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湖南省长郡中学2015届高三上学期第五次月考理科数学试题


湖南省长郡中学 2015 届高三第五次月考试题 理 科 数 学
时量 120 分钟 满分 150 分

一、选择 题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的. 1.复数

2i 所对应的点位于复平面内( 2?i

) C.第三象限 1 2 3 D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 2.已知离散型随机变量 X 的分布列为 X P 则 X 的数学期望 EX=( A. )

3 5

3 10

1 10

3 5 B.2 C. D.3 2 2 3.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x2 ? 3x ,则函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 3 的零点的集
A. ?1,3? 合为( ) B. ??3, ?1,1,3?

C. 2 ? 7,1,3
6

?

?
4

D. ?2 ? 7,1,3

?

?

m n 4.在 ?1 ? x ? ?1 ? y ? 的展开式中,记 x y 项的系数为 f ? m, n ? ,

则 f ?3,0? ? f ? 2,1? ? f ?1,2? ? f ? 0,3? =( A.45 C.120 5.已知命题 p: x ? A B ,则非 p 是( A.x 不属于 A ? B C.x 不属于 A 且 x 不属于 B )

) B.60 D.210 B.x 不属于 A 或 x 不属于 B D.x ? A ? B )

6.若执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 3,则判断框中应填入的条件是( A. k ? 6 ? B. k ? 7 ? C. k ? 8 ? D. k ? 9 ?

7.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视 图的面积为( )

3 4 3 C. 4
A.
x

B. D.1

3 2

8.已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ln 则 AB 的最小值为( A.2 )

x 1 ? 的图象分别与直线 y =m 交于 A、B 两点, 2 2

B. 2 ? ln 2 D. 2e ? ln

1 2 C. e ? 2

3 2

9.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? ? ? ?

? ?

? ,且其图象关于直线 x =0 对称,则( 2 ? ?

??



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A. y ? f ? x ? 的最小正周期为 ? ,且在(0, B. y ? f ? x ? 的最小正周期为

? ,且在(0, )上为增函数 2 4 ? C. y ? f ? x ? 的最小正周期为 ? ,且在(0, )上为减函数 2 ? ? D. y ? f ? x ? 的最小正周期为 ,且在(0, )上为减函数 2 4
10.对于三次函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a ? 0 ),给出定义:设 f ' ? x ? 是函数 y ? f ? x ? 的导数, f '' ? x ? 是 f ' ? x ? 的导数,若方程 f '' ? x ? ? 0 有实数解 x0,则称点 x0 , f ? x0 ? 为函数 y ? f ? x ? 的“拐点”。某同学 经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称 中心。设函数 g ? x ? ? A.2 013

? )上为增函数 2 ?

?

?

1 3 1 2 5 ? 1 ? ? 2 ? ? 2014? x ? x ? 3x ? ,则 g ? ? ?( ? +g ? ? +…+g ? 3 2 12 ? 2015? ? 2015? ? 2015?
B.2 014 C.2 015 2 016



二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上. (一)选做题(请考生在第 11,12 ,13 三题 中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 11. 如图, AB 是半圆 O 的直径, 点 C 在半圆上, CD⊥AB, 垂足为 D, 且 AD=5DB, 设∠COD= ? ,则 tan ? 的值为 . 12.已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ,( ? 为 ? y ? 1 ? 3 sin ? ?? ? 参数),Ox 为极轴建立极坐标系,直 线 l 的极坐标方程为 ? cos?? ? ? ? 0 , 6? ? 则圆 C 截直线 l 所得的弦长为 13.不等式 x ? 。 .

? x ? 3 ? 3 cos?

1 ?| a ? 2 | ? sin y 对一切非零实数 x,y 均成立,则实数 a 的 取值范围为 x

(二)必做题(14~16 题)

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 14.已知点 A 是不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 所表示的平面区域内的一个动点,点 ? ?1,1? ,O 为坐标原点, ?x ? 1 ?
则 OA ? OB 的取值范围是 15. 如图, 已知过椭圆 。
[来源:Z*xx*k.Com]

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A ? ?a,0? 作直线 l 交 y 轴于点 P, a2 b2 交 椭 圆 于 点 Q , 若 △ AOP 是 等 腰 三 角 形 , 且 PQ ? 2QA , 则 椭 圆 的 离 心 率
为 。

16.等边△ABC 的边长为 2,取各边的三等分点并连线,可以将△ABC 分成如图所示 的 9 个全等的小正三角形,记这 9 个小正三角形的重心分别为 G1,G2,G3,…,G9, 则 AG1 ? BG1 ? AG2 ? BG2 ?

?

? ?

?

? AG9 ? BG9 =

?

?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分)某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人, 现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核。
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(1)求从甲、乙两组各抽取的人数; (2)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学期望.

18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 3a cos C ? c sin A . (1)求角 C 的大小; (2)若 a=3,△ABC 的面积为

3 3 ,求 CA ? AB 的值。 2

19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABC D 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,AB=PA=1, AD= 3 ,F 是 PB 中点,E 为 BC 上一点. (1)求证:AF⊥平面 PBC; (2)当 BE 为何值时,二面角 C-PE-D 为 45o?

20.(本小题满分 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2 ? ? (1)求证:数列 ?

?2 ? ? 1? an ( n ? N? )。 ?n ?

? an ? ? 是等比数列; ?n?

n (2)设数列 2 an 的前 n 项和为 Tn , An ?

?

?

1 1 ? ? T1 T2

?

1 1 1 2 + + ,试比较 An 与 的大小。 Tn T2 T3 nan

第 3 页 共 8 页

21.(本小题满分 13 分)如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1: x2 ? 2 py (p ? 0)的焦点,且抛物线 C1 上点 P 处的切线与圆 C2: x 2 ? y 2 ? 1相切于点 Q。 (1) 当直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时,求抛物线 Cl 的方程; (2)当正数 p 变化时,记 S1,S2 分别为△FPQ,△FOQ 的面积,求

S1 的最小值. S2

22.(本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? 2ln x ? x2 ? ax 。 (1)当 a ? 3 时,讨论函数 f ? x ? 在 ? ,?? ? 上的单调性; (2)如果 x1 , x2 是函数 f ? x ? 的两个零点,且 x1 ? x2 ? 4 x1 , f ?( x ) 是函数 f ? x ? 的导函数,用 x1 , x2 表示 a 并证明: f ??

?1 ?2

? ?

? 2 x1 ? x2 ? ? ? 0。 3 ? ?

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