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2002~2013年全国初中数学竞赛试题及答案


2002 年全国初中数学竞赛试题
一、选择题

1.设 a<b<0,a +b =4ab,则

2

2

a?b 的值为【 a?b
C、2



A、 3

B、 6

D、3
2 2 2

2.已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式 a +b +c -ab -bc-ca 的值为【 A、0 】 B、1 C、2 D、3

3. 如图, 点 E、 F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、 BC 的中点, 连 AF、 CE 交于点 G, 则

S四边形 A G C D S 矩形 A B C D

等于【



A、

5 6

B、

4 5

C、

3 4

D、

2 3

D G A E

C F B
2

4.设 a、b、c 为实数,x=a -2b+ 至少有一个值【 A、大于 0 】 B、等于 0
2

? ? ? 2 2 ,y=b -2c+ ,z=c -2a+ ,则 x、y、z 中 3 3 3

C、不大于 0

D、小于 0

5.设关于 x 的方程 ax +(a+2)x+9a=0,有两个不等的实数根 x1、x2,且 x1<1<x2,那 么 a 的取值范围是【 】

A、 ?

2 2 <a< 5 7

B、a>

2 5

C、a< ?

2 7


D、 ?

2 <a<0 11

6.A1A2A3?A9 是一个正九边形,A1A2=a,A1A3=b,则 A1A5 等于【
2 2 A、 a ? b 2 2 B、 a ? ab ? b

C、

1 ?a ? b ? 2

D、a+b

二、填空题 7.设 x1、x2 是关于 x 的一元二次方程 x +ax+a=2 的两个实数根,则(x1-2x2)(x2-2x1) 的最大值为 。
2

8. 已知 a、 b 为抛物线 y=(x-c)(x-c-d)-2 与 x 轴交点的横坐标, a<b, 则 a?c ? c?b 的值为 。
0

9.如图,在△ABC 中,∠ABC=60 ,点 P 是△ABC 内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA, 且 PA=8,PC=6,则 PB= 。

A

P C B
10.如图,大圆 O 的直径 AB=acm,分别以 OA、OB 为直径作⊙O1、⊙O2,并在⊙O 与⊙O1 和⊙O2 的空隙间作两个等圆⊙O3 和⊙O4,这些圆互相内切或外切,则四边形 O1O2O3O4 的面积 为 cm2。

O3 O O4

A

O1

O2

B

11.满足(n -n-1)

2

n+2

=1 的整数 n 有

个。

12.某商品的标价比成本高 p%,当该商品降价出售时,为了不亏本,售价的折扣(即降价 的百分数)不得超过 d%,则 d 可以用 p 表示为 三、解答题 。

13.某项工程,如果由甲、乙两队承包,2

2 天完成,需付 180000 元;由乙、丙两队承包, 5

3 6 3 天完成,需付 150000 元;由甲、丙两队承包, 2 天完成,需付 160000 元。现在工 4 7
程由一个队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队的承包费用最少?

14.如图,圆内接六边形 ABCDEF 满足 AB=CD=EF,且对角线 AD、BE、CF 交于一点 Q,设

AD 与 CE 的交点为 P。(1)求证:

QD AC CP AC 2 ? ? (2)求证: PE CE 2 ED EC

A B F Q P E D
2

C

16. 如果对一切 x 的整数值, x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数 (即整数的平方) 。 证明: (1)2a、2b、c 都是整数; (2)a、b、c 都是整数,并且 c 是平方数;反过来,如 果(2)成立,是否对一切的 x 的整数值,x 的二次三项式 ax +bx+c 的值都是平方数?
2

2002 年全国初中数学竞赛试题

1:A.由题意:

>0,且 ?

?a?b? ? = ?a?b?

2

=

=3。

2:答案:原式=

[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]=

[1+1+4]=3。

3:答案:设 S 矩形 ABCD=1。因为 E、F 是矩形 ABCD 中边 AB、BC 的中点,

所以 SΔ GCF=SΔ GBF,设为 x;SΔ GAE=SΔ GBE,设为 y。则

,得 2x+2y=

.

所以 S 四边形 AGCD=

.从而 S 四边形 AGCD∶S 矩形 ABCD=2∶3.

4.答案:由题意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+ ? =(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+ ? -3>0,所以 x、y、 z 中至少有一个大于 0. 5.答案:A 由题知:(x1-1)(x2-1)<0, 即 x1x2-(x1+x2)+1<0,代入韦达定理并整理得 6.答案: .延长 A1A2 和 A5A4 相交于 P,连结 A2A4.易证:Δ PA1A5 和Δ PA2A4 均为正Δ , 且 PA2=A2A4=A1A3=b。所以 A1A5=PA1=a+b. <0

7.答案: 由Δ =(a-2) +4>0 知 a 为一切实数.由韦达定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2) =-2a +9a-18

2

2

2

≤-

.

8. 答 案 : 由 题 知 :(a-c)(a-c-d)-2=0, (b-c)(b-c-d)-2=0. 所 以 a-c 和 b-c 是 方 程
A

t(t-d)-2=0( 即 t -dt-2=0) 的两实根 . 所以 (a-c)(b-c)= -2<0. 而 a<b, 即 a-c<b-c. 所以 a-c<0,b-c>0.所以原式=b-a.
B P C

2

9.答案:易证:Δ PAB∽Δ BCP,所以 10.答案:设⊙O3 的半径为 x,则 O1O3= ( - x) ,解得 x=
2

=

,得 PB=4 +x,O1O= ,O3O= a.
O3 O O4
2

- x. 所以(

+x) =(

2

)+

2

,易得菱形 O1O3O2O4 的面积为

11.答案:由题设得 n2-n-1=±1,有 5 个根:0,1,-1,2.和-2 12.答案:设成本为 a,则 a(1+p%)(1-d%)=a,得 d= 13.答案:设单独完成,甲、乙、丙各需 a、b、c 天.则 .
A O1

O2

B

解得 a=4, b=6, c=10(c>7,舍去).

又设每天付给甲、乙、丙的费用分别为 x、y、z(元),则

?12 ? 5 ( x ? y ) ? 180000 ? ?15 ? ( y ? z ) ? 150000 ?3 ? 20 ? 7 ( z ? x ) ? 160000 ?
解得 x=45500, y=29500, 所以甲 4 天完成的总费用为 182000 元, 乙 6 天完成的总费用为 177000 元, 所以由乙承包.

14.答案:(1)易证∠3=∠4,所以∠AEC=∠DEQ,而∠ACE=∠2, 所以Δ ACE∽Δ QDE.可得结论成立. (2)分析:易证∠6=∠4,所以 FC∥ED,所以 =

所以只需证

=

,

由(1)有

=



所以只需证

=

,即 QD2=CQ?EQ.

这只需证Δ CQD∽Δ EQD. 而由题设有∠7=∠3+∠5=∠4+∠5, 由(1)有∠9=∠EAC,而∠EAC=∠8==∠QCD, 所以可证得Δ CQD∽Δ EQD. 15.答案:(1)由题设知,可分别令 x=0、-1、1,得 16.则有 c=m2,2a=n2+k2,2b=n2-k2 均为整数. (其中 m、n、k 为整数) (2)假设 2b 为奇数 2t+1(t 为整数). (3)取 x=4 得 16a+4b+m2=h2(h 为整数). 因 2a 为整数,从而 16a 可被 4 整除. 所以 16a+4b=16a+4t+2 除以 4 余 2.所以 16a+4b 为偶数.① 又因为 16a+4b=(h+m)(h-m). 若 h、m 的奇偶性不同,则 16a+4b=(h+m)(h-m)为奇数,这与①矛盾.

若 h、m 的奇偶性相同,则 16a+4b=(h+m)(h-m)能被 4 整除,从而 2b 为偶数,这与假设矛盾. 所以假设不成立,即 2b 应为偶数,从而 b 为整数. 所以 a=k2+b-c 为整数.反之,若 a、b、c 都是整数,且 c 是平方数,则对一切 x 的整数值,x 的二次三项式 ax +bx+c 的值不一定是平方数.例如:取 a=b=x=c=1,则 ax +bx+c=3,不是平方 数.
2 2

2003 年全国初中数学竞赛试题
一、选择题 1. 若 4x-3y-6z=0, x+2y-7z=0(xyz≠0), 则 (A) ?
1 2
5x2 ? 2 y 2 ? z 2 的值等于 ( 2 x 2 ? 3 y 2 ? 10 z 2

).

(B) ?

19 2

(C) ? 15

(D)

? 13

2.在本埠投寄平信,每封信质量不超过 20g 时付邮费 0.80 元,超过 20g 而不 超过 40g 时付邮费 1.60 元,依次类推,每增加 20g 需增加邮费 0.80 元(信的 质量在 100g 以内) 。如果所寄一封信的质量为 72.5g,那么应付邮费 ( (A) 2.4 元 (B) 2.8 元 (C) 3 元 (D) 3.2 元 ). (D) 720° ).

3.如下图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( (A)360°
A G B M N C D E F

(B) 450°

(C) 540°
A

D C O B

(第 3 题图)

(第 4 题图)

4.四条线段的长分别为 9,5,x,1(其中 x 为正实数) ,用它们拼成两个直角 三角形, 且 AB 与 CD 是其中的两条线段 (如上图) , 则 x 可取值的个数为 ( (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D) 6 个 ) .

5. 某校初三两个毕业班的学生和教师共 100 人一起在台阶上拍毕业照留念, 摄 影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3) ,且要求各行的人数必须是

连续的自然数,这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处,那么, 满足上述要求的排法的方案有( (A)1 种 二、填空题 6.已知 x ? 1 ? 3 ,那么
1 1 1 ? 2 ? ? x?2 x ?4 x?2

). (C)4 种 (D) 0 种

(B)2 种

.

7. 若实数 x, y, z 满足 x ?

1 1 1 7 则 xyz 的值为 ?4, y ? ? 1, z? ? , y z x 3

.

8.观察下列图形:





③ .



根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数为
A

9.如图所示,已知电线杆 AB 直立于地面上, 它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上, 如果 CD 与地面成 45?, ∠A=60? CD=4m, BC= 4 6 ? 2 2 m , 则 电 线 杆 AB 的 长 为 _______m.
B C D

?

?

E

(第 9 题图)

10.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (其中 a 是正整数)的图象经 过点 A(-1, 4)与点 B(2,1) ,并且与 x 轴有两个不同的交点,则 b+c 的最大值为 三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) .

11.如图所示,已知 AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,OC 平行于弦 AD, 过点 D 作 DE⊥AB 于点 E, 连结 AC, 与 DE 交于点 P. 问 EP 与 PD 是否相等? 证明你的结论. 解:
A

E

D P

O

B

C

(第 11 题图)

12.某人租用一辆汽车由 A 城前往 B 城, 沿途可能经过的城市以及通过两城 市之间所需的时间(单位:小时)如图 所示. 若汽车行驶的平均速度为 80 千 米/小时,而汽车每行驶 1 千米需要的 平均费用为 1.2 元. 试指出此人从 A 城出发到 B 城的最短路线(要有推理 过程) ,并求出所需费用最少为多少 元? 解:
15 14

6

C
13

D

17

E
10 12 11

A O
5

F
7 18

B

G

9

H

(第 12 题图)

13B.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°. (1)当点 D 在斜边 AB 内部时,求证:
CD2 ? BD 2 AD ? BD ? . BC 2 AB

(2)当点 D 与点 A 重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由. (3)当点 D 在 BA 的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明 理由.
C

B

D

A

(第 13 B 题图)

14B.已知实数 a,b,c 满足:a+b+c=2,abc=4.

(1)求 a,b,c 中的最大者的最小值; (2)求 a ? b ? c 的最小值.

