年的高考试卷可以看出:三角形中的三角函数 问题已成为近几年的高考热点.不仅选择题中时有出现,而 且解答题也经常出现,故这部分知识应引起充分的重视.

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三角函数

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课 前 自 助 餐

授人以渔 自助餐

题 组 层 级 快 练

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课前自助餐

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1.正弦定理 b a = sinB sinA

c = sinC

=2R

其中2R为△ABC外接圆直径.

变式:a= 2RsinA ,b= 2RsinB ,c= 2RsinC . sinB ∶__________. sinC a∶b∶c= sinA ∶_________

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2.余弦定理 a2 =

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2 2 b2+c2-2bccosA ;b2= a +c -2accosB



c2= a2+b2-2abcosC . b2+c2-a2 a2+c2-b2 2bc 2ac 变式:cosA=___________ ;cosB=
a2+b2-c2 2ab cosC=



.

sin2A=sin2B+sin2C-2sinB sinCcosA.

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3.解三角形 (1)已知三边a,b,c.

运用余弦定理可求三角A,B,C.
(2)已知两边a,b及夹角C. 运用余弦定理可求第三边c. (3)已知两边a,b及一边对角A.

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bsinA 先用正弦定理,求sinB:sinB= . a
无解 ①A 为 锐 角 时 , 若 a<bsinA , ______ ; 若 a = bsinA , _____ 一解 ;若bsinA<a<b,_______ 两解 ;若a≥b,_______ 一解 . 无解;若a>b,____ 一解 ②A为直角或钝角时,若a≤b,_____ . 4.已知一边a及两角A,B(或B,C)用正弦定理,先求出

一边,后求另一边.

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4.三角形常用面积公式 1 ( 1 ) S=2a· ha(ha表示a边上的高). 1 1 1 abc ( 2 ) S= ab s n i C= acs n i B= bcs n i A= . 2 2 2 4R 1 ( 3 ) S= r(a+b+c)(r为内切圆半径). 2

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1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). ( 1 ) 在△A B C 中,A>B必有n s i A> s n i B. ( 2 ) 在△A B C 中,若b2+c2>a2,则△A B C 为锐角三角形. ( 3 ) 在△A B C 中,若A=60° ,a=4 3 ,b=4 2 ,则∠B =45° 或∠B=1 3 5 ° . ( 4 ) 若满足条件C=60° ,AB= 3 ,BC=a的△ABC有两 个,则实数a的取值范围是( 3,2).
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(5) 在△ ABC 中,若 acosB = bcosA ,则△ ABC 是等腰三角
形. (6)在△ABC中,若tanA=a2,tanB=b2,则△ABC是等腰 三角形. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×

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2 . ( 教材习题改编 ) 在△ ABC 中,若 a = 2bsinA ,则 B 等于
( ) A.30°或60° C.60°或120° 答案 D B.45°或60° D.30°或150°

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3.( 2 0 1 5 ·

启东中学期末)在△ABC中,若A=60° ,AC=

2,BC= 3,则AB等于________.
答案 1

解析 ∵A=60° ,AC=2,BC= 3 ,设AB=x,由余弦 定理,得BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA,化简得x2-2x+1 =0,∴x=1,即AB=1.

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4 .设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c 若 4 .设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .. 若 a + b - c )( a + b + c = ab ,则角 C = ________. a + b - c )( a + b + c )) = ab ,则角 C = ________. (( 2π 2π 答案 3 答案 3
22 22 22 a + b - c 1 a +b -c 1 22 22 解析 ∵ ∵ a + b - c= = ab ,∴ cos C = =-2 解析 (( a + b )) - c ab ,∴ c o s C = =- .. cos 2 ab 2 2ab

2π 2π ∴ C = .. ∴ C = 3 3

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5.在△ABC中,已知c=10

2 ,A=45° ,在a分别为

20 3 20,10 2, ,10和5的情况下,求相应的角C. 3
答案 30°,45°,60°或120°,90°,无解

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解析 n s i C= cs n i · A a

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;当a=20时,a>c,∴s n i C=

2 10 2× 2 1 = ,∴C=30° ; 20 2 当a=10 2时,a=c,∴C=4 5 °; 20 3 3 当a= 3 时,a<c,s n i C= 2 ,∴C=60° 或1 2 0 ° ; 当a=10时,n s i C=1,∴C=9 0 °; 当a=5时,n s i C=2,无解.

