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方程的根与函数的零点(含答案)


方程的根与函数的零点 例1.下列函数: y ? x ? y ? x ? y ? x ? y ? x 3 ? y ? x ? y ? x2 中,定义域为R的函数有( A.2个B.3个 C.4个D.5个 解析:函数 y ? x 3 ? y ? x 3 ? y ? x 的定义域为R,而函数y= x 4 的定义域为 [0? ??)? 函数 y ? x
2 5 2
3

5 3

3 4

?1 3

2

?2

)
?1 3



y ? x 的定义域均为{x| x ? 0 },所以定义域为R的函数有3个. 答案:B
例2.若 (a ? 1)
?2 3 ?2 3

?2

? (3 ? 2a) 3 ? 求a的取值范围.
为偶函数,其图象如图. 由图可得|a+1|>|3-2a|,解得 2 ? a ? 4 .

?2

解:函数 y ? x

3

练习1.已知幂函数 y ? x ( p? q ? N ,且互质)的图象如图所示,则(

p q

?

)

p p ? 1B.q为偶数, p为奇数,且 ? 1 q q p p C.q为奇数, p为偶数,且 ? 1D.q为奇数, p为偶数,且 ? 1 q q
A.p,q均为奇数,且 解析:由函数的图象关于 y轴对称,知此函数为偶函数 ,所以p为偶数,且由 函数的形状可知 0 ?
x 例 3. 关于函数 y ? 2

p ? 1? 故选D. 答案:D q
有以下 4 个结论 : ①定义域为 (??? ?1) ? (3? ??) ; ②递增区间为

2 ? 2 x ?3

[1? ??) ;③是非奇非偶函数;④值域是 1 ??? . 正确的结论是(填序号即可). 16 解 析 : ① 不 正 确 , 因 为 定 义 域 为 R;? ④ 不 正 确 , 因 为 x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 4 ? ?4? 所 以 2 2 x ? 2 x ? 3 ? 2? 4 ? 1 ? 即值域为 ? 1 ??? . ②正确 ,因为 y ? 2u 是增函数 ? u ? x2 ? 2x ? 3 在 ? 16 ?16

?

?

?

(???1] 上是减函数,在 [1? ??) 上是增函数, 所以 y ? 2 x ? 2 x ? 3 的递增区间为 [1? ??) ; ③正确, 因为 f (? x) ? f ( x)? 且 f (? x) ? ? f ( x) . 答案:②③ 例4. 已知函数 y ? loga x ,当 x ? 2 时,恒有 | y |? 1 ,则 a 的取值范围是 例 5. 已知不等式 2x ? 3x ? a ? 4x ? 0 对一切 (1,2) 上的实数均成立,求实数 a 的取值范围。 13 a?? 16
函数的零点:零点存在定理: 例6.讨论函数 y ? (ax ?1)( x ? 2) 的零点 例7.函数 f ( x) ? 2 | log0.5 x | ?1 的零点个数为
x

2

二次函数根的分布讨论要素:1、 2、 3、4、 例8.m为何值时,关于 x 的方程 x2 ? mx ? (3 ? m) ? 0 (1)有实根;(2)有两正根;(3)有一正根,一负根;(4)有两大于1的根;一根在 (1,2) 内,另一根在 (3, 4) 内 1.函数f(x)=ln x ? 2 的零点所在的大致区间是 …( ) D.(e,3) 解析: 答案:B

x

A.(1,2) B.(2,3) 2.函数f(x)=log 2 x ? 2 x ? 1的零点必落在区间( A. 1 ? 1 B. 1 ? 1 C. 1 ?1 D.(1,2) 答案:C

?8 4? ? 4 2? ? 2 ?

C.(3,4) )

3.(1)若函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b 的零点是2和-4,则a,b的值分别是,. 答案:(1)2 -8 (2)-1,0 4.方程 x ? 2 的根的个数为 5.求下列函数的零点:
2 x

(1) f ( x) ? 2x ?1; (2) f ( x) ? 2x2 ? 4x ? 2 ; (3) f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? 3x ; (4) f ( x) ? x3 ? 4x2 ? 4x ?1. 解:(1)令f(x)=0,即 2x ?1 ? 0? 2x ? 1? 解得x=0. 故f(x)有一个零点0. (2)令f(x)=0,即 2 x2 ? 4 x ? 2 ? 0? x2 ? 2 x ? 1 ? 0? 解得x=-1.故f(x)有一个零点-1. (3)令f(x)=0,即x(x-3)(x+1)=0,解得 x1 ? ?1? x2 ? 0? x3 ? 3? 故f(x)有三个零点-1,0,3.
(4)令f(x)=0,即 x ? 4 x ? 4 x ? 1 = ( x ?1)( x2 ? x ? 1) ? 4 x( x-1) = ( x ?1)( x2 ? 3x ? 1) ? 0?
3 2

3 ? 5 ? x ? 3 ? 5 ? 故f(x)有三个零点 1? 3 ? 5 ? 3 ? 5 . 3 2 2 2 2 2 6.已知函数 f ( x) ? 2(m ? 1) x ? 4mx ? 2m ?1 .
解得 x1 ? 1? x2 ? (1)m为何值时,函数的图象与x轴有两个交点? (2)如果函数的一个零点在原点,求m的值. 解:(1) 故m的取值范围为 (??? ?1) ? (?1?1) . (2)由f(0)=0,得2m-1=0,即 m ? 1 .

2

7.若函数 f ( x) ? x ? (m ? 2) x ? ( 5-m)有两个大于2的零点,则m的取值范围是( A.(-5,-4)B. (??? ?4] C. (??? ?2) D. (??? ?5) ? (?5? ?4] . 答案:A
2

)

8.方程 2 ? x ? 3 的实数解的个数为. 解析:从图象上可以看出它们有2个交点. 答案:2
2

?x

9.已知二次函数 f ( x) ? x2 ? (m ?1) x ? 2m在[0,1]上有且只有一个零点,求实数m的取值范围.

?? ? (m ? 1) 2 ? 8m ? 0? ? 解:(1)若方程有两个相等的实根,则有 ? 此时无解. 0 ? m ? 1 ? 1? ? ? 2 2 (2) 若 方 程 x ? ( m ? 1) x ?2m=0 有 两 个 不 相 等 的 实 根 , ① 当 有 且 只 有 一 根 在 (0,1) 上 时 , 有 f (0) ? f (1) ? 0? 即2m(m+2)<0,得-2<m<0;
②当f(0)=0时,m=0,方程化为 x ? x ? 0? 其根为? x1 ? 0 ? ? x2 ? ?1? 满足题意;
2

③当f(1)=0时,m=-2,方程可化为 x ? 3 x ? 4=0,?其根为 x1 ? 1? x2 ? ?4? 满足题意.
2

综上所述,实数m的取值范围为[-2,0]. x ? ?x-1-kx2,x≤0, 10.若函数f(x)=? 有且只有2个不同的零点,则实数k的取值范围是( ? ln x , x >0 ? A.(-4,0)B.(-∞,0]C.(-4,0] D.(-∞,0) x 据题意当x>0,ln x=0,解得x=1,当x≤0, =kx2,此时x=0必为函数 x-1 x 1 零点,故若函数有两个零点,当且仅当x<0, =kx2无根即可,即 =kx x-1 x-1 在区间(-∞,0)上无解,数形结合如图所示,易知当k≤0时,直线y=kx与函 1 数y= 在(-∞,0)上无交点,故应选B. x-1

)


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