注:13B 和 14B 相对于下面的 13A 和 14A 是较容易的题. 13B 和 14B 与前面的 12 个题组成 考试卷.后面两页 13A 和 14A 两题可留作考试后的研究题。

13A.如图所示,⊙O 的直径的长是关于 x 的二次方程 x 2 ? 2(k ? 2) x ? k ? 0 (k 是整数) 的最大整数根. P 是⊙O 外一点, 过点 P 作⊙O 的切线 PA 和割线 PBC, 其中 A 为切点,点 B,C 是直线 PBC 与⊙O 的交点.若 PA,PB,PC 的长都是 正整数,且 PB 的长不是合数,求 PA2 ? PB2 ? PC 2 的值. 解:
A

O

P

B

C

(第 13A 题图)

14A.沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的 4 个数 a,b,c,d 满足不等式
(a ? d )(b ? c) >0,那么就可以交换 b,c 的位置,这称为一次操作.

(1)若圆周上依次放着数 1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作 后,对圆周上任意依次相连的 4 个数 a,b,c,d,都有 (a ? d )(b ? c) ≤0?请说 明理由. (2) 若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着 2003 个正整数 1, 2, ?, 2003, 问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次相连的 4 个数 a,b,c,d, 都有 (a ? d )(b ? c) ≤0?请说明理由. 解: (1)
1 6 2

5 4

3

(2)

参考答案与评分标准
1.D 由 ?

?4 x ? 3 y ? 6 z ? 0, ? x ? 2 y ? 7 z ? 0,

解得 ?

? x ? 3z, 代入即得. ? y ? 2 z.

2.D 因为 20?3<72.5<20?4, 所以根据题意, 可知需付邮费 0.8?4=3.2(元) . 3.C 如图所示,∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°,∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°, 而∠BMN +∠FNM =∠D+180°,所以

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
4.D

显然 AB 是四条线段中最长的,故 AB=9 或 AB=x (1)若 AB=9,当 CD=x 时, 9 2 ? x 2 ? (1 ? 5) 2 , x ? 3 5 ; 当 CD=5 时, 9 2 ? 5 2 ? ( x ? 1) 2 , x ? 2 14 ? 1 ; 当 CD=1 时, 9 2 ? 12 ? ( x ? 5) 2 , x ? 4 5 ? 5 . (2)若 AB=x,当 CD=9 时, x 2 ? 9 2 ? (1 ? 5) 2 , x ? 3 13 ; 当 CD=5 时, x 2 ? 5 2 ? (1 ? 9) 2 , x ? 5 5 ; 当 CD=1 时, x 2 ? 12 ? (5 ? 9) 2 , x ? 197 . 故 x 可取值的个数为 6 个. 5.B 设最后一排有 k 个人,共有 n 排,那么从后往前各排的人数分别为 k,k+1,

n(n ? 1) ? 100 ,即 n?2k ? ?n ? 1?? ? 200 . 2 因为 k,n 都是正整数,且 n≥3,所以 n<2k+(n-1) ,且 n 与 2k+(n-1)的 奇偶性不同. 将 200 分解质因数,可知 n=5 或 n=8. 当 n=5 时,k=18;当 n=8 时,k=9. 共有两种不同方案.

k+2,?,k+(n-1) ,由题意可知 kn ?

6. ?

3 . 2

?3 3 1 1 1 ?4 1 ?3 ?? = 。 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 x ? 2 x ? 4 x ? 2 x ? 4 x ? 4 x ? 4 (1 ? 3 ) ? 4
7.1.

7 1 ? 1 1 z 3 x ? x ? 7x ? 3 , 因为 4 ? x ? ? x ? ? x? ? x? 1 7 1 y z ?1 4x ? 3 1? ? ?1 z 3 x 3 所以 4(4 x ? 3) ? x(4 x ? 3) ? 7 x ? 3 ,解得 x ? . 2 7 1 7 2 5 1 3 2 从而 z ? ? ? ? ? , y ? 1 ? ? 1 ? ? . 3 x 3 3 3 z 5 5 3 2 5 于是 xyz ? ? ? ? 1 . 2 5 3 8.161. 根据图中①、②、③的规律,可知图④中三角形的个数为

1+4+3?4+ 32 ? 4 + 33 ? 4 =1+4+12+36+108=161(个). 9. 6 2 . 如图,延长 AD 交地面于 E,过 D 作 DF⊥CE 于 F. 因为∠DCF=45°,∠A=60°,CD=4m, 所以 CF=DF= 2 2 m , EF=DFtan60 ° = 2 6 (m). 因为
B C F E A

D

(第 9 题图)

AB 3 3 ? tan 30 ? ? ? 6 2 (m). ,所以 AB ? BE ? BE 3 3

10.-4.

?a ? b ? c ? 4, 由于二次函数的图象过点 A(-1,4) ,点 B(2,1) ,所以 ? ?4a ? 2b ? c ? 1,

解得

?b ? ?a ? 1, ? ?c ? 3 ? 2a.

因为二次函数图象与 x 轴有两个不同的交点,所以 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ,
(?a ? 1) 2 ? 4a(3 ? 2a) ? 0 ,即 (9a ? 1)( a ? 1) ? 0 ,由于 a 是正整数,故 a ? 1 ,

所以 a ≥2. 又因为 b+c=-3a+2≤-4,且当 a=2,b=-3,c=-1 时,满足题意, 故 b+c 的最大值为-4. 11..解:DP=PE. 证明如下: 因为 AB 是⊙O 的直径,BC 是切线, 所以 AB⊥BC. 由 Rt△AEP∽Rt△ABC,得 EP AE . ① ? BC AB 又 AD∥OC,所以∠DAE=∠COB,于是 Rt△AED∽Rt△OBC. ED AE AE 2 AE 故 ② ? ? ? BC OB 1 AB AB 2 由①,②得 ED=2EP. 所以 DP=PE. 12.解:从 A 城出发到达 B 城的路线分成如下两类: (1)从 A 城出发到达 B 城,经过 O 城. 因为从 A 城到 O 城所需最短时间为 26 小时,从 O 城到 B 城所需最短时间为 22 小时. 所以,此类路线所需 最短时间 为 26+22=48(小时). (2)从 A 城出发到达 B 城,不经过 O 城. 这时从 A 城到达 B 城,必定经过 C, D,E 城或 F,G,H 城,所需时间至少为 49 小时. 所需的费用最少为:80?48?1.2=4608(元) 13B 解: (1)作 DE⊥BC,垂足为 E. 由勾股定理得
CD 2 ? BD 2 ? (CE 2 ? DE 2 ) ? ( BE 2 ? DE 2 ) ? CE 2 ? BE 2 ? (CE ? BE ) BC.

综上,从 A 城到达 B 城

所需的最短时间为 48 小时,所走的路线为:A→F→O→E→B.

所以

CD 2 ? BD 2 CE ? BE CE BE . ? ? ? BC BC BC BC 2

因为 DE∥AC,所以 故

CE AD BE BD . ? , ? BC AB BC AB

CD 2 ? BD 2 AD BD AD ? BD . ? ? ? AB AB AB BC 2

(2)当点 D 与点 A 重合时,第(1)小题中的等式仍然成立。此时有 AD=0,CD=AC,BD=AB. 所以
CD 2 ? BD 2 AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? ? ? ?1, BC 2 BC 2 BC 2

AD ? BD ? AB ? ? ?1 . AB AB

从而第(1)小题中的等式成立. (3)当点 D 在 BA 的延长线上时,第(1)小题中的等式不成立. 作 DE⊥BC,交 BC 的延长线于点 E,则
CD 2 ? BD 2 CE 2 ? BE 2 ? BC 2 BC 2 CE ? BE 2CE ?? ? ?1 ? , BC BC
E C



AD ? BD ? AB ? ? ?1 , AB AB
CD 2 ? BD 2 AD ? BD ? . AB BC 2

B A

D

所以 .

14B 解: (1)不妨设 a 是 a,b,c 中的最大者,即 a≥b,a≥c,由题设知 a>0, 4 且 b+c=2-a, bc ? . a 4 于是 b,c 是一元二次方程 x 2 ? (2 ? a) x ? ? 0 的两实根, a 4 ? ? (2 ? a) 2 ? 4 ? ≥0, a
a 3 ? 4a 2 ? 4a ? 16 ≥0, (a 2 ? 4)( a ? 4) ≥0. 所以 a≥4.

又当 a=4,b=c=-1 时,满足题意. 故 a,b,c 中最大者的最小值为 4. (2)因为 abc>0,所以 a,b,c 为全大于 0 或一正二负. 1)若 a,b,c 均大于 0,则由(1)知,a,b,c 中的最大者不小于 4,这 与 a+b+c=2 矛盾. 2)若 a,b,c 为或一正二负,设 a>0,b<0,c<0,则
a ? b ? c ? a ? b ? c ? a ? ( 2 ? a ) ? 2a ? 2 ,

由(1)知 a≥4,故 2a-2≥6,当 a=4,b=c=-1 时,满足题设条件且使得不 等式等号成立。故 a ? b ? c 的最小值为 6. 13A.解:设方程 x 2 ? 2(k ? 2) x ? k ? 0 的两个根 为 x1 , x 2 , x1 ≤ x 2 .由根与系数的关系得
x1 ? x2 ? 4 ? 2k , x1 x2 ? k .

① ②
A

由题设及①知, x1 , x 2 都是整数. 从①,②消 去 k,得
2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 4 , (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ? 9 .
P B O C

由上式知, x2 ? 4 ,且当 k=0 时, x2 ? 4 ,故最大的整数根为 4. 于是⊙O 的直径为 4,所以 BC≤4. 因为 BC=PC-PB 为正整数,所以 BC=1,2,3 或 4. 连结 AB,AC,因为∠PAB=∠PCA,所以 PAB∽△PCA, 故
PA2 ? PB( PB ? BC )

PA PC ? PB PA



(1)当 BC=1 时,由③得, PA2 ? PB 2 ? PB ,于是 PB 2 ? PA2 ? ( PB ? 1) 2 ,矛 盾(2)当 BC=2 时,由③得, PA2 ? PB 2 ? 2PB ,于是 PB 2 ? PA2 ? ( PB ? 1) 2 ,

矛盾 (3)当 BC=3 时,由③得,PA2 ? PB 2 ? 3PB ,于是 ( PA ? PB)( PA ? PB) ? 3PB , 由于 PB 不是合数,结合 PA ? PB ? PA ? PB ,故只可能
? PA ? PB ? 1, ? ? PA ? PB ? 3PB, ? PA ? PB ? 3, ? ? PA ? PB ? PB, ? PA ? PB ? PB, ? ? PA ? PB ? 3,

解得

? PA ? 2, ? ? PB ? 1.

此时

PA2 ? PB 2 ? PC 2 ? 21 .

(4)当 BC=4,由③得, PA2 ? PB 2 ? 4PB ,于是
( PB ? 1) 2 ? PB 2 ? 4 PB ? PA2 ? ( PB ? 2) 2 ,矛盾.

综上所述 PA2 ? PB 2 ? PC 2 ? 21 . 14A.解: (1)答案是肯定的. 具体操作如下:
1 6 2 6 1 3

1 6 3

(1-4)(2-3)>0
交换 2,3
5 4 3 5 4
1 6 4

(3-5)(2-4)>0 交换 2,4
5 2
1 6 4

2

4

(1-2)(3-4)>0
交换 3,4
5 2 3

(3-6)(2-5)>0
交换 2,5
2 5 3

?? (5 分) (2)答案是肯定的. 考虑这 2003 个数的相邻两数乘积之和为 P. ??(7 分) 开始时, P0 =1?2+2?3+3?4+?+2002?2003+2003?1,经过 k(k≥0) 次操作后, 这 2003 个数的相邻两数乘积之和为 Pk ,此时若圆周上依次相连的 4

个数 a,b,c,d 满足不等式 (a ? d )(b ? c) >0,即 ab+cd>ac+bd,交换 b,c 的位 置后,这 2003 个数的相邻两数乘积之和为 Pk ?1 ,有
Pk ?1 ? Pk ? (ac ? cb ? bd ) ? (ab ? bc ? cd ) ? ac ? bd ? ab ? cd ? 0 .

