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2016届高三数学一轮复习优题精练:直线与圆


江苏省 2016 年高考一轮复习突破训练 直线与圆
一、填空题 1 、 ( 2015 年 江 苏 高 考 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 以 点 ( 1,0 ) 为 圆 心 且 与 直 线

mx ? y ? 2m ? 1 ? 0

( m ? R) 相 切 的 所 有 圆 中 , 半 径 最 大 的 圆 的 标 准 方 程 为

____ ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 _____________。 2 、 ( 2014 年 江 苏 高 考 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被 圆
2 (x ? 2) ? ( y ? 1) 2 ? 4 截得的弦长为

▲ .

3 、 ( 2015 届 南 京 、 盐 城 市 高 三 二 模 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系

xoy 中 , 已 知 ⊙ C :

x 2 ? (y ? 1)2 ? 5 ,A为⊙C与 x 负半轴的交点,过 A 作⊙C的弦 AB,记线段 AB 的
中点为 M.则直线 AB 的斜率为 。 4、 (南通、扬州、连云港 2015 届高三第二次调研(淮安三模))在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C1 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 6)2 ? 25 ,圆 C2 : ( x ? 17)2 ? ( y ? 30)2 ? r 2 . 若圆 C2 上存在一点 P ,使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A , B ,满足

PA ? 2AB ,
则半径 r 的取值范围是 ▲ .

5、 (苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研(一))在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:
x2 ? ( y ? 3)2 ? 2 ,点 A 是 x 轴上的一个动点,AP,AQ 分别切圆 C 于 P,Q 两点,则线

段 PQ 长的取值范围为 . 6、(连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三第一次调研考试)已知 a , b 为正数,且 直线 ax ? by ? 6 ? 0 与直线 2x ? ?b ? 3? y ? 5 ? 0 互相平行,则 2a ? 3b 的最小值为 ▲ 7、 (南京市、 盐城市 2015 届高三第一次模拟) 在平面直角坐标系 xOy 中, 设直线 y ? ? x ? 2
2 2 2 与 圆 x ? y ? r ( r ?0 )交 于 A, B 两 点 , O 为 坐 标 原 点 , 若 圆 上 一 点 C 满 足

???? 5 ??? ? 3 ??? ? OC ? OA ? OB ,则 r ? 4 4



.
2 2

8 、 ( 苏 州 市 2015 届 高 三 2 月 调 研 测 试 ) 已 知 圆 M : ( x ?1) ? ( y ?1) ? 4 , 直 线

l : x ? y ? 6 ? 0, A 为直线 l 上一点,若圆 M 上存在两点 B, C ,使得 ?BAC ? 60? ,则点 A
的横坐标的取值范围是 9、 (2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研) 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0 ,直线 l 过
1

点 P(3,1),则当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时,直线 l 的方程为 ▲ 10、 (2015 届江苏苏州高三 9 月调研) 已知圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? 1? a ? 0 ? 与直线 y ? 3x
2 2

相交于 P, Q 两点 , 则当 ?CPQ 的面积最大时 , 此时实数 a 的值为 ▲ 11、(南京市 2014 届高三第三次模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x-1)2 +y2=4,P 为圆 C 上一点.若存在一个定圆 M,过 P 作圆 M 的两条切线 PA,PB,切点分 别为 A,B,当 P 在圆 C 上运动时,使得∠APB 恒为 60?,则圆 M 的方程为 12、(2014 江苏百校联考一)已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ,点 P 在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上, 若过点 P 存在直线 m 与圆 C 交于 A 、 B 两点,且点 A 为 PB 的中点,则点 P 横坐标 x0 的 取值范围是 . 13、(南京、盐城市 2014 届高三第二次模拟(淮安三模))在平面直角坐标系 xOy 中,过 点 P(5,3)作直线 l 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,若 OA⊥OB,则直线 l 的斜率为 ▲ 14 、 ( 无 锡 市 2015 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 点 A (0 , ) 2位 圆

