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深圳实验学校高中部第三阶段考试数学答案


深圳实验学校高中部 2010-2011 学年度第二学期第三阶段考试

高二数学
时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:田祚鹏 曾玉泉
注意事项: 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在 答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再作答。漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:

? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b =

∑ x y ? nx ? y
i =1 i i

n

∑x
i =1

n

? , a = y ? bx .

2

i

? nx

2

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) . 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P ( A B ) = P ( A) P ( B ) . 事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率 P ( B | A) =

P ( AB ) P ( A)

第一卷 一、选择题(本大题共 16 道小题、每小题 4 分,满分 64 分,在每小题给出的四个选项中, 选择题( 道小题、 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 只有一项是符合题目要求的)
1.若直线的参数方程为 ?

? x = 2 + 3t ( t 为参数),则直线的斜率为 ? y = 3 ? 4t
4 3
C.

A.

4 3

B. ?

3 4

D. ?

3 4

答案: B 考察知识点:直线的参数方程,并能熟练的化为普通方程

2.下列命题中,正确的是
高二数学试卷 第 1 页 共 10 页

? 1 A.对正态分布密度函数 f ( x) = e 2πσ

( x ? ? )2 2σ 2

, x ∈ R 的图像, σ 越大,曲线越“高瘦”
( x ?1)2 8

? 1 e B.若随机变量 ξ 的密度函数为 f ( x ) = 2 2π

, x ∈ R ,则 ξ 的方差为 2

C.若随机变量 ξ D.若随机变量 ξ 答案:D

N ( ? , σ 2 ) ,则 ξ 落在区间 ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) 上的概率约为 68.3%
N (0,1) ,则 P (ξ > 1.2) = 1 ? P (ξ ≤ 1.2)

考察知识点:正态分布密度函数的理解以及图像特征, 3σ 原则

? 3. 已知回归直线 y = bx + a ,其中 a = 4 ,样本点的中心为 (1, 6) ,则回归直线的方程是 ? A. y = 2 x + 4
答案:A 考察知识点:回归直线过样本点的中心

? B. y = x + 4

? C. y = ?2 x + 4

? D. y = ? x + 4

? / 1 ?x = 3 x x y ? 4.在同一直角坐标系中,方程 + = 1 所对应的图形经过伸缩变换 ? 后的图形所对应的方 9 4 ? y/ = 1 y ? ? 2
2 2

程为 A.

x2 y 2 + =1 81 16

B. x 2 + y 2 = 1

C.

x2 y 2 + =1 27 8

D.

x2 y 2 + =1 3 2

答案:B 考察知识点:伸缩变换,来源于课本 P8 习题 1.1T4

5.10 件产品中,有 3 件是次品,不放回的抽取 2 次,每次抽取 1 件,在第一次抽取的是次品的条件下, 第二次抽出的也是次品的概率为 A.

3 10

B.

1 5

C.

2 9

D.

1 7

答案:C 考察知识点:条件概率

6.若 x 4 = a ( x ? 1) 4 + b( x ? 1)3 + c ( x ? 1) 2 + d ( x ? 1) + e ,则 a + b + c + d 等于 A.0
答案:B

B.15

C.16

D.8

考察知识点:赋值法,令 x = 2 即可 7.设 ξ ~ B ( n, p) ,则有
高二数学试卷 第 2 页 共 10 页

A . E ( 2ξ ? 1) = 2np 答案:D

B. D (2ξ + 1) = 4np (1 ? p ) + 1

C. E ( 2ξ + 1) = 4 np + 1

D. D (2ξ ? 1) = 4 np (1 ? p )

考察知识点:二项分布的期望与方差,以及 aξ + b 的期望与方差

8.把点 P 的直角坐标 (1,1, 6) 化为球坐标是 A. (2 2, 答案:C 考察知识点:球坐标与直角坐标的转化

π π

, ) 4 6

B. (2 2,

π π

, ) 4 3

C. (2 2,

π π

, ) 6 4

D. (2 2,

π π

, ) 3 4

9.设随机变量 ξ 的分布列为

ξ
P
若 E (ξ ) = A.

1 0.5

2 x

3 y

55 64

15 ,则 D (ξ ) 的值为 8 33 B. 64

C.

7 32

D.

