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2011大学物理竞赛辅导(力学)01.ppt.deflate


竞赛内容

质点运动学 1、描述质点运动的基本量:
1)位置矢量
2 2

? ? ? ? r ? xi + yj + zk
2

r? x +y +z
2)位移 3)速度

? ? ? ? ? dr ? v i + v j + v k v? x y z dt
? ? ? ? ? dv a? ? ax i + a y j + az k dt ? 2 2 2 a ? ax + a y + az

? ? ? ? ?r ? ?xi + ?yj + ?zk

x y z cos ? ? , cos ? ? , cos ? ? r r r

? 2 2 2 v ? v ? vx + v y + vz

4)加速度

在自然坐标系的表述:

? ? (1) 位置 P点起轨迹的弧长S ——弧坐标 r ? r (s) ? ds ? ? ? 0 ? v? 0 , (2) 速度 v ? dt
? dv ? v 2 ? ? 0 + n0 (3) 加速度 a ? dt ?
a?
矢量性: 叠加性:

? dv ? ? v ? 2 a?2 + a n ? ? ? + ? ? ? dt ? ? ? ?
2 2

2

瞬时性: 相对性:

? ? ? vAC ? vAB + vBC
? ? ? aAC ? aAB + aBC

? ? ? rAC ? rAB + rBC

二、相对运动

2.质点运动的几种典型形式
1) 匀变速直线运动

v ? v0 + at
2)

? x0 + v0t + 1 at2 x 2 2 v2 ? v0 + 2a(x - x0 )
? x ? v0 cos? ? t ? ? 1 2 ? y ? v0 sin ? ? t - 2 gt ?

抛体运动 运动方程

3) 匀变速圆周运动

w= w 0 + ? t
4) 线量和角量关系

2 w 2?w02 + 2 ? (? - ? 0 )
ds d? v? ?R ? Rw dt dt dv dw a? ? ?R ? R? dt dt

? ? ?0 + w0t + 1 ?t 2

ds ? Rd ?

? ? ? v ?w ?r

v2 an? ? Rw 2 R

3、运动学中的两类问题:

dv ? (1)a ( t ) ? dt
0 ? dr ? v (t ) ? dt

2) 已知:a 及初值条件 ? ? 求: v 及 r (t ) ?
t ? ? ? v ? v0 + ?t a (t )dt

? ? 1) 已知:质点的运动学方程 r ? r (t ) 解法:求导 ? ? 以及 轨迹方程 等。 求:v , a ? ? 2? ? dr ? dv ? d r v? a? dt 2 dt ? dt
解法:积分

dv x dvx ? vx ( 2)a ( x ) ? dx dt dvx 分离变量 ( 3)a(v x ) ? dt

t ? ? ? r - r0 ? ?t v (t )dt
0

第6题.一质点由静止开始作直线运动,初始加速度为 a0,以后加速度均匀增加,每经过τ秒增加a0,求经过 t 秒后质点的速度和运动的距离。 解:据题意知,加速度和时间的关系为:

a ? a0 +

a0

?

t

dv ?a ? ? dv ? adt dt

(直线运动中可用标量代替矢量)

a0 2 v ? ? adt ? ? (a0 + t )dt ? a0 t + t + c1 ? 2? a0 2 ? t ? 0时v ? 0 ? c1 ? 0 v ? a0 t + t 2?

a0

dx v? dt

dx ? vdt

a0 2 a0 2 a0 3 ? x ? ? vdt ? ? (a0t + t )dt ? t + t + c2 2? 2 6?

? t ? 0时x ? 0 ? c2 ? 0

a0 2 a0 3 x? t + t 2 6?