M : x 2 + y2 - 2ax - 2ay = 0(a > 0) 外 一 点 , 圆 M 上 存 在 点 T 使 得
? MAT 45o ,则实数 a 的取值范围是
.

x? y?3? 0 15、 (宿迁市 2015 届高三 11 月摸底考试) 已知光线通过点 M ? ?3,4? , 被直线 l :
反射,反射光线通过点 N ? 2,6? , 则反射光线所在直线的方程是 ▲

二、解答题 1、(2013 年江苏高考)本小题满分 14 分。如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) , 直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上。 (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围。 y A O l

x

2

2、(连云港、徐州、淮安、宿迁四市 2015 届高三第一次调研考试) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?3,4) , B(9,0) ,若 C , D 分别为线段 OA , OB 上的 动点,且满足 AC ? BD . (1) 若 AC ? 4 ,求直线 CD 的方程; (2)证明:△ OCD 的外接圆恒过定点(异于原点 O ). y A C O
(第 17 题)

D

B

x

3、(泰州市 2015 届高三第二次模拟考试)如图,某市有一条东西走向的公路 l ,现欲经过 公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公路 m . 在施工过程中发现在 O 处的正北 1 百米的 A 处 1 百米为半径设立一个圆形保护区. 有一汉代古迹. 为了保护古迹, 该市决定以 A 为圆心, 为 了连通公路 l 、 m ,欲再新建一条公路 PQ ,点 P 、 Q 分别在公路 l 、 m 上,且要求 PQ 与 圆 A 相切. (1)当 P 距 O 处 2 百米时,求 OQ 的长;


Q
(2)当公路 PQ 长最短时,求 OQ 的长.

A l m

O

P



4、(溧阳市 2015 届高三上学期期中教学情况调研)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A (2,2),B(0,4),圆 C 以线段 AB 为直径 (1)求圆 C 的方程; (2)设点 P 是圆 C 上与点 A 不重合的一点,且 OP=OA,求直线 PA 的方程和 ?POA 的面 积。
3

5、(江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考) 已知圆 C 的方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 , 点 O 是坐标原点 . 直线 l : y ? kx与圆 C 交于

M , N 两点.
(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ) 设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点 , 且 函数

2 1 1 . 请将 n 表示为 m 的 ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

6、(江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考)
2 已知圆 C : ? x ? 2 ? ? y ? 1 2

(1) 求:过点 P ? 3, m? 与圆 C 相切的切线方程; (2) 若点 Q 是直线 x ? y ? 6 ? 0 上的动点,过点 Q 作圆 C 的切线 QA, QB ,其中 A, B 为切点,求:四边形 QACB 面积的最小值及此时点 Q 的坐标.

7、已知圆 O 的方程为 x ? y ? 1, 直线l1过点A(3, 且与圆 O 相切。 0),
2 2

(1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 O 与 x 轴交与 P,Q 两点,M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直 的直线为 l 2 ,直线 PM 交直线 l 2 于点 P ,直线 QM 交直线 l 2 于点 Q 。求证:以 P Q 为直 径的圆 C 总过定点,并求出定点坐标。
'

'

'

'

8、如图,在平面直角坐标系 xOy 中, A(a,0) (a ? 0) ,B(0, a) ,C (?4,0) ,D(0, 4) ,设 ?AOB 的外接圆圆心为 E. (1)若⊙E 与直线 CD 相切,求实数 a 的值; (2)设点 P 在圆 E 上,使 ?PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三个,试问这样的⊙E 是否 存在,若存在,求出⊙E 的标准方程;若不存在,说明理由. D
4

y B E

9、(通州高级中学等五校 2015 届高三 12 月第一次联考)已知 ?ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , B(1 , 0) , C (3 , 2) ,其外接圆为圆 H . (1)求圆 H 的方程; (2)若直线 l 过点 C ,且被圆 H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (3)对于线段 BH 上的任意一点 P ,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N , 使得点 M 是线段 PN 的中点,求圆 C 的半径 r 的取值范围.