9 32

答案:A 考察知识点:期望、方差

10.用数字 1,2,3,4 组成没有重复数字的三位数共 24 个,则这 24 个三位数的个位数字之和为 A. 10 B. 30 答案:C 考察知识点:排列问题 C. 60 D. 120

11.在极坐标系中,方程 ρ A. (5, ? 答案:D

= 5cos θ ? 5 3 sin θ 所表示的圆的圆心坐标是
π
3 )
C. (5,

4π ) 3

B. (5,

2π ) 3

D. (5,

5π ) 3

考察知识点:极坐标与直角坐标的互化

2 3 2011 12. 在 (1 + x) + (1 + x) + (1 + x) + ... + (1 + x) 的展开式中,含 x 的项的系数为
3

高二数学试卷

第 3 页 共 10 页

A. C2011 答案:D

3

B. C2011

4

C. C2012

3

D. C2012

4

考察知识点:二项展开的通项、组合数的性质以及用两种方法处理此类问题,来源于课本 2-3P41T5

13.根据下列 2 × 2 列联表,判断“患肝病和嗜酒有关系”犯错误的概率不会超过 嗜酒 患肝病 不患肝病 总计 A.10 % 20 30 50 不嗜酒 10 45 55 B.5% 总计 30 75 105 C.2.5% D.1%

卡方临界值表 0.50 P 2 ≥ k0) (K k0
答案:C

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025 0.010 0.005 0.001

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

考察知识点:卡方统计量 K 2 的计算,计算得到 K = 6.109 ,来源于课本 P97T1
2

14.如图,在以 BC 为直径的半圆上任意取一点 P ,过 BP 的中点 A 作 AD ⊥ BC 于 D,连接 BP 交 AD 于 E ,交 AC 于 F ,则 EF : BE 等于 A. 1: 2 答案:B 考察知识点:圆心角定理的推论以及直角三角形中角的关系 B. 1:1 C. 2 :1 D. 2 : 3

15.现有一副不含大小王的扑克牌共 52 张,从中随机的抽出 4 张,则 4 张牌点数不同的概率为 A.
1 1 1 1 C52C48C44C40 4 C52

B.

4 1 1 1 1 C13C4C4C4C4 4 C52

C.

4 C13 4 C52

D.

4 13

答案:B 考察知识点:组合,注意不重复

高二数学试卷

第 4 页 共 10 页

16.如图、用四种不同的颜色给标有字母的 6 个区域染色,

B
要求相邻的区域不能染同色,则不同的染色方法有 A.720 种 答案:C 考察知识点:染色问题中的分类讨论 B.240 种 C.120 种 D.96 种

C E

A F

D

第 二卷 道小题, 二、填空题(本大题共 8 道小题,每小题 4 分,满分 32 分) 填空题( ? x = sin θ + cos θ 17.将参数方程 ? ( θ 为参数)化为普通方程是※※※※ . ? y = 2 + sin 2θ
2 答案: y = x + 1, x ∈ [ ? 2, 2]

考察知识点:参数方程与普通方程的互化,特别注意取值范围,课本 P25 例 3 18、如图,⊙ O 和⊙ O1 都经过 A 、 B 两点, AC 是⊙ O1 的切线,交⊙ O 于点 C , AD 是⊙ O 的切线, 交⊙ O1 于点 D ,若 BC = 4 , BD = 9 ,则 AB = ※※※※ .
A

O1

O B D

答案: 6 考察知识点:弦切角定理以及相似三角形,改编自课本 P32 习题 2

C

19.在椭圆

x2 y 2 + = 1 上求一点 M ,使点 M 到直线 x + 2 y ? 10 = 0 的距离最小,则点 M 的坐标为※ 9 4

※※※ . 9 8 答案: ( , ) 5 5
考察知识点:椭圆的参数方程的应用,课本 P28 例 1

x2 20.已知椭圆的方程为 + y 2 = 1 , O 为坐标原点, A 、 B 分别为椭圆上两点,且 OA ⊥ OB ,则 2

高二数学试卷

第 5 页 共 10 页

1 1 + 的值为※※※※ . 2 | OA | | OB |2
答案:

3 2

考察知识点:极坐标方程的简单应用,改编自课本 P15 习题 6

21.学期结束年级有 15 个三好学生名额分配给高二( 1 ) 2 ) 3 ) 4 )四个班,并且保证每个班至少 ( ( (
2 个名额,则不同的分配的方法有※※※※ 种(用数字做答).
答案: 120 考察知识点:隔板法处理名额分配问题即正整数解的个数问题

22.如图,直角三角形 ABC 中, ∠C = 90 ,其内切圆与斜边 AB 相切于点 D ,若 AD = 3, BD = 4 ,
0

则 ? ABC 的面积为※※※※.