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授人以渔

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题型一 利用正、余弦定理解斜三角形

例1 ( 1 ) 在△ABC中,已知a= 2 ,b= 3,A=45° ,求 B,C及边c. ( 2 ) 已知s n i A∶ s n i B∶ s n i C=( 3+1)∶( 3 -1)∶ 10,求 最大角.

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【思路】
求C,c;

(1)已知a,b,A,由正弦定理可求B,从而可

(2)sinA∶sinB∶sinC 由正弦定理可转化为 a∶b∶c ,从而 可知最大边c,所以最大角为C,用余弦定理可求.

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a b 【解析】 (1)方法一:由正弦定理,得 = . sinA sinB b 3 3 2 3 ∴sinB= sinA= · sin45° = · = . 2 a 2 2 2 ∵b>a,B>A=45° , ∴有两解B=60° 或120° .

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①当B=60° 时,C=180° -(45° +60° )=75° , 6+ 2 a 2 c= · sinC=sin45° sin75° = 2 . sinA ②当B=120° 时,C=180° -(45° +120° )=15° , 6- 2 a 2 c= · sinC=sin45° · sin15° = 2 . sinA

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方 法 二 :由 余 弦 定 理
2

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,得a2=b2+c2-2bcc o s A.

6± 2 ∴c - 6c+1=0,∴c= . 2 6+ 2 当c= 时 , 2 a2+c2-b2 1 c o s B= = - ,∴B=1 2 0 ° . 2 2ac 6- 2 当c= 时 , 2 a2+c2-b2 1 c o s B= = ,∴B=6 0 ° . 2 2ac
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( 2 ) 由正弦定理,可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶ sinC. ∴a∶b∶c=( 3+1)∶( 3-1)∶ 10. 由此可知c最大,∴角C最大. 设a=( 3+1)k,b=( 3-1)k,c= 10k,(k>0), a2+b2-c2 ∵cosC= 2ab [? 3+1?k]2+[? 3-1?k]2-? 10k?2 1 = =- , 2 2 2? 3+1?? 3-1?k 2π ∴C∈(0,π),∴C= 3 .
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【答案】 ( 1 ) B=60° ,C=75° ,c= 120° , 6- 2 2π C=15° ,c= 2 ( 2 ) C= 3

6+ 2 2

或B=

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探究1 ( 1 ) 在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三 角形的其他边角的问题时,首先必须判明是否有解,(例如在△ b ABC中,已知a=1,b=2,A=6 0 ° ,则n s i B= s n i A= 3>1,问 a 题就无解),如果有解,是一解,还是二解. ( 2 ) 正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系,也 可将角(三角函数)的关系转化为边的关系. ( 3 ) 在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定.

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思考题1

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(1)已知△ABC的三个内角的比是A∶ )

B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c=( A.3∶2∶ C. 3∶ 2∶1 B. 3∶2∶1 D.2∶ 3∶1

π π π 【解析】 由题意知A=2,B=3,C=6. 由正弦定理知a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=2∶ 1,故选D. 3 ∶

【答案】 D
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( 2 ) ( 2 0 1 5 · 3 c o s C= 4.

衡水调研卷)在△ABC中,AC=2,BC=1,

①求AB的值; ②求s n i( 2 A+C)的值.