参考答案
一、填空题 1、 r ?

m ? 2m ? 1 1 ? m2

,即 r ?
2

2 (m ? 1) 2 ? 1? ? 2 ,所以所求的圆标准方程为: 2 1 m ?1 ?m m

( x ?1)2 ? y 2 ? 2
2、

2 55 5
4、 ?5 , 55? 5、 [
2 14 , 2 2) 3

3、2

6、25

7、 10

8、[1,5]

9、 2 x ? y ? 5 ? 0

1 0、

5 2
13、1 或 7 23

11、(x-1)2+y2=1 14、 3 ?1 ? a ? 1

12、 [?1, 2]

15、 6 x ? y ? 6 ? 0

二、解答题 1、(1)解:由 ?

? y ? 2x ? 4 得圆心 C 为(3,2),∵圆 C 的半径为 1 y ? x ? 1 ?
2

∴圆 C 的方程为: ( x ? 3)

? ( y ? 2) 2 ? 1

5

显然切线的斜率一定存在,设所求圆 C 的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0



3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

∴所求圆 C 的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ?

3 x ? 3 即 y ? 3 或者 3x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心 C 为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a)
2

? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又∵ MA ? 2 MO ∴设 M 为 (x,y) 则 设为圆 D ∴点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 ∴ 2 ?1 ?
2

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整理得:x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4
即:圆 C 和圆 D 有交点

a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1
2

由 5a ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 由 5a ? 12a ? 0 得 0 ? x ?
2

12 5

终上所述,a 的取值范围为: ?0,

? 12 ? ? ? 5?
(?3) 2 ? 4 2 ? 5 ,…………………………………1 分

2、(1) 因为 A(?3, 4) ,所以 OA ?

又因为 AC ? 4 ,所以 OC ? 1 ,所以 C (? , ) ,…………………………………3 分

3 4 5 5

4 5 ??1 由 BD ? 4 ,得 D(5, 0) ,所以直线 CD 的斜率 , …………………5 分 7 ? 3? 5??? ? ? 5? 0?
所以直线 CD 的方程为 y ? ? ( x ? 5) ,即 x ? 7 y ? 5 ? 0 .…………………………6 分 (2)设 C (?3m, 4m)(0 ? m ≤1) ,则 OC ? 5m .…………………………………………7 分 则 AC ? OA ? OC ? 5 ? 5m ,因为 AC ? BD ,所以 OD ? OB ? BD ? 5m+4 , 所以 D 点的坐标为 (5m+4,0) , ……………………………………………………8 分 又设△ OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx+Ey ? F ? 0 ,

1 7

6

? F ? 0, ? ? 2 2 则有 ?9m ? 16m ? 3mD ? 4mE ? F ? 0, ……………………………………………10 分 ? 2 ? ?? 5m ? 4 ? ? ? 5m ? 4 ? D ? F ? 0.
解之得 D ? ?(5m ? 4), F ? 0 , E ? ?10m ? 3 , 所以△ OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? (5m ? 4) x ? (10m ? 3) y ? 0 ,………12 分 整理得 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 5m( x ? 2 y) ? 0 , 令?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y =0, ? x+2 y =0

,所以 ?

? x ? 0, ? x ? 2, (舍)或 ? ? y ? 0. ? y ? ?1.