A

答案: 12 考察知识点:切线长定理以及直角三角形内切圆半径的求法

D

O

C

B

23.高斯函数 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,通常称为 x 的整数部分,比如 [3.14] = 3 , [ ?2.16] = ?3 则 [(2 + 3)5 ] = ※※※※. 答案: 723 考察知识点:二项展开并考察其共轭式 (2 ? 3)5

24. 某商店老板设计了如下有奖游戏方案:顾客只要花 10 元钱,即可参加有奖游戏一次.游戏规则如 下:棋子从点 M 开始沿箭头方向跳向 N ,每次只跳一步(即一个箭头),当下一步有方向选择时,跳的方 ..........

uuuu r
法必须通过投掷骰子决定, 方案如下: 当掷出的点数为 1 时, MD 方向跳一步; 沿 当掷出的点数为 2, 4, 6

uuur
高二数学试卷

uuur
第 6 页 共 10 页

时,沿 ME 方向跳一步;当掷出的点数为 3,5 时,沿 MA 方向跳一步;奖励标准如下表:

从 M 到 N 用的步数 奖励金额(元)

2 100

3 10

4 5

F
若该店平均每天有 200 人参加游戏,按每月 30 天计算. 则该店开展此游戏每月获利的期望(均值)为※※※※. (精确到 1 元) 答案: 2083 元 考察知识点:离散型随机变量的均值解决实际问题

G

N

E

D

C

M

A

B

道小题, 三、解答题(本大题共4道小题,共54分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 解答题(本大题共 道小题 分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
25.(本小题满分 12 分) 有 3 名男生, 2 名女生,全体排成一排,问下列情形各有多少种排法? (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)甲、乙两人不相邻; (5)男女相间排列;
1 4 解: (1) A2 A4 = 48

(4)男、女分别排在一起; (6)甲、乙、丙三人按从左到右的顺序不变.

——————2 分 ——————4 分 ——————6 分 ——————8 分 ——————10 分

(2) A2 A3 = 12
2 3

(3) A3 A4 = 72
3 2

(4) A3 A2 A2 = 24
3 2 2

(5) A3 A2 = 12
3 2

A55 (6) 3 = 20 A3

——————12 分

26. (本小题满分 14 分) 笔者随机调查了福田区 6 个商店,其建筑面积 x (千平方米)与年销售额 y (百万元)数 据如下表所示: 4 x (面积) y (销售额) 3 6 5 9 6 7 4 8 5 8 7
第 7 页 共 10 页

高二数学试卷

(1)求 y 关于 x 的回归直线方程; (2)若线性关系存在, 那么对于福田区一个拥有一万平方米的商店来说, 它的年销售额约为多少? 解: (1)由题意得

∑x y
i =1 i

6

i

= 4 × 3 + 6 × 5 + 9 × 6 + 7 × 4 + 8 × 5 + 8 × 7 = 220

——————2 分

∑x
i =1

6

2

i

= 16 + 36 + 81 + 49 + 64 + 64 = 310

——————4 分

x=

4+ 6+9+7 +8+8 =7 6 3+5+ 6 + 4 +5+ 7 y= =5 6

——————5 分 ——————6 分

$ ∴b =

∑ x y ? nx y
i =1 n i i

n

∑x
i =1

= 0.625
2

——————8 分

i

? nx

2

$ $ a = y ? bx = 0.625
∴ 回归直线方程为 $ = 0.625 x + 0.625 y
(2) 将 x = 10 代入得 $ = 6.875 y

——————9 分 ——————10 分 ——————12 分

答:回归直线方程为 $ = 0.625 x + 0.625 ;一个拥有一万平方米的商店来说,它的年销售 y 额约为 687.5 万元

——————14 分

27. (本小题满分 14 分) 今年我校高中部在全市初三学生中进行自主招生试点,通过面试招录 35 名优秀初三毕业生,第一 轮面试共有从易到难的 A 、 B 、 C 、 D 四个问题,规则如下: (1)每位参加者都必须按问题 A 、 B 、 C 、 D 顺序作答,直至答题结束; (2)每位参加者计分器的初始分数都是 100 分,答对问题 A 加 10 分,答对问题 B 加 20 分,答对 问题 C 加 30 分,答对问题 D 加 60 分,答错任意一题减 20 分; (3)每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 80 分时,答题结束,直接淘汰出局; (4)当累计分数大于或等于 140 分时,答题结束,直接进入下一轮; (5)当答完四题,累计分数仍不足 140 分时,答题结束,淘汰出局.