质点(系)动力学

1、牛顿三定律

? ? ? dv d 2r ? F ? ma ? m ?m 2 2、力的瞬时效应 dt dt

适用于低速宏观惯性系

? ? ? 1)质点的角动量(固定点) L ? r ? mv ? ? ? 合外力对固定点的力矩 M ? r ? F

? ? dL 2)质点(系)的角动量定理(固定点) M ? dt
质点(系)角动量守恒定律 ? ? ? ? 若 M ? 0 ,则 L ? r ? mv ? 常矢量

同一问题中的力矩和角动量都是对于惯性系中的 同一固定点。

质点(系)动力学
1)冲量:

3、力的时间积累效应

? I ?

?

t2

t1

2)质点的动量定理 平均冲力概念 ? 1 F ? t 2 - t1 质点系的动量定理

? 动量: P=m v Fdt ? t ? ? ? I ? ? Fdt ? mv 2 - mv1
2

t1

?

t2

t1

? ? ? mv2 - mv1 Fdt ? t 2 - t1

?

t2

t1

n n ? ? ? n ? ? ? ? Fi外 ?dt ? ? mi vi 2 - ? mi v i1 i ?1 i ?1 ? i ?1 ?

3)质点系的动量守恒定律(惯性系) n ? ? 则? mi vi ? 常矢量 如? Fi ? 0

如? Fix ? 0
i ?1

i ?1 n

则? mi v i x ? 常量
i

i

(1) 守恒条件是

?
i ?1

n

? Fi ? 0

而不是

?

t2

t1

? (? Fi )dt ? 0

(2) 若


?
i ?1

n

? Fi ? 0 或 ΣF ? ,则系统无论沿那个方向的动量都守恒; 外 F内

?
i ?1

n

? Fi ? 0 ,但若某一方向的合外力零,或该方向 ΣF外? 内 F

则该方向上动量守恒; (3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中; (4)若作用时间极短,而系统又只受重力作用,则可略去重力, 而运用动量守恒。

4)质心

几种系统的质心


两质点系统 m1 C

·r

×

m2 r2

1

·
dm

m1 r1 = m2 r2



连续体 z r rc
0

×C
m

? ? ? r dm rC ? m

? xdm xC ?
y

x ▲均匀杆、圆盘、圆环、球,质心为其几何中心。 ▲ ―小线度”物体的质心和重心是重合的。

……

m

? ? ? ? dvC dP d F外 ? ? ( mv C ) ? m dt dt dt



? ? F外 ? maC

— 质心运动定理

质心的运动如同一个在质心位置处的质点的 该质点集中了整个质点系的质量和所受 运动, 的外力。 在质点力学中所谓“物体”的运动, 实际上是物体质心的运动。

思考

C ·

纸 × 拉力

球往哪边 移动?

系统内力不会影响质心的运动,例如:
▲ 在光滑水平面上滑动

的扳手,其质心做匀 速直线运动
▲ 做跳马落地动作的运

动员尽管在翻转,但 其质心仍做抛物线运动
▲ 爆炸的焰火弹虽然碎片四散,

但其质心仍在做抛物线运动

二 )动量守恒与质心的运动

若合外力为零,则

质点系动量守恒 ? ? aC ? 0 ? v C ? 常矢量

质点系分动量守恒
则 若合外力分量为0,
如 :? Fix ? 0
i

相应的质心分速度不变

v Cx ? 常量

质点系动量守恒和质心匀速运动等价!

质点(系)动力学
1)功:
b

? ? A ? ?a F ? dr

4、力的空间积累效应 动能和势能:
2

2)质点的动能定理

?

1

? ? 1 1 2 2 F ? dr ? mv 2 - mv1 2 2

质点组动能定理 A外 + A 内非 ? 内保 + A 3)保守力的功和势能

?