所以 Pk ?1 ? Pk ? ?1 ,即每一次操作,相邻两数乘积的和至少减少 1,由于 相邻两数乘积总大于 0,故经过有限次操作后,对任意依次相连的 4 个数 a,b, c,d,一定有 (a ? d )(b ? c) ≤0. ??(15 分)

2004 年全国初中数学竞赛试题
一、选择题 1. 已 知 实 数 a ? b , 且 满 足 (a ? 1) 2 ? 3 ? 3(a ? 1) , 3(b ? 1) ? 3 ? (b ? 1) 2 . 则
b b a ?a 的值为( a b

). (C ) ? 2
2

(A)23 答:选(B) ∵

(B) ? 23

(D) ? 13

a、b 是关于 x 的方程 ?x ? 1? ? 3( x ? 1) ? 3 ? 0 的两个根,整理此方程,得

x2 ? 5x ? 1 ? 0 ,

∵ ? ? 25 ? 4 ? 0 ,∴ a ? b ? ?5 , ab ? 1. 故 a、b 均为负数. 因此
b a b a a2 ? b2 b ?a ?? ab ? ab ? ? a b a b ab
2 ? a ? b ? ? 2ab ab ? ? ? ?23 .

ab

2. 若直角三角形的两条直角边长为 a 、b ,斜边长为 c ,斜边上的高为 h ,则有 ( ). (B)
1 1 1 ? ? a b h

( A ) ab ? h 2
a 2 ? b 2 ? 2h 2

(C)

1 1 1 ? 2 ? 2 2 a b h

(D)

答:选(C) ∵ ∴
a ? h ? 0 ,b ? h ? 0,
ab ? h 2 , a 2 ? b 2 ? h 2 ? h 2 ? 2h 2 ;

因此,结论(A) 、 (D)显然不正确. 1 1 1 1 1 1 设斜边为 c,则有 a ? b ? c , (a ? b)h ? ch ? ab ,即有 ? ? , a b h 2 2 2 因此,结论(B)也不正确. 1 1 1 1 1 由 a 2 ? b 2 h ? ab 化简整理后,得 2 ? 2 ? 2 , 2 2 a b h 因此结论(C)是正确的. 3.一条抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的顶点为(4, ? 11 ) ,且与 x 轴的两个交点的横 坐标为一正一负,则 a、b、c 中为正数的( (A)只有 a 答:选(A) 由顶点为(4, ? 11 ) ,抛物线交 x 轴于两点,知 a>0. 设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1 ,x 2 , 即为方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的 两个根.
c ? 0 ,所以 c ? 0 . a b 根据对称轴 x=4,即有 ? ? 0 ,知 b<0. 2a

). (D)只有 a 和 b

(B)只有 b

(C)只有 c

由题设 x1 x 2 ? 0 ,知

故知结论(A)是正确的. 4.如图所示,在△ABC 中,DE∥AB∥FG,且 FG 到 DE、 AB 的距离之比为 1:2. 若△ABC 的面积为 32, △CDE 的 面 积 为 ( (A)6 (C)10 答:选(B) 由 DE∥AB∥FG 知,△CDE∽△CAB,△CDE∽△CFG,所以
CD ? CA S ?CDE ? S ?CAB 2 1 ? , 32 4

2 , 则 △ CFG (B)8 (D)12

的 面 积

S

等 于

).

(第 4 题图)

又由题设知

FD 1 FD 1 1 1 3 1 ? ,所以 ? , FD ? AD ? ? AC ? AC , FA 2 AD 3 3 3 4 4
S ?CDE ? 1 ? 1 ? ? ? ? , S ?CFG ? 8 . S ?CFG ? 2 ? 4
2

故 FD ? DC ,于是

因此,结论(B)是正确的. 5.如果 x 和 y 是非零实数,使得 x ? y ? 3 和 x y ? x 3 ? 0 , 那么 x+y 等于( (A)3 答:选(D) 将 y ? 3 ? x 代入 x y ? x 3 ? 0 ,得 x 3 ? x 2 ? 3 x ? 0 . (1)当 x>0 时, x 3 ? x 2 ? 3x ? 0 ,方程 x 2 ? x ? 3 ? 0 无实根; (2)当 x<0 时, x 3 ? x 2 ? 3x ? 0 ,得方程 x 2 ? x ? 3 ? 0 解得 x ?
1 ? 13 1 ? 13 ,正根舍去,从而 x ? . 2 2 1 ? 13 7 ? 13 ? . 2 2

). (B) 13 (C )
1 ? 13 2

(D)4 ? 13

于是 y ? 3 ? x ? 3 ? 故 x ? y ? 4 ? 13 . 二、填空题)

6 . 如图所示,在△ ABC 中, AB=AC , AD=AE ,
?BAD ? 60? ,则 ?EDC ?

(度).

答: 30 ° 解:设 ?CAD ? 2? ,由 AB=AC 知 1 ?B ? (180 ? ? 60? ? 2? ) ? 60? ? ? , 2
?ADB ? 180? ? ?B ? 60? ? 60? ? ? ,

由 AD=AE 知, ?ADE ? 90? ? ? , 所以 ?EDC ? 180? ? ?ADE ? ?ADB ? 30? .

(第 6 题图)

7.据有关资料统计,两个城市之间每天的电话通话次数 T 与这两个城市的人 kmn 口数 m、n(单位:万人)以及两城市间的距离 d(单位:km)有 T ? 2 的关 d 系(k 为常数) . 现测得 A、B、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示, 且已知 A、B 两个城市间每天的电话通话次数为 t,那么 B、C 两个城市间每天 的电话通话次数为 t 答: 2 解:据题意,有 t ? ∴k ?
32 t. 5

次(用 t 表示).

50 ? 80 k, 160 2

因此,B、C 两个城市间每天的电话 通话次数为 80 ? 100 32t 5 t TBC ? k ? ? ? ? . 2 5 64 2 320
(第 7 题图)

8 . 已 知 实 数 a 、 b 、 x 、 y 满 足 a ? b ? x ? y ? 2 , ax ? by ? 5 , 则
(a 2 ? b 2 ) xy ? ab( x 2 ? y 2 ) ?

.

答: ? 5 解:由 a ? b ? x ? y ? 2 ,得 (a ? b)( x ? y) ? ax ? by ? ay ? bx ? 4 , ∵ ax ? by ? 5 ,∴ ay ? bx ? ?1 . 因而, (a 2 ? b 2 ) xy ? ab( x 2 ? y 2 ) ? (ay ? bx)( ax ? by) ? ?5 . 9. 如图所示, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC (BC>AD),
?D ? 90? ,BC=CD=12, ?ABE ? 45? ,若 AE=10,

则 CE 的长为 答:4 或 6

.

解:延长 DA 至 M,使 BM⊥BE. 过 B 作 BG⊥AM, G 为垂足 . 易知四边形 BCDG 为正方形, 所以 BC=BG. 又 ?CBE ? ?GBM , ∴ Rt△BEC≌Rt△BMG. ∴ BM=BE, ?ABE ? ?ABM ? 45? ,
(第 9 题图)

∴△ABE≌△ABM,AM=AE=10. 设 CE=x,则 AG= 10 ? x ,AD= 12 ? (10 ? x) ? 2 ? x ,DE= 12 ? x . 在 Rt△ADE 中, AE 2 ? AD 2 ? DE 2 , ∴ 100 ? ( x ? 2) 2 ? (12 ? x) 2 ,即 x 2 ? 10 x ? 24 ? 0 , 解之,得 x1 ? 4 , x2 ? 6 .故 CE 的长为 4 或 6. 10.实数 x、y、z 满足 x+y+z=5,xy+yz+zx=3,则 z 的最大值是 13 答: 3 解:∵ x ? y ? 5 ? z , xy ? 3 ? z ( x ? y) ? 3 ? z (5 ? z ) ? z 2 ? 5z ? 3 , ∴ x、y 是关于 t 的一元二次方程 t 2 ? (5 ? z )t ? z 2 ? 5 z ? 3 ? 0 的两实根. ∵ ? ? (5 ? z ) 2 ? 4( z 2 ? 5 z ? 3) ? 0 ,即 3z 2 ? 10 z ? 13 ? 0 , (3z ? 13)( z ? 1) ? 0 .
13 1 13 ,当 x ? y ? 时, z ? . 3 3 3 13 故 z 的最大值为 . 3

.

∴ z?

三、解答题 11.通过实验研究,专家们发现:初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲 课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学 生的兴趣保持平稳的状态,随后开始分散. 学生注意力指标数 y 随时间 x(分 钟)变化的函数图象如图所示(y 越大表示学生注意力越集中). 当 0 ? x ? 10 时,图象是抛物线的一部分,当 10 ? x ? 20 和 20 ? x ? 40 时,图象是线段. (1)当 0 ? x ? 10 时,求注意力指标数 y 与时间 x 的函数关系式; (2)一道数学竞赛题需要讲解 24 分钟. 问老师能否经过适当安排,使学生在 听这道题时,注意力的指标数都不低于 36. 解: (1)当 0 ? x ? 10 时,设抛物线的函数关 系式为 y ? ax2 ? bx ? c ,由于它的图象经过点 (0,20) , (5,39) , (10,48) ,所以

?c ? 20, ? ?25 a ? 5b ? c ? 39, ?100 a ? 10b ? c ? 48 . ?

1 24 解得, a ? ? , b ? , c ? 20 . 5 5 1 24 所以 y ? ? x 2 ? x ? 20 , 0 ? x ? 10 . 5 5 7 (2)当 20 ? x ? 40 时, y ? ? x ? 76 . 5

(第 11(A)题图)

???????(5 分)

1 24 所以,当 0 ? x ? 10 时,令 y=36,得 36 ? ? x 2 ? x ? 20 , 5 5

解得 x=4, x ? 20 (舍去) ;
7 当 20 ? x ? 40 时,令 y=36,得 36 ? ? x ? 76 ,解得 5 200 4 ????????(10 分) x? ? 28 . 7 7 4 4 因为 28 ? 4 ? 24 ? 24 ,所以,老师可以经过适当的安排,在学生注意力指标 7 7

数不低于 36 时,讲授完这道竞赛题. 分)

????????(15

? y ? x 3 ? ax 2 ? bx, 12.已知 a,b 是实数,关于 x,y 的方程组 ? ? y ? ax ? b

有整数解 ( x, y ) ,求 a,b 满足的关系式. 解:将 y ? ax ? b 代入 y ? x 3 ? ax 2 ? bx ,消去 a、b,得
y ? x 3 ? xy , ( x ? 1) y ? x 3 .

若 x+1=0,即 x ? ?1 ,则上式左边为 0,右边为 ? 1不可能. 所以 x+1≠0,于是
y? x3 1 ? x2 ? x ?1? . x ?1 x ?1

因为 x、y 都是整数,所以 x ? 1 ? ?1,即 x ? ?2 或 x ? 0,进而 y=8 或 y ? 0. 故
? x ? ?2 ? x ? 0 或? ? ?y ? 0 ?y ? 8

? x ? ?2 当? 时,代入 y ? ax ? b 得, 2a ? b ? 8 ? 0 ; ?y ? 8 ?x ? 0 当? 时,代入 y ? ax ? b 得, b ? 0 . ?y ? 0

综上所述,a、b 满足关系式是 2a ? b ? 8 ? 0 ,或者 b ? 0 ,a 是任意实数. 13.D 是△ABC 的边 AB 上的一点,使得 AB=3AD,P 是△ABC 外接圆上一点, PB 使得 ?ADP ? ?ACB ,求 的值. PD 解:连结 AP,则 ?APB ? ?ACB ? ?ADP , AB AP 所以,△APB∽△ADP, ∴ , ? AP AD 所以 AP 2 ? AB ? AD ? 3 AD 2 , ∴ AP ? 3 AD ,所以
PB AP ? ? 3. PD AD
(第 13(A)题图)

14.已知 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,且 b 2 ? 4ac ? b ? 2ac , 求 b 2 ? 4ac 的最小值. 解:令 y ? ax2 ? bx ? c ,由 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,判别 式 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ,所以这个二次函数的图象是一条 开口向下的抛 物线, 且与 x 轴 有两个不 同的交点 c A( x1 ,0) , B( x 2 ,0) ,因为 x1 x2 ? ? 0 ,不妨设 x1 ? x 2 , a b 则 x1 ? 0 ? x2 ,对称轴 x ? ? ? 0 ,于是 2a

(第 14(A)题图)

x1 ?

