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高中数学 第一章 等比数列典型例题素材 北师大版必修5


陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等比数列典型例题素材 北 师大版必修 5
【例 1】已知 ?an ? 为等比数列, a2 【解析】方法 1: ∴ a10

? 2, a6 ? 162,则 a10 ?
? q 4 ? 81



?? ? a
?

a2 ? a1q ? 2
6

? a1q ? 162
5

? a1q9 ? a6 q4 ? 162? 81 ? 13122

方法 2:

?q

4

?

a6 162 ? ? 81,? a10 ? a6 q4 ? 162? 81 ? 13122 a2 2

方法 3:

? ?a ?为等比数列
n

?

a2 ? a10 ? a6

2

a 1622 ? a10 ? 6 ? ? 13122 a2 2

2

【例 2】等比数列 ?an ? 中, a2 a5 【解析】方法 1:设公比为 q ,

? ?2 , a3 ? a4 ? ?1 ,求数列 ?an ? 的通项公式.
1 ?a1 ? ?8 ? ?a1 ? ? 4 或? ? 1 q?? ? ? ?q ? ?2 ? 2
n ?1

?a12 q 5 ? ?2 ? ? 2 3 ? ?a1q ? a1q ? ?1

解得

? 1? 1 n ?1 则 an ? ? ?2 ? 或 an ? ?8 ? ? ? 4 ? 2?
方法 2:设公比为 q ,知 a2 a5

? a3a4 ? ?2 。
? a3 ? ?2 或? 进而求出 a1 和 q ? a4 ? 1


?a3a4 ? ?2 ? ?a3 ? a4 ? ?1

? a3 ? 1 解得 ? ? a4 ? ?2

【例 3】已知等比数列 ?an ? 满足

an ? 0, n ? 1, 2,?,且

a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 an?1 ? (
A. C.



n(2n ? 1)
n2
D.

B.

(n ? 1)2

(n ? 1)2

【解析】由 5

2 a ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an ? 2 2n , an ? 0 ,则

an ? 2n , log2

a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ?

log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,
选 C.

【例 4】 等比数列同时满足下列三个条件: ⑴ 1

a ? a6 ? 11

⑵ a3

? a4 ?

32 9

⑶三个数

2 4 2 a 2 , a3 , a4 ? 成等差数列.试求 3 9

数列 ?an ? 的通项公式。

【解析】 1

a ? a6

1 ? a ? 1 ? 3 ?a1 ? a 6 ? 61 ? 32 ? ? ? 32 ? ?a 6 ? ? a3 ? a4 , ?a1 ? a6 ? 3 或 ? 9 ? ?q ? 2 ? ?

32 ? a ? 1 ? 3 ? 1 ? ?a 6 ? 3 ? 1 ? q ? ? 2 ?

又?

2 4 2 4 2 a2 , a3 , a4 ? 成等差数列,? 2a32 ? a2 ? a4 ? …………① 3 9 3 9

当 a1 ?

2 4 8 1 a ? a q ? ? a ? , a ? 时, 2 代入① 1 3 4 3 3 3 3

1 4 2 2 8 4 n?1 ? ? 2 n?1. ? 2( ) 2 ? ? ? ? (成立) , ? an ? a1q 3 3 3 3 3 9
32 ? a1 ? ? ? 3 当? 时, 不成立. ?q ? 1 ? 2 ?

1 ? an ? a1q n?1 ? ? 2 n?1. 3


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