Ek 2 - ? Ek1

?

r2

r1

? ? F保 ? dr ? -?EP
E p弹 ? 1 2 kx 2

若取坐标原点为弹性势能零点,则 c=0
若取坐标原点为重力势能零点,则

E p重=mgy
E p引= - G Mm r

若取无穷远处为引力势能零点,则

质点(系)动力学
4)功能原理

A外 + A ? E2 - E1 内非

5)系统的机械能守恒定律(惯性系) 若

A内非=0 和 A外 ? 0 ,则系统的机械能保持不变。

解题方法:确定对象、分析受力、选取坐标、列解方程 基本思路:先功能,再动量,牛顿定律看情况; 先守恒,后定理,分析受力要紧。

例3 质量为2kg的质点在力 F=12t i (SI) 的作用下,从静止出发,沿x轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。
解:(一维运动可以用标量)

A=? F ? d r ? ? 12tvdt
t 12t F v ? v0 + ? adt ? 0 + ? dt ? ? dt ? 3t 2 0 0 m 0 2 t t

? A ? ? 12t ? 3t dt ? ? 36t dt ? 9t ? 729J
3 2 3 3 4 0 0

§2-2

非惯性系

惯性力

我们知道牛顿定律只在惯性系中成立,可是,在实际问 题中,有时我们又必须在非惯性系中去观察和处理问题。那 么物理上如何解决这个问题的呢?

通过本节的讨论,我们将会看到,如果引入一个惯性力 的概念,那么我们在非惯性系中将仍可沿用牛顿定律的形式 而使问题得到简化。

1、惯性力的提出 设有一质量为m的小球,放在一小车光滑的水平面上, 平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度)之外 别无他物,即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向 右对地作加速运动,这时小球将如何运动呢?

? - as
m

? as

(1)地面上的观察者:小球将静止在原地,符合牛顿第一定律; (2)车上的观察者:小球以-as 相对于小车作加速运动;

注意:此时小车是非惯性系,那么小车上的观察者如何解释 呢? 我们假设车上的人熟知牛顿定律,尤其对加速度一定是由力 引起的印象至深,以致在任何场合下,他都强烈地要求保留这 一认知,于是车上的人说:小球之所以对小车有 -as 的加速度, 是因为受到了一个指向左方的作用力,且力的大小为 - mas;但 他同时又熟知,力是物体与物体之间的相互作用,而小球在水 平方向不受其它物体的作用,
因此,物理上把这个力命名为惯性力。(虚拟) 2、惯性力的特点 1)惯性力是参考系加速运动引起的附加力,本质上是物体惯性 的体现,它不是物体间的相互作用,没有反作用力,但有真实的 效果。

2)惯性力的大小等于研究对象的质量m与非惯性系的加速度as 的乘积,——而方向与 as 相反,即

?* ? f ? -mas
注意式中 m 是研究对象的质量,即在同一非惯性系中若选 取的研究对象不同,其质量不同,则 f﹡ 不同;
另外 f﹡ 与 as 有关,非惯性系相对于惯性系的加速度的形式 不同,则 f﹡ 也不同。 后面将从三个方面加以说明。

3、 非惯性系中的运动定律的形式

设有惯性系O和非惯性系O?,O?系以加速度as相对于O系运 动,现在O?系中有一质点,其质量为m,且相对于O?系以相对 加速度 a/ 运动,于是质点m相对惯性系的加速度 a=as+a/ 现 在惯性系O中运用牛顿定律得

? ? ? ? F ? ma ? ma ? + mas ?* ? f ? -mas 因为我们已引入惯性力

,所以上式为

? ?* ? F + f ? ma ?

这就是在非惯性系中运动定律的形式. 即:在非惯性系中运用牛顿定律时,对研究对象除了分析其 受到的真实力以外,还必须加上其受到的惯性力;而等式右边 则只考虑研究对象相对于非惯性系的相对加速度a/。

例2-6 加速度计—— 小车上系有一物,当小车以 恒加速度运动时,重物与竖直 方向成?角,求小车之加速度。 yT

? as

f﹡

? mg

x

解:以小车为参照系(非 惯性系), 因为a/=0,这时动力学可简化为静力学 重力mg, 张力T, 惯性力f﹡,

重物受3个力: 而处平衡态,故有

T cos? - mg ? 0 * T sin ? - f ? 0 as 联立,得 tg? ? g

(1) (2)

( f ? mas )
*

? as ? g ? tg?