? b ? b ? 4ac b ? b ? 4ac ? ?c, 2a 2a
2 2

所以

4ac ? b 2 b ? b 2 ? 4ac b 2 ? 4ac ?c? ?? , 4a 2a 2a

故 b 2 ? 4ac ? 4 ,当 a ? ?1,b=0,c=1 时,等号成立.

所以, b 2 ? 4ac 的最小值为 4.

2005 年全国初中数学竞赛试题
一、选择题 1、如图,有一块矩形纸片 ABCD,AB=8,AD=6。将纸片折叠,使得 AD 边落在 AB 边 上,折痕为 AE,再将△AED 沿 DE 向右翻折,AE 与 BC 的交点为 F,则△CEF 的面积为 ( ) A、2 B、4 C、6 D、8 A B A D B D B A

D

C

E

C

E

F C

答:A 解: 由折叠过程知, DE=AD=6, ∠DAE=∠CEF=45°, 所以△CEF 是等腰直角三角形, 且 EC=8-6=2,所以,S△CEF=2 2、若 M= 3x 2 ? 8 xy ? 9 y 2 ? 4 x ? 6 y ? 13 (x,y 是实数) ,则 M 的值一定是( A、正数 B、负数 C、零 D、整数 )

解:因为 M= 3x 2 ? 8 xy ? 9 y 2 ? 4 x ? 6 y ? 13 = 2( x ? 2 y ) 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ≥0 且 x ? 2 y , x ? 2 , y ? 3 这三个数不能同时为 0,所以 M≥0 B A1

3、已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心,A1,B1,C1 分别是 D 点 I 关于边 BC,CA,AB 的对称点。若点 B 在△A1B1C1 的外接 C1 圆上,则∠ABC 等于( ) I A、30° B、45° C、60° D、90° A 答:C 解:因为 IA1=IB1=IC1=2r(r 为△ABC 的内切圆半径) ,所以 B1 点 I 同时是△A1B1C1 的外接圆的圆心,设 IA1 与 BC 的交点为 D,则 IB=IA1=2ID,

C

所以∠IBD=30°,同理,∠IBA=30°,于是,∠ABC=60° 1 1 1 4、设 A= 48 ? ( 2 ? 2 ??? ) ,则与 A 最接近的正整数为( 3 ?4 4 ?4 100 2 ? 4 A、18 B、20 C、24 D、25 答:D 解:对于正整数 m 1 1 1 1 n ≥ 3 , 有 , 所 以 ? ( ? ) 2 n ?4 4 n?2 n?2



A



48 ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? )? ? 12 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 4? 2 98 5 6 102 ? 2 3 4 99 100 101 102

1 1 1 1 ? ? ? ) 99 100 101 102 4 1 1 1 1 1 因为 12 ? ( ? < ,所以与 A 最接近的正整数为 25。 ? ? ) < 12 ? 99 2 99 100 101 102 a 5、设 a、b 是正整数,且满足 56≤a+b≤59,0.9< <0.91,则 b 2 ? a 2 等于( ) b A、171 B、177 C、180 D、182 答:B 解:由题设得 0.9b+b<59,0.91b+b>56,所以 29<b<32。因此 b=30,31。 当 b=30 时,由 0.9b<a<0.91b,得 27<a<28,这样的正整数 a 不存在。 当 b=31 时,由 0.9b<a<0.91b,得 27<a<29,所以 a=28。
= 25 ? 12 ? ( 所以 b 2 ? a 2 =177 二、填空题: 6、在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒针,OB 表示分针, (O 为两针的旋转中心) ,若现 在时间恰好是 12 点整,则经过 秒钟后,△OAB 的面积第一次达到最大。

1 1 OA ? h ≤ OA ? OB 2 2 当 OA⊥OB 时,等号成立。此时△OAB 的面积最大。 设经过 t 秒时,OA 与 OB 第一次垂直。又因为秒针 1 秒钟旋转 6 度,分针 1 秒钟旋转 0.1 15 度,于是(6-0.1)t=90,解得 t= 15 59 3 7、在直角坐标系中,抛物线 y ? x 2 ? mx ? m 2 (m>0)与 x 轴交于 A、B 两点,若 A、 4 1 1 2 B 两点到原点的距离分别为 OA、OB,且满足 ? ? ,则 m 的值等于 OB OA 3 3 解:设方程 x 2 ? mx ? m 2 ? 0 的两根分别为 x1 , x 2 且 x1 < x 2 ,则有 4
解:设 OA 边上的高为 h,则 h≤OB,所以 S△OAB=

3 x1 ? x2 ? ?m <0, x1 x 2 ? ? m 2 <0 4 1 1 2 所以有 x1 <0, x 2 >0,由 ? ? ,可知 OA>OB,又 m>0,所以,抛物线的对称 OB OA 3
轴在 y 轴的左侧,于是 OA ? x1 ? ? x1 ,OB= x 2 ,所以由

1 1 2 ? ? 得 m=2 x1 x 2 3

8、有两副扑克牌,每副牌的排列顺序是:第一张是大王,第二张是小王,然后是黑桃、 红桃、方块、梅花四种花色排列,每种花色的牌又按 A、2、3、?J、Q、K 的顺序排列。 某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起,然后从上到下把第一张丢掉,把第二张 放在最底层,再把第三张丢掉,把第四张放在最底层,??如此下去,直至最后只剩下一 张牌,则所剩的这张牌是 解:根据题意,如果扑克牌的张数为 2, 2 2 , 2 3 ,? 2 n ,那么依照上述操作方法,只剩 下的一张牌就是这些牌的最后一张。例如,手中只有 64 张牌,依照上述操作方法,最后 只剩下第 64 张牌。 现在,手中有 108 张牌,多出 108-64=44(张) ,如果依照上述操作方法,先丢掉 44 张 牌,那么此时手中恰好有 64 张牌,而原来顺序的第 88 张牌恰好放在手中牌的最底层。这 样,再继续进行丢、留的操作,最后剩下的就是原来顺序的第 88 张牌。按照两副扑克牌 的花色排列顺序,88-54-2-26=6,所剩下的最后一张牌是第二副牌中的方块 6。 9、已知 D、E 分别是△ABC 的边 BC、CA 上的点,且 BD=4,DC=1,AE=5,EC=2。 连结 AD 和 BE,它们相交于点 P,过点 P 分别作 PQ∥CA,PR∥CB,它们分别与边 AB 交于点 Q、R,则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为 。 解:过点 E 作 EF∥AD,且交边 BC 于点 F,

5 5 CF CE 2 ? ? 所以 FD= ? CD= , 7 5?2 FD EA 5 PQ BP BD 4 28 又因为 PQ∥CA,所以 , ? ? ? ? 5 33 EA BE BF 4? 7 140 于是 PQ= 33
则 由△QPR∽△ACB,故

C F E P D

A

S ?PQR S ?CAB

PQ 2 20 400 ?( ) ? ( )2 ? CA 33 1089

Q

R

B

2 2 2 ? x2 ? ? ? x 40 10、已知 x1 , x 2 ,?, x 40 都是正整数,且 x1 ? x2 ? ? ? x40 ? 58 ,若 x1 的

最大值为 A,最小值为 B,则 A+B 的值等于



2 2 2 ? x2 ? ? ? x 40 解:因为把 58 写成 40 个正整数的和的写法只有有限种,故 x1 的最小值和

最大值是存在的。

不妨设 x1 ≤ x 2 ≤?≤ x 40 ,若 x1 >1,则 x1 + x 2 = ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ,且
2 2 2 ( x1 ? 1) 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x1 ? x2 ? 2( x 2 ? x1 ) ? 2 > x12 ? x 2 2 2 2 所以当 x1 >1 时,可以把 x1 逐步调整到 1,这时, x1 将增大;同样地,可 ? x2 ? ? ? x 40 2 2 2 以把 x 2 , x 3 ,? x39 逐步调整到 1,这时 x1 将增大。于是,当 x1 , x 2 ,? ? x2 ? ? ? x 40 2 2 ? ? ? x 40 取得最大值,即 x39 均为 1, x 40 =19 时, x12 ? x 2

A= 12 ? 12 ? ? ? 12 ? 19 2 ? 400 。 39 个 若存在两个数 x i , x j ,使得 x j - x i ≥2 ( 1≤i<j≤ 40) ,则
2 2 ( xi ? 1) 2 ? ( x j ? 1) 2 ? xi2 ? x 2 j ? 2( x j ? x i ? 1) < x i ? x j

这说明在 x1 , x 2 ,?,x 40 中, 如果有两个数的差大于 1, 则把较小的数加 1, 较大的数减 1,
2 2 2 ? x2 ? ? ? x 40 这时, x1 将减小。 2 2 2 ? x2 ? ? ? x 40 所以,当 x1 取到最小时, x1 , x 2 ,?, x 40 中任意两个数的差都不大于 1。 2 2 2 ? x2 ? ? ? x 40 于是, 当 x1 ? x2 ? ? ? x22 ? 1 ,x23 ? x24 ? ? ? x40 ? 2 时,x1 取得最小值,

即 B= 12 ? 12 ? ? ? 12 ? 2 2 ? 2 2 ? ? ? 2 2 =94,故 A+B=494 22 个 18 个 三、解答题 11、某校举行春季运动会时,由若干个同学组成一个 8 列的长方形队列。如果原队列中增 加 120 人,就能组成一个正方形队列;如果原队列中减少 120 人,也能组成一个正方形队 列。问原长方形队列有同学多少人? 解:设原长方形队列有同学 8x 人,由已知条件知 8x+120 和 8x-120 均为守全平方数。
2 ① ? ?8 x ? 120 ? m 于是可设 ? 2 ? ?8 x ? 120 ? n ②

其中 m、n 均为正整数,且 m>n。

① -②得 m 2 ? n 2 ? 240 即 (m ? n)(m ? n) ? 240 ? 2 4 ? 3 ? 5

由①、②可知, m 2 、 n 2 都是 8 的倍数,所以 m、n 均能被 4 整除。于是 m+n,m-n 均

?m ? n ? 60 ?m ? n ? 20 能被 4 整除。所以 ? 或? ?m ? n ? 4 ?m ? n ? 12

?m ? 32 ?m ? 16 解得: ? 或? ?n ? 28 ?n ? 4


所以, 8x ? m 2 ? 120 ? 32 2 ? 120 ? 904 或 8x ? m 2 ? 120 ? 16 2 ? 120 ? 136 故原长方形队列有同学 136 人或 904 人。 12、已知 p,q 都是质数,且使得关于 x 的二次方程

x 2 ? (8 p ? 10q) x ? 5 pq ? 0
至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q) 。 解:由方程两根的和为 8p-10q 可知,若方程有一个根为整数,则另一个根也是整数。由 方程两根的积为 5pq,知方程的另一个根也是正整数。 设方程的两个正整数根分别为 x1 , x 2 ( x1 ≤ x 2 ) ,由根与系数的关系得

x1 + x 2 =8p-10q x1 x 2 =5pq

① ②

? x1 ? 1,5, p, q,5 p,5q 由②得, x1 , x 2 有如下几种可能的情况: ? ? x 2 ? 5 pq, pq,5q,5 p, q, p
所以 x1 + x 2 =5pq+1,pq+5,p+5q,q+5p,代入① 当 x1 + x 2 =5pq+1 时,5pq+1=8p-10q,而 5pq+1>10p>8p-10q,故此时无解。 当 x1 + x 2 =pq+5 时,pq+5=8p-10q,所以(p+10) (q-8)=-85

?q ? 8 ? ?5,?1 因为 p、q 都是质数,只可能 ? ? p ? 10 ? 17,85

所以(p,q)=(7,3)