【解析】 ①由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCc o s C 3 =2 +1 -2×2×1×4=2.∴AB= 2.
2 2
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3 7 2 ②由c o s C= 且0<C<π, 得s n i C= 1-c o s C= . 4 4 由 正 弦 定 理 , 得 AB BC BCs n i C = , 解 得 s n i A= = s n i C s n i A AB

14 5 2 , 所 以 c o s A= . 8 8 由 二 倍 角 公 式 , 得 -2 s n i
2

5 7 n s i2 A=2 s n i Ac o s A= 16 且c o s 2 A =1

9 A=16. 3 7 A+C)= s n i2 Ac o s C+c o s 2 As n i C= 8 .
第四章 三角函数

故s n i( 2
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3 7 【答案】 ① 2 ② 8

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题型二 三角形形状的判定 例2 在△ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的

对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断该三 角形的形状. 【思路】 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转

化为边边关系或角角关系.

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【解析】

方法一:已知得 a2[sin(A - B) - sin(A + B)] =

b2[-sin(A+B)-sin(A-B)].
∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理,得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA. ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0. ∴sin2A=sin2B.由0<2A,2B<2π, 得2A=2B或2A=π-2B. 即△ABC是等腰三角形或直角三角形.

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方法二:同方法一可得2a2cosA sinB=2b2cosB sinA. 由正、余弦定理,得
2 2 2 2 2 2 b + c - a a + c - b a2b =b2a . 2bc 2ac

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2). 即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0. ∴a=b或c2=a2+b2. ∴三角形为等腰三角形或直角三角形.

【答案】 三角形为等腰三角形或直角三角形
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【误区警示】

方法一:本题容易由sin2A=sin2B只得出

2A=2B而漏掉2A=π-2B. 方法二:对于 a2(b2 + c2 - a2) = b2(a2 + c2 - b2) 若采用约分 只得出a2=b2而漏解.

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探究2 三角形形状的判定方法: (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a=2RsinA, a2+b2-c2=2abcosC等),利用三角变换得出三角形内角之 间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现 的内角关系,如sinA=sinB?A=B;sin(A-B)=0?A=B; π sin2A=sin2B?A=B或A+B=2等.

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a ( 2 ) 利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sinA = , 2R b2+c2-a2 cosA= 等,通过代数恒等变换,求出三条边之间 2bc 的关系进行判断. (3)注意无论是化边还是化角,在化简过程中出现公因 式不要约掉,否则会有漏掉一种形状的可能.

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思考题2

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在△ ABC 中,已知角 A , B , C 的对边

分别为a,b,c,且bcosB+ccosC=acosA,试判断△ABC的形

状.
【思路】 判断三角形的形状也是高考常考内容,解决 这类问题有两条途径,其一是从角入手,探求角的大小关 系;其二是从边入手,探求三边满足的关系.

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【解析】 方法一:∵bcosB+ccosC=acosA, 由正弦定理,得sinBcosB+sinCcosC=sinAcosA.

即sin2B+sin2C=2sinAcosA.
∵2B=(B+C)+(B-C),2C=(B+C)-(B-C), ∴sin2B=sin(B+C)cos(B-C)+cos(B+C)sin(B-C), sin2C=sin(B+C)cos(B-C)-cos(B+C)sin(B-C). ∴2sin(B+C)cos(B-C)=2sinAcosA. ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA. 而sinA≠0,∴cos(B-C)=cosA,即cos(B-C)+cos(B+C) =0.
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∴2cosBcosC=0. ∵0<B<π,0<C<π,

π π ∴B=2或C=2,即△ABC是直角三角形.

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a2+c2-b2 2ac

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方法二:由已知得b b2+c2-a2 a , 2bc

+c

a2+b2-c2 2ab



∴b2(a2+c2-b2)+c2(a2+b2-c2)=a2(b2+c2-a2). ∴(a2+c2-b2)(b2+a2-c2)=0. π π ∴a +c =b 或b +a =c ,即B=2或C=2 .
2 2 2 2 2 2

∴△ABC为直角三角形.
【答案】 直角三角形
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题型三 与三角形面积有关的问题

例3 在△ABC中,角A,B,C对边的边长分别是a, π b,c,已知c=2,C= . 3 (1)若△ABC的面积等于 3,求a,b; (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.