?匀角速转动的非惯性系中的——惯性离心力

*惯性离心力的引入:
如图所示,在光滑水平圆盘上,用一轻弹簧栓一小球,圆 盘以角速w匀速转动,这时弹簧被拉伸后而静止。

地面观察者:小球受到弹性力,且指向圆心,作圆周运动;

? w

? f弹
o

? r

?* fc

圆盘上观察者:小球受 到弹簧拉力,指向圆心, 但小球仍处于静止状态, 为解释这一现象引入

?* 2? f c ? mw r

此时

? 2? as ? -w r

?* 2? fc ? mw r

即称为惯性离心力。

A

A

A

A

A

B

A

A

A

A

2

通过地球自转周期推出太阳相对地球转动的角速度,再由几何关系得到 杆的影长和时间的关系。

如图所示,将一条长为r 的系链条静止的放在光滑的水平方 形台面上,链条的一半从台面上下垂,另一半平直放在台 面上。求链条刚滑离台面的速度。
T

解:对链条下垂部分和台面上部分分别出受力 分析,隐含整个链条的速率相同条件 以对链条为研究对象,单位长度 质量为m,建立坐标,列方程. 对台面上的链条 T

B

O

A

dv ? m( r - x )a ? m( r - x ) dt 对下垂的链条 dv ?xg - T ? ?xa ? ? ( r - x ) dt 初始条件x0=d/2,v0=0 1 v? 3 gr 2

x

GOA

如图所示,将一条长为r的系链条静止的放在光滑的水平方 形台面上,链条的一半从台面上下垂,另一半平直放在台 面上。求链条刚滑离台面的速度。
T

解:对链条下垂部分和台面上部分分别出 受力分析,隐含整个链条的速率相同条件, 整个过程只有重力做功,机械能守恒,选 全部离开时坐标原点为重力势能零点。

B

O

以对链条为研究对象,单位长度 质量为λ,建立坐标,列方程.
x

A

GOA

r r r 1 - ? g ? - ?rg + ?rv 2 2 4 2 2
1 v? 3 gr 2

B

A

A

A

A

变质量问题时,牛顿运动定律写成原始形式

? ? d ( mv ) F? dt

A

A

A

B

A

A

B

B

A

B

B

B

B

A

A

B

B

B

B

A

A

非惯性系

刚体的定轴转动
1、转动惯量

I ? ?mi ri

2

2、力矩的瞬时效应 刚体定轴转动的转动定理
3、力矩的时间积累效应 ? 对轴的角动量定理

? M ? I?

?

t

t0

Mdt ? Iw - Iw 0

若 Mz外=0
4、刚体的转动动能 5、力矩的功

则 L ? Iw ? 恒量 1 2 Ek ? Iw 2

∴ 当刚体转过有限角时,力矩的功为

A ? ? Md?
?

?2

刚体的定轴转动
6、力矩的空间累积效应 刚体定轴转动的动能定理:? 7、机械能守恒定律

??

?2
1

1 2 Md ? ? ?( Iw ) 2

若 A外 ? 0

A内非 =0 (或只有保守力作功)

1 2 1 2 mv + Iw + mghc ? 恒量 2 2
解题方法:确定对象、分析受力、选取坐标、列解方程 基本思路:先功能,再角动量,转动定律看情况; 先守恒,后定理,分析受力要紧。

8.平行轴定理

JC
2

J m

J ? JC + md

C× d

?

JC ? Jmin
平行

9.对薄平板刚体的正交轴定理 如图 J z ? ?
2 ?mi ri?

z
2 ?mi yi

??


2 ?mi xi

+?