当 x1 + x 2 =p+5q 时,p+5q=8p-10q,所以 7p=15q,不可能。 当 x1 + x 2 =5p+q 时,5p+q=8p-10q,所以 3p=11q,于是(p,q)=(11,3) 综上所述,满足条件的质数对(p,q)=(7,3)或(11,3) 13、如图,分别以△ABC(△ABC 为锐角三角形)的边 AB,BC,CA 为斜边向外作等 腰直角三角形 DAB,EBC,FAC。求证: (1)AE=DF; (2)AE⊥DF。 证明: (1)延长 BD 至点 P,使 DP=BD,连结 AP、CP。

因为△DAB 是等腰直角三角形,

AB 2 所以∠ADB=90°,AD=BD, ? BD 2 在等腰直角三角形 EBC 中,
∠BEC=90,BE=CE,

P A D F

B C AB BE 所以 ? BP BC E 因为∠ PBC =∠ PBA +∠ ABC = 45 °+∠ ABC ,∠ ABE =∠ CBE +∠ ABC = 45 °+∠ ABC 所以∠PBC=∠ABE。于是△ABE∽△PBC,

BE 2 ? BC 2

2 AE AB 2 即 AE= PC。 ? ? PC BP 2 2

AF AD 2 ,∠DAF=∠PAC=45°+∠DAC ? ? AC AP 2 DF AD 2 2 所以△ADF∽△APC 即 DF= PC。 所以,AE=DF。 ? ? PC AP 2 2 (2)因为△ADF∽△APC,所以∠ADF=∠APC,又由△ABE∽△PBC,得∠BAE=∠ CPB,于是∠DAE+∠ADF=45°+∠BAE+∠ADF=45°+∠CPB+∠APC=90° 所以,AE⊥DF。 14、从 1,2,?,205 共 205 个正整数中,最多能取出多少个数,使得对于取出来的数中 的任意三个数 a,b,c(a<b<c) ,都有 ab≠c。 解:首先,1,14,15,?,205 这 193 个数,满足条件。 事实上,设 a,b,c(a<b<c)这三个数取自 1,14,15,?,205。若 a=1,则 ab=b <c;若 a>1,则 ab≥14?15=210>c 另一方面,考虑如下 12 个数组: (2,25,2?25) , (3,24,3?24) , (13,14,13?14) 上述这 36 个数互不相等,且其中最小的数为 2,最大的数为 13?14=182<205 所以,每一个数组中的三个数不能全部都取出来。于是,如果取出来的数满足题设条件, 那么取出来的数的个数不超过 205-12=193(个) 综上所述,从 1,2,?,205 中,最多能取出 193 个数,满足题设条件。
同理,在△ADF 和△APC 中,有

2006 年全国初中数学竞赛试题 一、选择题 1.在高速公路上,从 3 千米处开始,每隔 4 千米经过一个限速标志牌;并且从 10 千米处开始,每隔 9 千米经过一个速度监控仪.刚好在 19 千米处第一次同 时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( (A)36 (B)37 (C)55 (D)90 )

2.已知 m ? 1 ? 2 , n ? 1 ? 2 ,且 (7m 2 ? 14 m ? a)(3n 2 ? 6n ? 7) =8,则 a 的值 等于( (A)-5 ) (B)5 (C)-9 (D)9

3.Rt△ABC 的三个顶点 A,B,C 均在抛物线 y ? x 2 上,并且斜边 AB 平行于 x 轴.若斜边上的高为 h,则( (A)h<1 (B)h=1 ) (C)1<h<2 (D)h>2

4.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出 其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部 分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分??如此 下去,最后得到了 34 个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是 ( ) (B)2005 (C)2006 (D)2007

(A)2004

5. 如图, 正方形 ABCD 内接于⊙O, 点 P 在劣弧 AB 上, 连结 DP, 交 AC 于点 Q. 若 D C

QP=QO,则

QC 的值为( QA



(A) 2 3 ? 1

(B) 2 3

(C) 3 ? 2 (D) 3 ? 2

二、填空题 6.已知 a,b,c 为整数,且 a+b=2006,c-a=2005.若 a<b,则 a+b+c 的最 A 大值为 . D G

B

E

F

C

7.如图,面积为 a b ? c 的正方形 DEFG 内接于面积为 1 的正三角形 ABC, 其中 a,b,c 为整数,且 b 不能被任何质数的平方整除,则 等于 .
a?c 的值 b

(第 7 题图)

8.正五边形广场 ABCDE 的周长为 2000 米.甲、乙两人分别从 A、C 两点同时出 发,沿 A→B→C→D→E→A→?方向绕广场行走,甲的速度为 50 米/分,乙的速 度为 46 米/分.那么出发后经过 条边上.
1? ? 2? 29 ? ? ? 9.已知 0<a<1,且满足 ?a ? ? ? ?a ? ? ? ? ? ?a ? ? ? 18 ,则 ?10 a ? 的值等 30 ? ? 30 ? 30 ? ? ?

分钟,甲、乙两人第一次行走在同一

于 .( ?x ? 表示不超过 x 的最大整数) 10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间 加上数字 8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数

字 2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的 八位数,恰是原来电话号码的六位数的 81 倍,则小明家原来的电话号码 是 三、解答题 11.已知 x ?
b , a , b 为互质的正整数(即 a , b 是正整数,且它们的最大公 a



约数为 1) ,且 a ≤8, 2 ? 1 ? x ? 3 ? 1 . (1)试写出一个满足条件的 x;(2)求所有满足条件的 x.

12.设 a , b , c 为互不相等的实数,且满足关系式
b 2 ? c 2 ? 2a 2 ? 16a ? 14 bc ? a 2 ? 4a ? 5

① ②

求 a 的取值范围.

13.如图,点 P 为⊙O 外一点,过点 P 作⊙O 的两条切线,切点分别为 A,B.过 点 A 作 PB 的平行线,交⊙O 于点 C.连结 PC,交⊙O 于点 E;连结 AE,并延长

AE 交 PB 于点 K.求证:PE?AC=CE?KB.

P

K E

14.10 个学生参加 n 个课外小组,每一个小组至多 5 个人,每两个学生至少参 加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两 个课外小组中.求 n 的最小值.

2006 年全国初中数学竞赛参考答案 1.解:因为 4 和 9 的最小公倍数为 36,19+36=55,所以第二次同时经过这两

种设施的千米数是在 55 千米处.故选 C. 2. 解: 由已知可得 m 2 ? 2m ? 1 ,n 2 ? 2n ? 1 . 又 (7m 2 ? 14 m ? a)(3n 2 ? 6n ? 7) =8, 所以
(7 ? a)(3 ? 7) ? 8

解得 a=-9 故选 C.

3.解:设点 A 的坐标为(a,a2) ,点 C 的坐标为(c,c2) (|c|<|a|) ,则点 B 的坐标为 (-a,a2) ,由勾股定理,得 AC 2 ? (c ? a) 2 ? (c 2 ? a 2 ) 2 ,
BC 2 ? (c ? a) 2 ? (c 2 ? a 2 ) 2 , AC 2 ? BC 2 ? AB 2

所以 (a 2 ? c 2 ) 2 ? a 2 ? c 2 .由于 a 2 ? c 2 ,所以 a2-c2=1,故斜边 AB 上高 h= a2 -c2=1 故选 B. 4.解:根据题意,用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时,每剪开一次,使得 各部分的内角和增加 360°.于是,剪过 k 次后,可得(k+1)个多边形,这些 多边形的内角和为(k+1)?360°. 因为这(k+1)个多边形中有 34 个六十二边形, 它们的内角和为 34?(62-2)? 180°=34?60?180°,其余多边形有(k+1)-34= k-33(个),而这些多边形 的内角和不少于(k-33) ?180°.所以(k+1)?360°≥34?60?180°+(k -33)?180°,解得 k≥2005. 当我们按如下方式剪 2005 刀时, 可以得到符合条件的结论. 先从正方形上剪下 1 个三角形,得到 1 个三角形和 1 个五边形;再在五边形上剪下 1 个三角形, 得到 2 个三角形和 1 个六边形??如此下去,剪了 58 刀后,得到 58 个三角形 和 1 个六十二边形.再取 33 个三角形,在每个三角形上剪一刀,又可得到 33 个三角形和 33 个四边形,对这 33 个四边形,按上述正方形的剪法,再各剪 58 刀,便 34 个六十二边形和 33?58 个三角形.于是共剪了 58+33+33?58=2005(刀) .故选 B. 5.解:如图,设⊙O 的半径为 r,QO=m,则 QP=m,QC=r+m, D QA=r-m. O Q C

在⊙O 中,根据相交弦定理,得 QA?QC=QP?QD. 即 (r-m)(r+m)=m?QD ,所以

QD=

r 2 ? m2 . m

连结 DO,由勾股定理,得 QD2=DO2+QO2,
? r 2 ? m2 即 ? ? m ? ? 2 2 ? ? ?r ?m , ?
2

解得 m ?

3 r 3

所以,

QC r ? m 3 ?1 ? ? ? 3 ? 2 故选 D. QA r ? m 3 ?1

6.解:由 a ? b ? 2006 , c ? a ? 2005 ,得 a ? b ? c ? a ? 4011 . 因为 a ? b ? 2006 ,a<b,a 为整数,所以,a 的最大值为 1002.于是,a+b+c 的最大值为 5013. 7.解:设正方形 DEFG 的边长为 x,正三角形 ABC 的边长为 m,则 m 2 ?
3 m?x x 由△ADG∽△ABC,可得 ? 2 , m 3 m 2

4 3



解得 x ? (2 3 ? 3)m

于是 x 2 ? (2 3 ? 3) 2 m 2 ? 28 3 ? 48 ,由题意, a ? 28 , b ? 3 , c ? 48 ,所以
a?c 20 ?? . b 3

8.解:设甲走完 x 条边时,甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上,此时甲 走了 400x 米,乙走了 46? 1)>400, 所以,12.5≤x<13.5. 9.解:因为 0< a ? 故 x=13,此时 t ?
400? 13 ? 104 . 50 400x =368x 米.于是 368(x-1)+800-400(x- 50

1? ? 2? 1 2 29 ? ?a? ??? a ? ? 2 ,所以 ?a ? ? ,?a ? ? ,?, 30 ? ? 30 ? 30 30 30 ?

29 ? ? ?a ? 30 ? 等于 0 或 1.由题设知,其中有 18 个等于 1,所以 ? ? 1? ? 2? 11 ? 12 ? ? 13 ? 29 ? ? ? ? ? ?a ? 30 ? ? ?a ? 30 ? ? ? ? ?a ? 30 ? =0, ?a ? 30 ? ? ?a ? 30 ? ? ? ? ?a ? 30 ? =1, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

11 12 <2. ? 1 ,1≤ a ? 30 30 19 故 18≤30a<19,于是 6≤10 a< ,所以 ?10a ?=6. 3

所以 0 ? a ?

10.解:设原来电话号码的六位数为 abcdef ,则经过两次升位后电话号码的八
f 根 据 题 意 , 有 81 ? abcdef = 2a8bcdef . 记 位 数 为 2a8b c d e .

x ? b ? 104 ? c ? 103 ? d ? 102 ? e ? 10 ? f







81? a ? 105 ? 81x ? 208? 105 ? a ? 106 ? x ,解得 x=1250?(208-71a) .

因为 0≤x< 105 ,所以 0≤1250?(208-71a)< 105 ,故

128 208 . ? a≤ 71 71

因为 a 为整数,所以 a=2.于是 x=1250?(208-71?2)=82500.所以,小明家 原来的电话号码为 282500. 11.解: (1) x ? (2)因为 x ?
2 ?1 ? 1 满足条件. 2

b , a ,为互质的正整数,且 a ≤8,所以 a

b ? 3 ?1, a



( 2 ? 1)a ? b ? ( 3 ? 1)a .

当 a=1 时, ( 2 ? 1) ? 1 ? b ? ( 3 ? 1) ? 1 ,这样的正整数 b 不存在.
1 . 2 2 当 a=3 时, ( 2 ? 1) ? 3 ? b ? ( 3 ? 1) ? 3 ,故 b =2,此时 x ? . 3

当 a=2 时, ( 2 ? 1) ? 2 ? b ? ( 3 ? 1) ? 2 ,故 b =1,此时 x ?