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现有某学生甲对问题 A 、 B 、 C 、 D 答对的概率分别为 与否相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率;

3 1 1 1 、 、 、 ,且各题回答正确 4 2 3 4

(Ⅱ)用 ξ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ξ 的分布列和数学期望(均值). 解: (1)设 A 、 B 、 C 、 D 分别表示第 1、2、3、4 个问题 用 M i (i = 1, 2, 3, 4) 表示甲同学第 i 个问题回答正确 用 M i (i = 1, 2, 3, 4) 表示甲同学第 i 个问题回答错误 由题意得 P ( M 1 ) =

3 1 1 1 、 P( M 2 ) = 、 P( M 3 ) = 、 P( M 4 ) = 4 2 3 4

——————2 分
记“甲同学进入下一轮”为事件 K ,则

P ( K ) = M 1M 2 M 3 + M 1M 2 M 3 M 4 + M 1 M 2 M 3 M 4 + M 1M 2 M 3 M 4 + M 1M 2 M 3 M 4
3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 1 1 1 2 1 = × × + × × × + × × × + × × × + × × × 4 2 3 4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 1 = ——————6 分 4
(2)随机变量 ξ 的取值为 ξ = 2,3, 4

——————7 分
1 1 4 2 1 8

ξ = 2 表示回答两道题都错,淘汰出局, P(ξ = 2) = × =

——9 分

ξ = 3 表示回答三道题答题结束,包括 M 1M 2 M 3 , M 1 M 2 M 3
3 1 1 3 1 2 3 ∴ P (ξ = 3) = × × + × × = 4 2 3 4 2 3 8

——————11 分
1 2

P (ξ = 4) = 1 ? P (ξ = 2) ? P (ξ = 3) =
则随机变量 ξ 的分布列为

——————12 分

ξ
P

2

3

4

1 8

3 8

1 2

1 3 1 27 E (ξ ) = 2 × + 3 × + 4 × = 8 8 2 8 1 27 答:甲同学进入下一轮的概率为 ;甲同学答题个数的数学期望为 4 8
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——14 分

28. (本小题满分 14 分) 一个玻璃瓶中装有大小相等质地均匀颜色各不相同的玻璃小球共 3 个,现随机的倒出小球(至少倒 出一个),倒后重新将倒出小球装回原瓶中,进行下一次操作.现通过倒玻璃球走跳棋游戏,规则如下: 棋盘上标有第 0 站,第 1 站,第 2 站... ...一枚棋子开始停在第 0 站,棋手将玻璃瓶中的小球倒出, 若倒出的小球是奇数个,将棋子向前走一步;若倒出的小球是偶数个,则将棋子向前走两步.然后将 倒出的小球装回原玻璃瓶,准备下一次操作.设棋子跳到第 n 站 ( n ∈ N ) 的概率为 Pn ,已知 P0 = 1 . (1)求倒出的小球是奇数个的概率; (2)求 P 、 P2 1 (3)证明:数列 {Pn ? Pn ?1}, n ∈ N 是等比数列,并求 Pn .
1 C3 + C33 4 解: (1)倒出奇数个的概率 P = 1 = 2 3 C3 + C3 + C3 7 ?

?

——————3 分

(2) P = 1

4 7 3 7

——————4 分

注意到棋子落在第 2 站, 可以是从第 0 站开始跳 2 步到第 2 站, 也可以是从第 1 站跳 1 步到第 2 站,且(1)知,倒出偶数个小球的概率为 则 P2 =

3 4 37 P0 + P = 1 7 7 49 4 3 (3)由题意得 Pn +1 = Pn + Pn ?1 ( n ≥ 1) 7 7 3 变形得: Pn +1 ? Pn = ? ( Pn ? Pn ?1 )( n ≥ 1) 7 3 令 Pn ? Pn ?1 = an ,则 an +1 = ? an ( n ≥ 1) 7
∴ 数 列 {Pn ? Pn ?1}, n ∈ N ? 是 首 项 a1 = P ? P0 = ? 1

——————6 分 ——————7 分 ——————8 分

3 3 , 公 比 q=? 的 等 比 数 列 , 7 7

——————9 分
3 ∴ an = a1q n ?1 = (? ) n , n ≥ 1 7 3 ∴ Pn = Pn ?1 + (? ) n , n ≥ 1 7 31 ∴ P = P0 + (? ) 1 7 3 2 P2 = P + (? ) 1 7
高二数学试卷 第 10 页 共 10 页

——————10 分

3 P3 = P2 + (? )3 7
……

3 Pn = Pn ?1 + (? ) n 7 31 3 2 3 n 7 3 累加求和得: Pn = 1 + (? ) + (? ) + ...(? ) = [1 ? (? )n +1 ] 7 7 7 10 7 7 3 ∴ Pn = [1 ? (? )n +1 ], n ≥ 1 10 7

—————12 分

——————14 分

高二数学试卷

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