O x xi

ri
Δ mi

yi y

Jz ? J x + J y

x

[例]求对薄圆盘的一条直径的转动惯量, z 1 已知圆盘 J z ? mR2 。 m 2 1 C 圆盘 解: J x + J y ? J z ? mR2 y 2 R

1 ? J x ? J y ? mR2 4

转动定律应用举例
R 定轴 O 绳

·

已知:R = 0.2m,m =1kg,v0= 0,
h =1.5m, 绳轮间无相对

m

v 0= 0
h

滑动, 下落时间 t =3s。 求:轮对 O 轴 J =? 解: 动力学关系: 对轮: T ? R ? J ? ? 对m: mg - T ? ma (1) (2)

(不可伸长) t

N

α R G

′ T = –T
a m mg

·
T

运动学关系:a ?

? ?R

(3)

1 2 (4) h ? at 2

gt 2 - 1)mR2 (1)~(4)联立解得: J ? ( 2h 分析结果:
● ●

量纲对;

h、m 一定,J↑→ t↑,合理; 1 2 gt , 正确。 ● 若J = 0,得 h ? 2 代入数据: 2 9.8 ? 3 J ?( - 1) ? 1 ? 0.22 ? 1.14kg? m2 2 ? 1.5 此为一种用实验测转动惯量的方法。

A

B

A

A

A

B

A

A

A

B

A

A

B

A

A

1、竞走速度与摇摆 跑道上竞走的运动员为了保持在任何时刻至少有一只脚不 离地,在快速竞走时总是不断地左右摇摆臀部,竞走速度 越快,摇摆就越剧烈。试利用所学知识加以分析,得出竞 走速度的大小与有关量的关系,进而解释这一现象。 2、弹弓效应 当空间探测器从一星球旁飞过时,该过程可视为一种无接 触的碰撞过程,遵守动量守恒定律。因此探测器绕过星球 后由于引力的作用速率增大了,这种效应称弹弓效应。弹 弓效应是航天技术中增大宇宙探测器速率的一种有效办法。 土星的质量为m2=5.67*1026kg,以相对于太阳的轨道速率 9.6km/s运行,一空间探测器质量为m1=150kg,以相对太 阳10.4km/s的速率迎向土星飞行。由于土星的引力,探测 器绕过土星沿和原速度相反的方向离去。求它离开土星后 的速度。

3、称量人体各部分的重量
利用力学原理可以称量人体各部分的重量,请设计 一种测量人小腿(从膝关节至足)重量方案(已知 人小腿重心到膝关节之距为小腿长的43%)。 4、溜溜球 溜溜球(又名哟哟),是在一个扁圆柱体的中间圆 周槽内紧绕一细线构成的。溜溜球从静止开始释放, 下降时越转越快;而当绳子完全放开后,溜溜球会 从最低点自动上升。如溜溜球质量为M,半径为R, 转动惯量I=MR2/2,槽圆周半径为b(b<R),设细线 的总长度为H,质量忽略不计。求溜溜球运动的全 过程中细线所受的拉力。

考虑地球匀速转动。现在假设在赤道挖一个直坑,指向地心, 不考虑地球密度不均匀、地心很热、地心可能是液态等因素。 现在在坑的正上方无初速地释放一个铁球,那么运动一段时 间后,球将会: A.撞到坑的东面的壁 B.撞到坑的南面的壁 C.撞到坑的西面的壁 D.撞到坑的北面的壁 E.不会撞到坑的壁 解答:选A。由于引力始终为径向,铁球在切向上的速度大 小不会变。而随着铁球接近地心,坑道处的切向速度将会减 小。因此铁球会撞到坑道的冬面的壁。

众所周知,人从楼上掉下摔不死也会摔成重伤,可是蚂 蚁从高处落下却会安然无恙,你知道其中的密秘吗? 解答:物体在空气中运动时会受到空气的阻力,其阻力 的大小与物体和空气接触的表面积大小有关。越小的物 体其表面积大小和重力大小的比值越大,即阻力越容易 和重力相平衡,从而不致于下降的速度越来越大,也就 是说微小的物体可以在空气中以很小的速度下落,所以 蚂蚁落地时速度很小,不致于摔死。