当 a=4 时, ( 2 ? 1) ? 4 ? b ? ( 3 ? 1) ? 4 ,与 a 互质的正整数 b 不存在. 当 a=5 时, ( 2 ? 1) ? 5 ? b ? ( 3 ? 1) ? 5 ,故 b =3,此时 x ?
3 . 5

当 a=6 时, ( 2 ? 1) ? 6 ? b ? ( 3 ? 1) ? 6 ,与 a 互质的正整数 b 不存在. 当 a=7 时, ( 2 ? 1) ? 7 ? b ? ( 3 ? 1) ? 7 ,故 b =3,4,5 此时 x ? 当 a=8 时, ( 2 ? 1) ? 8 ? b ? ( 3 ? 1) ? 8 ,故 b =5,此时 x ? 所以,满足条件的所有分数为
1 2 3 3 4 5 5 , , , , , , 2 3 5 7 7 7 8 5 8 3 4 5 , , . 7 7 7

12. 解法一:由①-2?②得 (b ? c) 2 ? 24(a ? 1) ? 0 ,所以 a>-1. 当 a>-1 时, b 2 ? c 2 ? 2a 2 ? 16a ? 14 = 2(a ? 1)(a ? 7) ? 0 . 又当 a ? b 时,由①,②得
c 2 ? a 2 ? 16a ? 14 , ac ? a 2 ? 4a ? 5

③ ④

将④两边平方,结合③得 a 2 (a 2 ? 16a ? 14) ? (a 2 ? 4a ? 5) 2 化简得
24a 3 ? 8a 2 ? 40a ? 25 ? 0 ,



(6a ? 5)(4a 2 ? 2a ? 5) ? 0 ,

1 ? 21 5 5 解得 a ? ? ,或 a ? . 所以, a 的取值范围为 a> - 1 且 a ? ? , 4 6 6 a? 1 ? 21 . 4

解法二:因为 b 2 ? c 2 ? 2a 2 ? 16a ? 14 , bc ? a 2 ? 4a ? 5 ,所以
(b ? c) 2 ? 2a 2 ? 16a ? 14 ? 2(a 2 ? 4a ? 5) ? 4a 2 ? 8a ? 4 ? 4(a ? 1) 2 ,

所以

b ? c ? ?2(a ? 1) . 又 bc ? a 2 ? 4a ? 5 ,所以 b , c 为一元二次方程

x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 4a ? 5 ? 0 ⑤ 的 两 个 不 相 等 实 数 根 , 故 ? ? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 4a ? 5) ? 0 ,所以 a>-1.

当 a>-1 时, b 2 ? c 2 ? 2a 2 ? 16a ? 14 = 2(a ? 1)(a ? 7) ? 0 . 另外,当 a ? b 时,由⑤式有
a 2 ? 2(a ? 1)a ? a 2 ? 4a ? 5 ? 0 ,

即 4a 2 ? 2a ? 5 ? 0 或 ? 6a ? 5 ? 0 ,解得, a ?
1 ? 21 5 当 a ? c 时,同理可得 a ? ? 或 a ? . 4 6

1 ? 21 5 或a ? ? . 4 6

1 ? 21 5 所以,a 的取值范围为 a>-1 且 a ? ? , a ? . 4 6

13.证明:因为 AC∥PB,所以∠KPE=∠ACE.又 PA 是⊙O 的切线, 所以∠KAP=∠ACE,故∠KPE=∠KAP,于是 △KPE∽△KAP, 所以
KP KE ,即 KP 2 ? KE ? KA .由切割线定理得 KB2 ? KE ? KA ? KA KP PE KP ? CE AC PE KB , ? CE AC

所以 KP ? KB . 因为 AC∥PB,△KPE∽△ACE,于是 即 PE?AC=CE?KB. 14.解:设 10 个学生为 S 1 , S 2 ,?, S 10 ,n 个课外小组 G1 , G 2 ,?, G n . 首先,每个学生至少参加两个课外小组.否则,若有一个学生只参加一个课外 小组,设这个学生为 S 1 ,由于每两个学生至少在某一个小组内出现过,所以其 它 9 个学生都与他在同一组出现,于是这一组就有 10 个人了,矛盾. 若有一学生恰好参加两个课外小组,不妨设 S 1 恰好参加 G1 , G 2 ,由题设,对 于这两组, 至少有两个学生, 他们没有参加这两组, 于是他们与 S 1 没有同过组, 矛盾. 所以,每一个学生至少参加三个课外小组.于是 n 个课外小组 G1 ,G 2 ,?,G n 的人数之和不小于 3?10=30. 另一方面,每一课外小组的人数不超过 5,所以 n 个课外小组 G1 ,G 2 ,?,G n 的 人 数 不 超 过 6. 5n , 故 5n ≥ 30 , 所 以 故

n ≥

???????????10 分

下面构造一个例子说明 n=6 是可以的.
G1 ? ?S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 ?, G2 ? ?S1 , S 2 , S 6 , S 7 , S 8 ?, G3 ? ?S1 , S 3 , S 6 , S 9 , S10 ? , G4 ? ?S 2 , S 4 , S 7 , S 9 , S10 ?, G5 ? ?S 3 , S 5 , S 7 , S 8 , S 9 ?, G6 ? ?S 4 , S 5 , S 6 , S 8 , S10 ?.

容易验证,这样的 6 个课外小组满足题设条件.所以,n 的最小值为 6.

2008 年全国初中数学竞赛试题 一、选择题 1、已知实数 x , y 满足

4 2 4 。 ? 2 ? 3 , y 4 ? y 2 ? 3 ,则 4 ? y 4 的值为( ) 4 x x x
C、

A、7

B、

1 ? 13 2
2

7 ? 13 2
2

D、5

[答]A 解:因为 x >0, y ≥0,由已知条件得

1 2 ? 4 ? 4 ? 4 ? 3 1 ? 13 ?1 ? 1 ? 4 ? 3 ?1 ? 13 2 ? ? ? ,y ? , 2 x 4 4 2 2
所以

4 2 2 ? y 4 = 2 ? 3 ? 3 ? y2 ? 2 ? y2 ? 6 ? 7 4 x x x

2、把一枚六个面编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次, 若两个正面朝上的编号分别为 m,n,则二次函数 y ? x ? mx ? n 的图象与 x 轴有两个不
2

同交点的概率是( A、

) 。 C、

5 12

B、

4 9

17 36

D、

1 2 17 36

[答]C 解:基本事件总数有 6?6=36,即可以得到 36 个二次函数,由题意知△=

m2 ? 4n >0,即 m2 ? 4n 通过枚举知,满足条件的 m , n 有 17 对,故 p ?

3、有两个同心圆,大圆周上有 4 个不同的点,小圆周上有 2 个不同的点,则这 6 个点可 以确定的不同直线最少有( ) 。 A、6 条 B、8 条 C、10 条 D、12 条 [答]B 解:如图,大圆周上有 4 个不同的点 D A、B、C、D,两两连线可以确定 6 条不 同的直线;小圆周上的两个点 E、F 中,至 O E 少有一个不是四边形 ABCD 的对角线 AC 与 A C F BD 的交点,则它与 A,B,C,D 的连线中, 至少有两条不同于 A,B,C,D 的两两连线, 从而这 6 个点可以确定的直线不少于 8 条。 B (第 3 题答案图) 当这 6 个点如图所示放置时,恰好可以确定 8 条直线, 所以,满足条件的 6 个点可以确定的直线最少有 8 条。 4、已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦,且 AB= a <1,以 AB 为一边在圆 O 内作正△ ABC,点 D 为圆 O 上不同于点 A 的一点,且 DB=AB= a ,DC 的延长线交圆 O 于点 E, 则 AE 的长为( ) 。

A、

5 a 2

B、1

C、

3 2

D、 a O E C D A B (第 4 题答案图)

[答]B 解:如图,连接 OE,OA,OB,设∠D= a ,则 ∠ECA=120°- a =∠EAC 又因为∠ABO=

1 1 ?ABD ? (60? ? 180? ? 2a) ? 120? ? a 2 2

所以 △ACE≌△ABO,于是 AE=OA=1 5、将 1,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三 个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ) 。 A、2 种 B、3 种 C、4 种 D、5 种 [答]D 解:设 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是 1,2,3,4,5 的一个满足要求的排列, 首先,对于 a1 , a2 , a3 , a4 ,不能有连续的两个都是偶数,否则,这两个之后都是偶数,与 已知条件矛盾。 又如果 a1 (1≤i≤3)是偶数, a1?1 是奇数,则 a1? 2 是奇数,这说明一个偶数后面一定要接 两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数。 所以 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下 5 种情形满足条件: 2,1,3,4,5; 4,3,1,2,5; 二、填空题 2,3,5,4,1; 4,5,3,2,1。 2,5,1,4,3;

6、对于实数 u,v,定义一种运算“ ? ”为:u ? v=uv+v,若关于 x 的方程 x ? (a ? x) ? ? 有两个不同的实数根,则满足条件的实数 a 的取值范围是 [答] a >0,或 a <-1 解:由 x ? (a ? x) ? ? 依题意有 ? 。

1 4

1 1 2 ,得 (a ? 1) x ? (a ? 1) x ? ? 0 , 4 4

?a ? 1 ? 0,
2 ?? ? (a ? 1) ? (a ? 1) ? 0,

解得, a >0,或 a <-1

7、小王沿街匀速行走,发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车,每隔 3 分钟从迎面 驶来一辆 18 路公交车,假设每辆 18 路公交车行驶速度相同,而且 18 路公交车总站每隔 固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟。 [答]4。 解:设 18 路公交车的速度是 x 米/分,小王行走的速度是 y 米/分,同向行驶的 相邻两车的间距为 s 米。 每隔 6 分钟从背后开过一辆 18 路公交车,则 6 x ? 6 y ? s ①

每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车,则 3x ? 3 y ? s 由①,②可得 s ? 4 x ,所以



A 8、如图,在△ABC 中,AB=7,AC=11,点 M 是 BC 的中点,AD 是 F ∠BAC 的平分线,MF∥AD,则 FC 的长为 。 [答]9。解:如图,设点 N 是 AC 的中点,连接 MN, A 则 MN∥AB 又 MF∥AD, B D M F 所以∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN, (第 8 题) N 1 所以 FN=MN= AB, 2 B C D M 1 1 因此 FC=FN+NC= AB+ AC =9。 (第 8 题答案图)

s ?4 x

即 18 路公交车总站发车间隔的时间是 4 分钟。

C

2

2

9、△ABC 中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC 的内切圆圆心 l 作 DE∥BC,分别与 AB、AC 相交于点 D,E,则 DE 的长为 。 [答]

16 3

解:如图,设△ABC 的三边长为 a, b, c , A

内切圆 l 的半径为 r,BC 边上的高为 ha ,则

1 1 aha ? S?ABC ? (a ? b ? c)r ,所以 2 2

r a ? , ha a ? b ? c D
B

ha

I r

E

因为△ADE∽△ABC,所以它们对应线段成比例,

h ? r DE ? , 因此 a ha BC
所以 DE=

(第 9 题答案图)

C

ha ? r r a a(b ? c) 8 ? (7 ? 9) 16 ? a ? (1 ? )a ? (1 ? )a ? 故 DE= ? 。 ha ha a?b?c a?b?c 8?7?9 6
2 2

10、关于 x,y 的方程 x ? y ? 208( x ? y ) 的所有正整数解为 [答] ?



? x ? 48, ? y ? 32,

? x ? 160, ? ? y ? 32

解:因为 208 是 4 的倍数,偶数的平方数除以 4 所得的余数为 0,奇数的平方数除以 4 所 得的余数为 1,所以 x,y 都是偶数。 设: x ? 2a, y ? 2b, 则 a ? b ? 104(a ? b) ,
2 2

同上可知, a, b 都是偶数,设 a ? 2c, b ? 2d ,则 c ? d ? 52(c ? d ) ,
2 2

所以, c, d 都是偶数,设 c ? 2s, d ? 2t ,则 s ? t ? 26( s ? t ) ,
2 2

于是 所以

( s ? 13)2 ? (t ? 13)2 ? 2 ?132 ,其中 s, t 都是偶数。 ( s ? 13)2 ? 2 ?132 ? (t ? 13)2 ? 2 ?132 ? 152 ? 112
2

所以| s -13|可能为 1,3,5,7,9,进而 (t ? 13) 为 337,329,313,289,257,故只能是

? s ? 6, (t ? 13) 2 =289,从而| s -13|=7,于是 ? ?t ? 4;
因此 ?