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【解析】 (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab= 1 4.又因为△ABC的面积等于 3 ,所以2absinC= 3 ,得ab=4.
2 2 ? ?a +b -ab=4, 联立方程组? ? ?ab=4,

解得a=2,b=2.

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( 2 ) 由题意得s n i( B+A)+s n i( B-A)=4 n s i Ac o s A,即 s n i Bc o s A=2 s n i Ac o s A. π π 4 3 2 3 当c o s A=0时,A=2,B=6 ,a= 3 ,b= 3 . 当c o s A≠0时,得s n i B=2 s n i A,由正弦定理,得b=2a.
?a2+b2-ab=4, ? 联立方程组? ? ?b=2a,

2 3 4 3 解得a= 3 ,b= 3 .

1 2 3 所以△ABC的面积S=2abs n i C= 3 . 2 3 【答案】 ( 1 ) a=2,b=2 ( 2 ) 3
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探究3

(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要

根据具体题目合理运用,有时还需要交替使用. (2)条件中出现平方关系多考虑余弦定理,出现一次式, 一般要考虑正弦定理. (3)在求三角形面积时,通过正、余弦定理求一个角,两 边乘积,是一常见思路.

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思考题3

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(1)(2014· 江西)在△ABC中,内角A,
2 2

π B,C所对的边分别是a,b,c,若c =(a-b) +6,C= , 3 则△ABC的面积是( A.3 3 3 C. 2 ) 9 3 B. 2 D.3 3

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【解析】 利用所给条件以及余弦定理整体求解ab的 值,再利用三角形面积公式求解. ∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.① π π 2 2 2 2 ∵C=3,∴c =a +b -2abcos3=a +b2-ab.② 由①②得-ab+6=0,即ab=6. 1 1 3 3 3 ∴S△ABC=2ab sinC=2×6× 2 = 2 .
【答案】 C
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(2)(2013·新课标全国Ⅱ)△ABC的内角, A, B, C的对边 分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

①求B;
②若b=2,求△ABC面积的最大值.

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【解析】 ①由已知及正弦定理,得sinA=sinBcosC+ sinCsinB.① 又A=π-(B+C), 故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosB sinC. ② 由①②和C∈(0,π),得sinB=cosB. π 又B∈(0,π),所以B=4.

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1 2 ②△ABC的面积S= acs n i B= ac. 2 4 π 由已知及余弦定理,得4=a +c -2acc o s . 4
2 2

4 又a +c ≥2ac,故ac≤ ,当且仅当a=c时,等号 2- 2
2 2

成立. 因此△ABC面积的最大值为 2+1.

π 【答案】 ①4 ② 2+1
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题型四 解三角形的应用
π 例4 如图所示,在△ABC中,∠B= ,AB=8,点D在 3 1 BC边上,且CD=2,c o s ∠A D C = 7.

( 1 ) 求s n i ∠BAD; ( 2 ) 求BD,AC的长.
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【思路】

(1) 先利用三角形中角之间的关系可得 ∠BAD

=∠ADC-∠B,然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在 △ ABD 中 , 根 据 正 弦 定 理 , 结 合 (1) 即 可 求 得 BD , 然 后 在 △ABC中,直接利用余弦定理求AC即可.

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1 【解析】 (1)在△ADC中,因为cos∠ADC= , 7 4 3 所以sin∠ADC= . 7 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB 4 3 1 1 3 3 3 = 7 ×2-7× 2 = 14 .

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( 2 ) 在△A B D 中,由正弦定理,得 3 3 AB· sin∠BAD 8× 14 BD= = =3. sin∠ADB 4 3 7 在△ABC中,由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB 1 =8 +5 -2×8×5×2=49.
2 2

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所以AC=7. 3 3 【答案】 ( 1 ) 14 ( 2 ) BD=3,AC=7
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探究4

三角形中三角恒等变换的基本思路是根据正余弦

定理,把目标式中的边或角转化,借助内角和定理,减少三 角恒等变换中的角.