我们的地球一直在绕太阳作轨道运动,周期约为365天。假设 有一天这种轨道运动突然完全停止了,则地球会沿直线冲向太阳。 请估计需要多长时间地球能够撞到太阳。(不考虑地球被太阳熔 化等因素,也不考虑其它天体的影响)。 解:根据开普勒定律,对于绕太阳作轨道运动的天体,其运动 周期的平方与椭圆轨道长半轴的长度的三次方的比值为一定值, T12 T2 2 即 ,而长半轴长可认为是天体离太阳最近距离与最远距 ? 3 3 离的平均值。原先地球的轨道为一个近似为圆的椭圆,设其长 半轴长为轨道运动停止后,地球径直冲向太阳,我们可以把这 种直线运动近似视为长半轴长为的一个很狭长的椭圆轨道。因 此根据开普勒定律, 约为两个月
R1 R2

1 ' 1 ( R / 2)3/ 2 365 , t ? T ? ? 3/ 2 T ? 5/ 2 ? 65days 2 2 R 2

挂在壁墙上的石英钟,当电池的电能耗尽而停止走动时,其秒针往往停在 刻度盘上几点钟的位置上?为什么? 解答:答案是九点附近(七点至九点)。因为在九点处指针所受到的逆时 针方向力矩最大(即阻力矩最大)。 有许多人认为答案是六点,因为六点处指针势能最低。的确,在某些情况 下,物体能量的不断减少会导致物体在势能最低点附近徘徊,最终停止于势 能最低点,就像单摆最终会停止摆动于最低点,篮球落地、反弹、再落地、 再反弹……最终会停在地面上。这就是保守力场的运动规律。 然而,在某些情况下物体是不符合上述规律的。例如,物体在粗糙的水平 面上自由运动,我们就无法从势能的角度来说明物体会停在什么地方。时钟 也是如此。 从时钟的机械构造来看,即使在逆时针方向力矩最大的九点处,指针不会 因为电力不足而逆时针转。所以,指针一旦经过六点,就不会倒转回来。秒 针旋转一圈所耗用的电力是十分微弱的,所以可以近似认为秒针旋转一圈的 过程中电力改变非常小。假设秒针在转第k圈时,电池的电力充足能使秒针 通过阻力矩最大的九点处,则在下一圈秒针必能通过六点。秒针继续旋转。 当秒针在转第i-1圈时,电池的电力不足但刚好能使秒针通过阻力矩最大的九 点处,则在下一圈(即第i圈)秒针也能通过六点,但再也不能通过九点了。所 以秒针最终所停的位置在六点超过的地方。

有一大型水坝高110m、长1000m,水深100m,水面与 大坝表面垂直。求水作用在大坝上的力以及这个力对 通过大坝基点Q且与x 轴平行的轴的力矩。 分析:这是由压强求压力,但是压强是随着水深变化 的量,不能用“压强×表面积”来计算;然而在水深 相同y 处,压强P相等,可在此处取一高为dy,长为坝 长L的表面积dA=Ldy ,其上压强为P=P0+?g(h-y), 可认为是个不变量,则此面积元上的水压力dF =PdA。 又由于水作用在坝面上的力方向均相同,所以垂直作 用在大坝表面上的合力,由水底到水面积分可求得。 同样,求力矩也要在水深为y 处,先求出dF的力矩 dM=ydF,再积分求得合力矩。 h h 解: ? P Ldy + ?g (h - y) Ldy ? P Lh + 1 ?gLh 2 F

?

0

0

?

0

0

2

(下一页)

合力矩为

M ? ? dM ? ? ydF ? ? P0 Lydy + ? ?g (h - y ) ydy
0 h

1 1 2 3 ? P0 Lh + ?gLh 2 6
问题:如遇特大洪水,为保证大坝安全,用什么措施 可减少水坝所受的力矩? ——水深不可改变,即水压力的大小改变不了;但正 压力的方向是可以改变的。大坝迎水表面修建得坡度 缓一些,水压力对大坝基点Q 的力矩即可减少。


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