? s ? 20, ? ?t ? 4,

? s ? 48, ? y ? 32,

? s ? 160, ? ? y ? 32
2

三、解答题 11、已知一次函数 y1 ? 2 x ,二次函数 y2 ? x ? 1 ,是否存在二次函数 y3 ? ax 2 ? bx ? c , 其图象经过点 (-5,2) , 且对于任意实数 x 的同一个值, 这三个函数所对应的函数值 y1 , y2 ,

y3 ,都有 y1 ? y2 ? y3 成立?若存在,求出函数 y3 的解析式;若不存在,请说明理由。
解:存在满足条件的二次函数。 因为 y1 ? y2 ? 2 x ? ( x ? 1) ? ? x ? 2 x ? 1 ? ?( x ? 1) ? 0 ,所以,当自变量 x 取任意实数
2 2 2

时, y1 ? y2 均成立。 由已知,二次函数 y3 ? ax 2 ? bx ? c 的图象经过点(-5,2) ,得 25 a ? 5b ? c ? 2 ①

当 x ? 1 时,有 y1 ? y2 ? 2 , y3 ? a ? b ? c 由于对于自变量 x 取任实数时, y1 ? y3 ? y2 均成立,所以有 2≤ a ? b ? c ≤2, 故

a ?b?c ? 2


2

由①,②,得 b ? 4a , c ? 2 ? 5a ,所以 y3 ? ax ? 4ax ? (2 ? 5a).
2 2

??5 分

当 y1 ? y3 时,有 2 x ? ax ? 4ax ? (2 ? 5a) ,即 ax ? (4a ? 2) x ? (2 ? 5a) ? 0

所以,二次函数 y ? ax ? (4a ? 2) x ? (2 ? 5a) 对于一切实数 x,函数值大于或等于零,故
2

?a ? 0 ? 2 ?(4a ? 2) ? 4a (2 ? 5a ) ? 0
2

即?

? a ? 0, ?(3a ? 1) ? 0,
2

所以 a ?

1 3
2

当 y3 ? y 2 时,有 ax ? 4ax ? (2 ? 5a) ? x ? 1 ,即 (1 ? a) x ? 4ax ? (5a ? 1) ? 0 ,
2

所以,二次函数 y ? (1 ? a) x ? 4ax ? (5a ? 1) 对于一切实数 x,函数值大于或等于零,故
2

?1 ? a ? 0, ? a ? 1, 1 即? 所以 a ? ? 2 2 3 ?(?4a ) ? 4(1 ? a )(5a ? 1) ? 0, ?(3a ? 1) ? 0,

1 4 1 , b ? 4a ? , c ? 2 ? 5a ? 3 3 3 1 2 4 1 所以,存在二次函数 y3 ? x ? x ? ,在实数范围内,对于 x 的同一个值,都有 3 3 3
综上, a ?

y1 ? y3 ? y2 成立。 ?????15 分
12、是否存在质数 p, q ,使得关于 x 的一元二次方程 px ? qx ? p ? 0 有有理数根?
2

解:设方程有有理数根,则判别式为平方数。 令△= q ? 4 p ? n ,其中 n 是一个非负整数,则 (q ? n)(q ? n) ? 4 p ??5 分
2 2 2 2

由于 1 ? q ? m ? q ? n 且 q ? n 与 q ? n 同奇偶,故同为偶数。因此,有如下几种可能情形:

? q ? n ? 2, ? 2 ?q ? n ? 2 p ,

? q ? n ? 4, ? 2 ?q ? n ? p ,
2

? q ? n ? p, ? ? q ? n ? 4 p,

? q ? n ? 2 p, ? ? q ? n ? 2 p,

?q ? n ? p 2 , ? ? q ? n ? 4.

消去 n,解得 q ? p ? 1 , q ? 2 ?

p2 p2 5p ,q ? , q ? 2p ,q ? 2 ? ??10 分 2 2 2

对于第 1,3 种情形, p ? 2 ,从而 q ? 5 ;对于第 2,5 种情形, p ? 2 ,从而 q ? 4 (不合 题意,舍去) ;对于第 4 种情形, q 是合数(不合题意,舍去) 。 又当 p ? 2, q ? 5 时,方程为 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,它的根为 x1 ?
2

1 , x2 ? 2 ,它们都是有理 2

数。 综上有述,存在满足题设的质数。 ???15 分 13、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的△ ABC?证明你的结论。 解:存在满足条件的三角形。

当△ABC 的三边长分别为 a ? 6, b ? 4, c ? 5 时,∠A=2∠B, 如图,当∠A=2∠B 时,延长 BA 至点 D,使 AD=AC=b,连接 CD,则△ACD 为等腰三角形。 因为∠BAC 为△ACD 的一个外角,所以 ∠BAC=2∠D,由已知,∠BAC=2∠B,所以 ∠B=∠D,所以△CBD 为等腰三角形。 又∠D 为△ACD 与△CBD 的一个公共角, 有△ACD∽△CBD,于是

C

AD CD ,即 ? CD BD
2

b a 2 ,所以 a ? b(b ? c). ? a b?c

D

B A (第 13 题答案图)

而 6 ? 4 ? (4 ? 5), 所以此三角形满足题设条件,故存在满足条件的三角形。 说明:满足条件的三角形是唯一的。 若∠A=2∠B,可得 a ? b(b ? c) ,有如下三种情形;
2

(i)当 a ? c ? b 时,设 a ? n ? 1, c ? n, b ? n ? 1( n 为大于 1 的正整数) , 代入 a ? b(b ? c) ,得 (n ? 1) ? (n ? 1)(2n ? 1) ,解得 n ? 5 ,有 a ? 6, b ? 4, c ? 5 ;
2 2

(ii)当 c ? a ? b 时,设 c ? n ? 1, a ? n, b ? n ? 1( n 为大于 1 的正整数) , 代入 a ? b(b ? c) ,得 n ? (n ? 1) ? 2n ,解得 n ? 2 ,有 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,此时不能构
2 2

成三角形; (iii)当 a ? b ? c 时,设 a ? n ? 1, b ? n, c ? n ? 1( n 为大于 1 的正整数) , 代入 a ? b(b ? c) ,得 (n ? 1) ? n(2n ? 1) ,即 n ? 3n ? 1 ? 0 ,此方程无整数解。
2 2

2

所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的 2 倍的三角形存 在,而且只有三边长分别为 4,5,6 构成的三角形满足条件。 14、已知有 6 个互不相同的正整数 a1 , a2 ,? , a6 ,且 a1 ? a2 ??? a6 ,从这 6 个数中任意 取出 3 个数,分别设为 ai , a j , ak ,其中 i ? j ? k ,记 f (i, j , k ) ?

1 2 3 ? ? 。 ai a j ak

证明:一定存在 3 个不同的数组 (i, j , k ) ,其中 1 ? i ? j ? k ? 6 ,使得对应着的 3 个

f (i, j, k ) 两两之差的绝对值都小于 0.5。

证明:在 6 个正整数中任意取出 3 个数共有 20 种取法,从而确定了 20 个数组 (i, j , k ) , 由于 0 ? f (i, j , k ) ?

1 2 3 1 2 3 13 ? ? ? ? ? ? ai a j ak 3 2 1 3

????5 分

13 分成如下 9 个部分; 3 1 1 3 3 5 5 0 ? x ? , ? x ? 1 ,1 ? x ? , ? x ? 2 , 2 ? x ? , ? x ? 3 , 2 2 2 2 2 2 7 7 13 3? x ? , ? x ? 4,4 ? x ? 2 2 3
把数轴上的点 0 到点 由于 20=9?2+2, 由抽屉原则知, 在上述 9 个部分中, 一定有一个至少含有 3 个 f (i, j, k ) , 从而,这 3 个 f (i, j, k ) 两两之差的绝对值都小于 0.5。

2009 年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分. 以下每道小题均给出了代 号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选 项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分) 1. 已知非零实数 a, b 满足 2a ? 4 ? b ? 2 ? ( a ? 3)b 2 ? 4 ? 2a , 则a?b等 于( ) . (A)-1 【答】C. 解:由题设知 a ≥ 3 ,所以,题设的等式为 b ? 2 ? (a ? 3)b 2 ? 0 ,于是
a ? 3,b ? ?2 ,从而 a ? b =1.

(B)0

(C)1

(D)2

2.如图,菱形 ABCD 的边长为 a,点 O 是对角线 AC 上的一点, 且 OA=a,OB=OC=OD=1,则 a 等于( (A)
5 ?1 2

) . (C)1 (D)2
(第 2 题)

(B)

5 ?1 2

【答】A. 解:因为△BOC ∽ △ABC,所以
1 a , ? a a ?1 BO BC ,即 ? AB AC

所以, 由 a ? 0 ,解得 a ?

a2 ? a ?1 ? 0 .
1? 5 . 2

3.将一枚六个面编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子 先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为 a ,第二次掷出的点数为 b ,则使关于 x,

?ax ? by ? 3, y 的方程组 ? 只有正数解的概率为( ?x ? 2 y ? 2

) . (D)
13 36

(A)

1 12

(B)

2 9

(C )

5 18

【答】D. 解:当 2a ? b ? 0 时,方程组无解.
6 ? 2b ? x? , ? ? 2a ? b 当 2a ? b ? 0 时,方程组的解为 ? ? y ? 2a ? 3 . ? 2a ? b ?
?2a ? b ? 0, ?2a ? b ? 0, ? 6 ? 2b ? 0 , ? ? ? 3 3 ? ? ? 2a ? b 由已知,得 ? 即 ?a ? , 或 ?a ? , 2 2 ? ? 2a ? 3 ? 0, ? ? 2a ? b ? ? ? ?b ? 3, ?b ? 3.

由 a , b 的实际意义为 1,2,3,4,5,6,可得
3, 4, 5, 6, ?a ? 2, ? a ? 1, 共有 5?2=10 种情况;或 ? 共 3 种情况. ? 2, 5, 6, ?b ? 1, ?b ? 4,

又掷两次骰子出现的基本事件共 6?6=36 种情况,故所求的概率为 4.如图 1 所示,在直角梯形 ABCD 中,AB∥DC, ?B ? 90? . 点

13 . 36

动点 P 从

B 出发,沿梯形的边由 B→C→D→A 运动. 设点 P 运动的路程为 x,△ABP 的 面积为 y. 把 y 看作 x 的函数, 函数的图象如图 2 所示, 则△ABC 的面积为 ( (A)10 (B)16 (C)18 (D)32 ) .

图1

图2
(第 4 题)

【答】B.

解:根据图像可得 BC=4,CD=5,DA=5,进而求得 AB=8,故
1 S△ABC= × 8× 4=16. 2

5.关于 x,y 的方程 x 2 ? xy ? 2 y 2 ? 29 的整数解(x,y)的组数为( (A)2 组 【答】C. 解:可将原方程视为关于 x 的二次方程,将其变形为
x 2 ? yx ? (2 y 2 ? 29) ? 0 .

) .

(B)3 组

(C)4 组

(D)无穷多组

由于该方程有整数根,则判别式 ? ≥ 0 ,且是完全平方数. 由 解得
y2 ≤ y2
2 ? ?y2 ? 4 ( 2y 2 ? 2 9 )? ?y7

?≥ 11 , 06

116 ? 16.57 .于是 7

0 116

1 109

4 88

9 53

16 4

?

