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【高考数学】2018-2019学年最新数学高考一轮复习(文科)训练题:天天练 18 Word版含解析

天天练 18 平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1.如果 e1、e2 是平面 α 内两个不共线的向量,那么下列说法中 不正确的是( ) ①a=λe1+μe2(λ、μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量; ②对于平面 α 内任一向量 a,使 a=λe1+μe2 的实数对(λ,μ)有无 穷多个; λ1 μ1 ③若向量 λ1e1+μ1e2 与 λ2e1+μ2e2 共线,则λ =μ . 2 2 ④若实数 λ、μ 使得 λe1+μe2=0,则 λ=μ=0. A.①② B.②③ C.③④ D.② 答案:B 解析:由平面向量基本定理可知,①④是正确的.对于②,由平 面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量 在此基底下的实数对是唯一的. 对于③, 当 λ1λ2=0 或 μ1μ2=0 时不一 定成立,应为 λ1μ2-λ2μ1=0.故选 B. 2.(2018· 咸阳一模)下列各组向量中,可以作为基底的是( A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) 3? ?1 D.e1=(2,-3),e2=?2,-4? ? ? 答案:B ) 解析: 两个不共线的非零向量构成一组基底, A 中向量 e1 为零向 量,C,D 中两向量共线,B 中 e1≠0,e2≠0,且 e1 与 e2 不共线,故 选 B. →同 3.(2018· 河南六市联考(一))已知点 A(1,3),B(4,-1), 则与AB 方向的单位向量是( ) 4? 3? ?3 ?4 A.?5,-5? B.?5,-5? ? ? ? ? ? 3 4? ? 4 3? C.?-5,5? D.?-5,5? ? ? ? ? 答案:A → AB → → 解析:因为AB=(3,-4),所以与AB同方向的单位向量为 = →| |AB 4? ?3 ? ,- ?. 5? ?5 4.(2018· 天津红桥区模拟)若向量 a=(2,3),b=(-1,2),则 a+b 的坐标为( ) A.(1,5) B.(1,1) C.(3,1) D.(3,5) 答案:A 解析:∵向量 a=(2,3),b=(-1,2),∴a+b=(1,5).故选 A. 5.(2018· 重庆第八中学适应性考试(一))已知向量 a=(1,m),b =(3,-2),且(a+b)∥b,则 m=( ) 2 2 A.-3 B.3 C.-8 D.8 答案:A 4 m-2 解析: 由题意得 a+b=(4, m-2). 因为(a+b)∥b, 所以3= , -2 2 解得 m=-3.故选 A. 6.(2018· 岳阳质检)在梯形 ABCD 中,已知 AB∥CD,AB=2CD, → =λAM → +μAN →, M, N 分别为 CD, BC 的中点. 若AB 则 λ+μ 的值为( ) 1 1 A.4 B.5 4 5 C.5 D.4 答案:C 1 → → → =λAM → +μAN →, → =λ· 解析: 解法一 连接 AC, 由AB 得AB 2(AD+AC) ?u ? → λ → ? λ u? → ?u ?→ λ → 1 → → ? -1?AB ? + ?AC=0, ? -1?AB +μ· ( AC + AB ) , 则 + AD + 得 +2AD 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 3 u? ? λ u?? → 1 → ? ?1 ?→ ? →, →不 +2AB?=0, +?2+2??AD 得?4λ+4μ-1?AB +?λ+2?AD=0.又AB AD ? ?? ? ? ? ? ? 1 3 ? ?4λ+4u-1=0, 共线,所以由平面向量基本定理得? u ? λ + ? 2=0, 解得 4 ? ?λ=-5, ? 8 ? ?u=5. 4 所以 λ+μ=5. 解法二 根据题意作出图形如图所示,连接 MN 并延长,交 AB 4 4→ → → +μAN →, 的延长线于 T,由已知易得 AB=5AT,所以5AT =AB=λAM 4 因为 T,M,N 三点共线,所以 λ+μ=5. → =(2,0),OB → =(0,1),点 P 满足 7.(2018· 嘉兴一模)设平面向量OA m 2n → → OB,其中 m>0,n>0,O 为坐标原点, 2 2OA+ 2 2m +2n m +n2 则点 P 的轨迹的长度为( ) 1 2 A.2 B. 2 π 2π C.2 D. 2 答案:D m → =(2,0),OB → =(0,1),OP →= 解析:设 P(x,y),因为OA 2m2+2n2 2m 2n ? 2n → ? 2m ? ? → , OA+ OB=? 所以 x= , 2 2 2 2?, 2m +2n ? ? 2m +2n m2+n2 2m2+2n2 2n y= (其中 m,n>0),所以 x2+y2=2(其中 x,y>0),则点 P 2 2 2m +2n →= OP 1 2π 的轨迹的长度为4×2π× 2= 2 . 8. (2018· 南昌二模)已知在平面直线坐标系 xOy 中, P1(3,1), P2(- → 与向量 a=(1,-1)共线,若OP → 1,3),P ,P ,P 三点共线且向量OP 1 2 3 3 3 → +(1-λ)OP → ,则 λ=( =λOP 1 2 A.-3 B.3 C.1 D.-1 答案:D ) → =(x,y),则由OP → ∥a 知 x+y=0,于是OP → =(x, 解析:设OP 3 3 3 → =λOP → +(1-λ)OP → ,则有(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3) -x).若OP 3 1 2 ?4λ-1=x, =(4λ-1,3-2λ),即? ?3-2λ=-x, =-1,故选 D. 二、填空题 所以 4λ-1+3-2λ=0,解得 λ → 按向量 a=(- 9.(2018· 沈阳质检)设点 A(1,2),B(3,5),将向量AB → 1,-1)平移后得到的向量A

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