所以△ OCD 的外接圆恒过定点为 (2, ?1) .…………………………………………14 分

3、解:以 O 为原点,直线 l 、 m 分别为 x, y 轴建立平面直角坐标系. 设 PQ 与圆 A 相切于点 B , 连结 AB , 以 1 百米为单位长度, 则圆 A 的 方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,


Q

x y (1) 由题意可设直线 PQ 的方程为 ? ? 1 ,即 qx ? 2 y ? 2 q ? 0 , 2 q
(q ? 2) ,
∵ PQ 与圆 A 相切,∴
l

B A

O m

P



2 ? 2q q 2 ? 22

? 1 ,解得 q ?
8 百米. 3

8 , 3
……………5 分

故当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为 (2)设直线 PQ 的方程为

x y ? ? 1 ,即 qx ? py ? pq ? 0 , ( p ? 1, q ? 2) , p q
2 ?1, 化简得 p ?

∵ PQ 与圆 A 相切, ∴

p ? pq q2 ? p2

q q Q 2 ?p 2 ? q2? ?q 2 , , 则P q?2 q?2
……8 分

令 f (q) ?

q 2 2(q ? 1)(q 2 ? 3q ? 1) (q ? 2) , ? q 2 (q ? 2) ,∴ f ?(q) ? 2q ? ? q?2 (q ? 2)2 (q ? 2)2

当2? q ?

3? 5 3? 5 ) 上单调递减; 时, f ?(q) ? 0 ,即 f ( q ) 在 (2, 2 2
7

当q ?

3? 5 3? 5 时, f ?(q) ? 0 ,即 f ( q ) 在 ( , ??) 上单调递增, 2 2 3? 5 3? 5 时取得最小值,故当公路 PQ 长最短时, OQ 的长为 百米. 2 2
8 百米;(2)当公路 PQ 长最短时, OQ 的 3
……………14 分

∴ f (q) 在 q ?

答:(1)当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为

长为

3? 5 百米. 2

4、解:(1)设圆 C 的圆心 C( a, b) ,半径为 r ,则 a ? 1, b ? 3 ---------2 分

r ? AC ? (2 ? 1) 2 ? (2 ? 3) 2 ? 2 --------------------------------------------4 分
∴圆 C 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 ----------------------------------------6 分 (2)∵OP=OA,CP=CA,∴OC 是线段 PA 的垂直平分线---------------8 分 又 OC 的斜率为 3,∴PA 的斜率为 ?

1 ------------------------------------------9 分 3

∴直线 PA 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 3 y ? 8 ? 0 -----------------10 分 ∵点 O 到直线 PA 的距离 d ?

1 3

0? 0?8 12 ? 32

?

4 10 -------------------------------11 分 5

OA= 2 2 ? 2 2 ? 2 2 …………………………………………………………..12 分 ∴ PA ? 2 OA2 ? d 2 ? 2 8 ? (

4 10 2 4 10 ……………………………13 分 ) ? 5 5

∴ ?POA 的面积 ?

1 1 4 10 4 10 16 PA ? d ? ? ? ? ……………………14 分 2 2 5 5 5

2 2 5 、 解 :(Ⅰ) 将 y ? k x 代 入 x ? ( y ? 4) ? 4 得 则

(1 ? k 2 ) x 2 ? 8k x ? 12 ? 0 ,(*) 由

? ? (?8k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 12 ? 0 得 k 2 ? 3 . 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3) ? ( 3, ??)
(Ⅱ)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ) , ( x 2 , kx 2 ) ,则
2 2 OM ? (1 ? k 2 ) x1 , ON ? (1 ? k 2 ) x2 ,又 OQ ? m2 ? n 2 ? (1 ? k 2 ) m2 , 2 2 2



2 OQ
2

?

1 OM
2

?

1 ON
2

得,

2 1 1 ? ? , 2 2 2 2 2 (1 ? k ) m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x 2
8

所以

( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 2 1 1 ? ? ? 2 2 m 2 x1 2 x 2 2 x1 x 2
8k
2

12 36 , 所以 m 2 ? 2 , 2 1? k 1? k 5k ? 3 36 n 因为点 Q 在直线 l 上,所以 k ? ,代入 m 2 ? 2 可得 5n 2 ? 3m 2 ? 36 , 5k ? 3 m 36 由 m2 ? 2 及 k 2 ? 3 得 0 ? m 2 ? 3 ,即 m ? (? 3, 0) ? (0, 3) . 5k ? 3
由(*)知 x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? 依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ?

