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2013年全国高考数学理科试卷解析版(江西卷)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学解析
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题 0 两部分。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意: 1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡上粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡 上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效。 3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 第一卷 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 M={1,2,zi},i,为虚数单位,N={3,4},则复数 z= A.-2i B.2i C.-4i D.4i

2. 函数 y=

x ln(1-x)的定义域为
B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]

A. (0,1)

3. 等比数列 x,3x+3,6x+6,?..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12

D.24

4. 总体有编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成。 利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选出来的第 5 个个体的编号为 7816 3204 A.08 6572 9234 0802 4935 B.07 6314 8200 0702 3623 C.02 4369 4869 D.01 9728 6938 0198 7481

5. (x A.80

2

2 5 ) 展开式中的常数项为 x3
B.-80 C.40 D.-40

6.若 S1 ?

?

2

1

x 2 dx, S2 ? ?

2

1

2 1 dx, S3 ? ? e x dx, 则 S1S2 S3 的大小关系为 1 x

A. S1 ? S2 ? S3 C. S2 ? S3 ? S1

B. S2 ? S1 ? S3 D. S3 ? S2 ? S1

7.阅读如下程序框图,如果输出 i ? 5 ,那么在空白矩形框中应填入的语句为

A. S ? 2* i ? 2 C. S ? 2* i

B. S ? 2* i ?1 D. S ? 2* i ? 4

8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 ? 上,且 AB ? CD ,正方体的六个面所 在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为 m, n ,那么 m ? n ?

A.8

B.9

C.10

D.11

9.过点 ( 2,0) 引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 2 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当 ? AOB 的面积 取最大值时,直线 l 的斜率等于 A. y ? EB ? BC ? CD

3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D. ? 3

10.如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线, l1 , l2 之间 l // l1 , l 与半圆相交

? 于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于E,D两点,设弧 FG 的长为 x(0 ? x ? ? ) ,
y ? EB ? BC ? CD ,若 l 从 l1 平行移动到 l2 ,则函数 y ? f ( x) 的图像大致是

第Ⅱ卷 注意事项: 第卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答案无效。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11.函数 y ? sin 2 x ? 2 3sin 2 x 的最小正周期为 T 为 。

12.设 e1 , e2 为单位向量。且 e1 , e2 的夹角为 向上的射影为

? ,若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向量 a 在 b 方 3

13 设函数 f ( x ) 在 (0, ??) 内可导,且 f (e x ) ? x ? e x ,则 f x (1) ?

14.抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 3 3

?ABF 为等边三角形,则 P ?

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共 5 分 15(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为 ? 、

?x ? t ?y ? t
2

( t 为参数) ,若以直角

坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 c 的极坐标方程为

15(2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式 x ? 2 ? 1 ? 1 的解集为 、

四.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(conA-错误!未找到引用 源。sinA)cosB=0. (1) 求角 B 的大小; (2) 若 a+c=1,求 b 的取值范围

17. (本小题满分 12 分)
2 正项数列{an}的前项和{an}满足: sn ? (n2 ? n ?1)sn ? (n2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2) bn ? 令

5 n ?1 * , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn 。 证明: 对于任意的 n ? N , 都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a

18.(本小题满分 12 分) 小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加 学校排球队。游戏规则为:以 O 为起点,再从

A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8 , (如图)这 8 个点中任
取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的 数量积为 X .若 X ? 0 就参加学校合唱团,否则就 参加学校排球队。 (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求 X 的分布列和数学期望。

19(本小题满分 12 分) 如 图 ,







P ? ABCD





PA

? 平面A

, B 为

的中点, D C
3 ,连接 CE 并延 2

E

G为 B 的中点, P D

D

?DAB ? ?DCB, EA ? EB ? AB ? 1,PA ?
长交 AD 于 F . (1) 求证: AD ? 平面CFG ;

(2) 求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值.

20. (本小题满分 13 分)

如图, 椭圆 C: 2 +

x2 a

y2 =1(a >b>0) 经过 b2
1 , 直线 l 的方程为 2

点 P (1, ), 离心率 e =

3 2

x =4 .

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦 (不经过点 P ) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM 的斜率分别为

k1 ,k2 ,k3. 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =?k3. ?若存在求 ? 的值;若不存在,说明
理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)=a(1-2 x-

1 ) , a 为常数且 a >0 . 2
1 对称; 2

(1) 证明:函数 f (x) 的图像关于直线 x =

(2) 若 x0 满足 f (f (x0 ))=x0 ,但 f (x0 ) ? x0 ,则称 x0 为函数 f (x) 的二阶周期点,如果 f (x) 有 两个二阶周期点 x1 ,x2 , 试确定 a 的取值范围; (3) 对于(2)中的 x1 ,x2 和 a , 设 x3 为函数 f(f(x) )的最大值点,A(x1,f(f(x1)) ),B (x2,f(f(x2)) ),C(x3,0) ,记△ABC 的面积为 S(a) ,讨论 S(a)的单调性.


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