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思考题4

△ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为

a,b,c.
(1) 若 a , b , c 成等差数列,证明: sinA + sinC = 2sin(A + C); (2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.

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【解析】 2b.

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(1) 证明: ∵ a , b , c 成等差数列, ∴ a + c =

由正弦定理,得sinA+sinC=2sinB.
∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sinA+sinC=2sin(A+C).

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( 2 ) ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac. 由余弦定理,得 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 cosB= = ≥ = . 2 2ac 2ac 2ac 当且仅当a=c时等号成立. 1 ∴cosB的最小值为2.

1 【答案】 (1)略 (2)2
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第四章

三角函数

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1.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径: ①化边为角,②化角为边;并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换. 2.用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数

量积求三角形内角与应用向量的模求三角形边长等.

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3.在判断三角形形状或解斜三角形中,一定要注意解是 否唯一,并注重挖掘隐含条件.如:

(1)A+B+C=π.
(2)在三角形中大边对大角,反之亦然. (3) 任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三 边. (4) 在△ ABC 中, A , B , C 成等差数列的充要条件是 B = 60°.

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自助餐

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1.( 2 0 1 5 ·

北京西城期末)已知△ABC中,a=1,b= 2, ) B.9 0 ° D.30°

B=45° ,则A等于( A.1 5 0 ° C.6 0 °

答案 D
1 2 1 解析 由正弦定理,得 = ,得sinA= . 2 sinA sin45° 又a<b,∴A<B=45° .∴A=30° ,故选D.

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2.在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sinB sinC,则A 的取值范围是( π A.(0,6] π C.(0,3]
答案 C

) π B.[6,π) π D.[3,π)

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解析 由正弦定理角化边,得a2≤b2+c2-bc.
2 2 2 b + c - a 1 2 2 2 ∴b +c -a ≥bc.∴c o s A= ≥2. 2bc

π ∴0<A≤ . 3

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3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若
<cosA,则△ABC为( A.钝角三角形 C.锐角三角形 答案 A ) B.直角三角形 D.等边三角形

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sinC 解析 依题意得 <cosA,sinC<sinBcosA, sinB 所以sin(A+B)<sinBcosA. 即sinBcosA+cosB sinA-sinBcosA<0. 所以cosB sinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,B为钝角, 所以△ABC是钝角三角形.

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4.( 2 0 1 4 ·

1 北京文)在△ABC中,a=1,b=2,cosC= 4 ,

则c=________;sinA=________.
15 答案 2, 8

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解 析

在△ABC中 , 由 余 弦 定 理 , 得

a2+b2-c2 c o s C= . 2ab

1 把a=1,b=2,c o s C= 代 入 可 得 c=2. 4 1 15 2 因 为c o s C= , 所 以 n s i C= 1-c o s C= . 4 4 再 由 正 弦 定 理 a c 15 = , 解 得 s n i A= 8 . s n i A s n i C

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5.(2014· 湖南)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1, CD=2,AC= 7. (1)求cos∠CAD的值; 7 21 (2)若cos∠BAD=- 14 ,sin∠CBA= 6 ,求BC的长.

2 7 答案 ( 1 ) 7 ( 2 ) 3
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解析 (1)如题图,在△ADC中,由余弦定理,得 AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= . 2AC· AD 7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = 7 . 2 7

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( 2 ) 如题图,设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠C A D . 2 7 7 因为c o s ∠C A D = ,c o s ∠BAD=- , 7 14 所以s n i ∠C A D = 1-c o s ∠C A D = s n i ∠BAD= 1-c o s ∠BAD= 于是sinα=s n i( ∠BAD-∠C A D )
2 2

2 72 21 1-? ?= . 7 7

7 2 3 21 1-?-14 ? = 14 .

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=s n i ∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 7 21 3 = × -(- )× = . 14 7 14 7 2 BC AC 在△ABC中,由正弦定理,得 = . sinα sin∠CBA 3 7× AC· sinα 2 故BC= = =3. sin∠CBA 21 6

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题组层级快练

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