36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 , ? 5 5

于是, n 与 m 的函数关系为 n ? 6、⑴ ①当 m ? 0时

15m 2 ? 180 ( m ? (? 3, 0) ? (0, 3) ) 5
―――――2 分

切线方程为 x ? 3

②当 m ? 0 时 设切线方程为 y ? m ? k ? x ? 3?

?

k ?m 1? k
2

? 1? k ?

1? m 2m

切线方程为

x ? 3或 y ? m ?

1 ? m2 ? x ? 3? 2m
2

―――――――8 分

⑵ SQACB ? 2S?QAC ? AC ? AQ ? CQ ? 1

故 CQ 最小时四边形面积最小,

CQmin ?

2?6 2

?2 2

SQ

的最小值为 A C B

7

此时 CQ : y ? x ? 2

?Q ? 4 , ?2

――――――16 分
2 2

7、解:(1)∵直线 l1 过点 A(3,0) ,且与圆 C : x ? y ? 1相切, 设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 3k ? 0 , …………………………2 分 则圆心 O (0, 0) 到直线 l1 的距离为 d ? ∴直线 l1 的方程为 y ? ?

| 3k | k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 , 4

2 2 ( x ? 3) ,即 y ? ? ( x ? 3) . …… …………………4 分 4 4

(2)对于圆方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?1 ,即 P(?1,0), Q(1,0) .又直线 l2 过点 A 且 与 x 轴垂直,∴直线 l2 方程为 x ? 3 ,设 M (s, t ) ,则直线 PM 方程为 y ?

t ( x ? 1). s ?1

9

? x ? 3, 4t 2t ? 解方程组 ? ,得 P' (3, ). 同理可得, Q' (3, ). ……………… 10 分 t y? ( x ? 1) s ?1 s ?1 ? s ?1 ?
∴以 P?Q? 为直径的圆 C ? 的方程为 ( x ? 3)( x ? 3) ? ( y ? 又 s 2 ? t 2 ? 1 ,∴整理得 ( x2 + y 2 - 6x + 1) +

4t 2t )( y ? ) ? 0, s ?1 s ?1

6s - 2 y = 0 ,……………………… 12 分 t

若圆 C ? 经过定点,只需令 y = 0 ,从而有 x 2 - 6 x + 1 = 0 ,解得 x ? 3 ? 2 2 , ∴圆 C ? 总经过定点坐标为 (3 ? 2 2,0) . …………………………………………… 14 分 8、解:(1)直线 CD 方程为 y ? x ? 4 ,圆心 E ( , ) ,半径 r ?

a a 2 2

2 a. 2

a a ? ?4| 2 ? a ,解得 a ? 4 .…………………………………………6 分 由题意得 2 2 2 2 |
(2)∵ | CD |?

(?4) 2 ? 42 ? 4 2 ,

∴当 ?PCD 面积为 12 时,点 P 到直线 CD 的距离为 3 2 , 又圆心 E 到直线 CD 距离为 2 2 (定值),要使 ?PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三 个,只须圆 E 半径
2a ? 5 2 ,解得 a ? 10 , 2

此时,⊙E 的标准方程为 ( x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 50 .……………………………………14 分 9、解:(1) x2 ? ( y ? 3)2 ? 10 (2) x ? 3 或 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 ……………4 分 ………10 分(缺少一个方程扣 3 分)

(3) 0 ? CP ? r ? 2r ,即 r ? CP ? 3r 恒成立, ? 4 10 10 4 ?r ? CPmin ? ?r? 10 . …16 分 ,从而 ?? 5 3 5 ?3r ? CP ? CH ? 10 max ? 注:多等号扣 2 分,其它方法类似.

10


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