显然,只有 y 2 ? 16 时, ? ? 4 是完全平方数,符合要求. 当 y ? 4 时,原方程为 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,此时 x1 ? ?1, x2 ? ?3 ; 当 y=-4 时,原方程为 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,此时 x3 ? 1, x4 ? 3 . 所以,原方程的整数解为
? x1 ? ?1, ? ? y1 ? 4; ? x2 ? ?3, ? ? y2 ? 4; ? x3 ? 1, ? ? y3 ? ?4; ? x4 ? 3, ? ? y4 ? ?4.

二、填空题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶 5000 km 后报废; 若把它安装在后轮,则自行车行驶 3000 km 后报废,行驶一定路程后可以交换 前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废, 那么这辆车将能行驶 km .

【答】3750. 解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k,则安装在前轮的轮胎每行驶 1 km 磨损量为
k k ,安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为 .又设一对新轮 5000 3000

胎交换位置前走了 x km,交换位置后走了 y km.分别以一个轮胎的总磨损量为 等量关系列方程,有
ky ? kx ? ? k, ? ? 5000 3000 ? ? ky ? kx ? k , ? ? 5000 3000

两式相加,得 则

k ( x? y ) k( ? x ) y ? ? 2k , 5000 3000 2 x? y ? ? 3750 . 1 1 ? 5000 3000

7.已知线段 AB 的中点为 C,以点 A 为圆心,AB 的长为半径作圆,在线 段 AB 的延长线上取点 D,使得 BD=AC;再以点 D 为圆心,DA 的长为半径作 圆, 与⊙A 分别相交于 F, G 两点, 连接 FG 交 AB 于点 H, 则

AH 的值为 AB



解:如图,延长 AD 与⊙D 交于点 E,连接 AF,EF . 由题设知 AC ?
1 1 AD , AB ? AE ,在△FHA 和△EFA 中, 3 3

?EFA ? ?FHA ? 90? , ?FAH ? ?EAF

所以

Rt△FHA∽Rt△EFA,

AH AF ? . AF AE
而 AF ? AB ,所以

AH 1 ? . AB 3

(第 7 题)

8.已知 a1,a2,a3,a4,a5 是满足条件 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 9 的五个不同的

整数,若 b 是关于 x 的方程 ? x ? a1 ?? x ? a2 ?? x ? a3 ?? x ? a4 ?? x ? a5 ? ? 2009 的整数 根,则 b 的值为 【答】 10.
a2 , a3 , a4 a , 解: 因为 ? b ? a1 ?? b ? a2 ?? b ? a3 ?? b ? a4 ?? b ? a5 ? ? 2009 , 且 a1, 5



是五个不同的整数,所有 b ? a1,b ? a2,b ? a3,b ? a4,b ? a5 也是五个不同的整 数. 又因为 2009 ? 1? ? ?1? ? 7 ? ? ?7 ? ? 41 ,所以
b ? a1 ? b ? a2 ? b ? a3 ? b ? a4 ? b ? a5 ? 41 .

由 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 9 ,可得 b ? 10 . 9.如图,在△ABC 中,CD 是高,CE 为 ?ACB 的平分线.若 AC=15,BC =20,CD=12,则 CE 的长等于 【答】
60 2 . 7


解:如图,由勾股定理知 AD=9,BD=16,所以 AB=AD+BD=25 . 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形,且 ?ACB ? 90? .
1 作 EF⊥BC,垂足为 F.设 EF=x,由 ?ECF ? ?ACB ? 45? ,得 CF=x, 2

于是 BF=20-x.由于 EF∥AC,所以
EF BF , ? AC BC x 20 ? x , ? 15 20
60 2 60 .所以 CE ? 2 x ? . 7 7
(第 9 题)

即 解得 x ?

10.10 个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是: 每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告

(第 10 题)

诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出 来.若报出来的数如图所示,则报 3 的人心里想的数是 【答】 ?2 . 解:设报 3 的人心里想的数是 x ,则报 5 的人心里想的数应是 8 ? x . 于是报 7 的人心里想的数是 12 ? (8 ? x) ? 4 ? x ,报 9 的人心里想的数是 报 1 的人心里想的数是 20 ? (12 ? x) ? 8 ? x ,报 3 的人心里 16 ? (4 ? x) ? 12 ? x , 想的数是 4 ? (8 ? x) ? ?4 ? x .所以
x ? ?4 ? x ,



解得 x ? ?2 . 三、解答题(共 4 题,每题 20 分,共 80 分) 11.函数 y ? x 2 ? (2k ? 1) x ? k 2 的图象与 x 轴的两个交点是否都在直线 x ? 1 的右侧?若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线 x ? 1 的右 侧时 k 的取值范围. 解:不一定,例如,当 k=0 时,函数的图象与 x 轴的交点为(0,0)和 (1,0) ,不都在直线 x ? 1 的右侧. 分 设函数与 x 轴的两交点的横坐标为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ?(2k ? 1), x1 x2 ? k 2 , 当 且仅当满足如下条件
? ?≥0, ? ?( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? 0, ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? 1 2

??????5

??????10

分 时,抛物线与 x 轴的两交点都在直线 x ? 1 的右侧.



?(2k ? 1) 2 ? 4k 2≥0, ? ??2k ? 1 ? 0, ?k 2 ? 2k ? 0, ?
1 ? ? k≤ 4 , ? 1 ? ?k ? ? , 2 ? ? k ? ?2 或 k ? 0 . ? ?

解之,得

??????15

分 所以当 k ? ?2 时,抛物线与 x 轴的两交点在直线 x ? 1 的右侧. ? ? ? ? ? ? 20 分 12.在平面直角坐标系 xOy 中,我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方 数的点称为“好点” ,求二次函数 y ? ( x ? 90)2 ? 4907 的图象上所有“好点”的 坐标. 解:设 y ? m 2 , ( x ? 90)2 ? k 2 ,m,k 都是非负整数,则
k 2 ? m2 ? 7 ? 701 ? 1? 4907 ,

即 则有

(k ? m) (k? m)? 7? 7 0 ? 1 ? 1 . 4907
?k ? m ?7 0 1 , ? k ? m ? 4 9 0 7 , ? ? ? m ? 1. ?k ? m? 7 ; ? k
?k1 ? 354, ? ?m1 ? 347; ?k2 ? 2454, ? ?m2 ? 2453.

?????10 分

解得

所以

, x3 ? 2 5 4 4 , ? x1 ? 4 4 4 , ? x2 ? ? 2 6 4 ? ? x4 ? ? 2 3 6 4 , ? ? ? ? 1 2 0? 40 y39? ; 6 0? 1y 7 ?0 9 ; 6017209. ? y1 ? 1 2 0 4 0 9 ?;y2 ? 42

故“好点”共有 4 个,它们的坐标是:

(444, 120409),(? 264, 120409),(2544, 6017209),(? 2364, 6017209).

? ? ? ? ? ? 20 分 13.如图,给定锐角三角形 ABC, BC ? CA ,AD,BE 是它的两条高,过 点 C 作△ABC 的外接圆的切线 l ,过点 D,E 分别作 l 的垂线,垂足分别为 F, G.试比较线段 DF 和 EG 的大小,并证明你的结论. 解法 1:结论是 DF ? EG .下面给出证明.
CD . AB CE . EG ? AD ? AB DF ? BE ?

??????5 分

因为 ?FCD ? ?EAB ,所以 Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得

同理可得

??????10 分

AD BE 又因为 tan ?ACB ? ,所以有 BE ? CD ? AD ? CE ,于是可得 ? CD CE

(第 13 题)

DF ? EG .

??????20

分 解法 2:结论是 DF ? EG .下面给出证明. ?????? 5 分 连接 DE,因为 ?ADB ? ?AEB ? 90? ,所以 A,B,D,E 四点共圆,故
?CED ? ?ABC .
(第 13 题)

?????? 10

分 又 l 是⊙O 的过点 C 的切线,所以 ?ACG ? ?ABC . 分 所以, ?CED ? ?ACG ,于是 DE∥FG,故 DF=EG. ??????20 分
?,an 满足如下条件: 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2009 ; 14.n 个正整数 a1,a2,

??????15

?,an 中任意 n-1 个不同的数的算术平均数都是正整数. 且 a1,a2, 求 n 的最大

值.
?,an 中去掉 ai 后剩下的 n-1 个数的算术平均数为正整数 bi , 解: 设 a1,a2,

i ?1 , 2, ?,n .即 bi ?

(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? ai . n ?1

于是,对于任意的 1≤ i ? j ≤n,都有
bi ? b j ? a j ? ai n ?1

, ??????5

从而 分 由于 b1 ? bn ?

n ? 1 ( a j ? ai ) .

an ? a1 2008 是正整数,故 ? n ?1 n ?1
3 n ?1 2 ? 2 5. 1

??????10

分 由于
an ? 1 ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? ? ? a2 ? a1 ?

≥ ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? ? ? n ? 1? ? (n ? 1) 2 , 所以, (n ? 1)2 ≤2008,于是 n ≤45. 结合 n ? 1 23 ? 251,所以,n ≤9. 分 另一方面,令 a1 ? 8 ? 0 ? 1, a2 ? 8 ?1 ? 1, a3 ? 8 ? 2 ? 1,?, a8 ? 8 ? 7 ? 1 ,
a9 ? 8 ? 251 ? 1,则这 9 个数满足题设要求.

??????15

综上所述,n 的最大值为 9. 分

??????20

2010 年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分.其中有且只有一个选项是正确 的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分)
a b a?b 的值为( ) . ? 20, ? 10 ,则 b c b?c 11 21 110 210 (A) ( B) (C) ( D) 21 21 11 11 a ?1 a?b b 20 ? 1 210 解: D 由题设得 . ? ? ? b ? c 1? c 1? 1 11 b 10 1 2.若实数 a,b 满足 a ? ab ? b 2 ? 2 ? 0 ,则 a 的取值范围是 ( ) . 2 (A)a≤ ?2 (B)a≥4 (C)a≤ ?2 或 a≥4 (D) ?2 ≤a≤4 解.C 1 因为 b 是实数,所以关于 b 的一元二次方程 b 2 ? ab ? a ? 2 ? 0 2 1 的判别式 ?=(?a)2 ? 4 ?1? ( a ? 2) ≥0,解得 a≤ ?2 或 a≥4. 2

1.若

3. 如图, 在四边形 ABCD 中, ∠B=135° , ∠C=120° , AB= 2 3 , BC= 4 ? 2 2 , CD= 4 2 ,则 AD 边的长为( (A) 2 6 (C) 4 ? 6 解:D 如图,过点 A,D 分别作 AE,DF 垂直于直线 BC, 垂足分别为 E,F. 由已知可得 BE=AE= 6 ,CF= 2 2 ,DF=2 6 ,
(第 3 题)

) .

( B) 4 6 (D) 2 ? 2 6
(第 3 题)

于是 EF=4+ 6 .

过点 A 作 AG⊥DF,垂足为 G.在 Rt△ADG 中,根据勾股定理得 AD ? (4 ? 6) 2 ? ( 6) 2 ? (2 ? 24) 2 = 2 ? 2 6 .
? ? k ? 1? ? k ? 2 ? ? 4. 在一列数 x1,x2,x3, ??中, 已知 x1 ? 1 , 且当 k≥2 时, xk ? xk ?1 ? 1 ? 4 ? ? ??? ?? ?? 4 ? ? 4 ??

(取整符号 ? a ? 表示不超过实数 a 的最大整数,例如 ? 2.6? ? 2 , ? 0.2? ? 0 ) ,则 x2010 等于 ( ) .

(A) 1 解:B

(B) 2

(C) 3

(D) 4

? ? k ? 1? ? k ? 2 ? ? 由 x1 ? 1 和 xk ? xk ?1 ? 1 ? 4 ? ? ??? ? ? 可得 ?? 4 ? ? 4 ??
x1 ? 1 , x2 ? 2 , x3 ? 3 , x4 ? 4 ,
x5 ? 1 , x6 ? 2 , x7 ? 3 , x8 ? 4 ,

?? 因为 2010=4× 502+2,所以 x2010 =2.
5.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(1,1) ,B(2, -1) ,C(-2,-1) ,D(-1,1) .y 轴上一点 P(0,2)绕点 A 旋转 180° 得点 P1,点 P1 绕点 B 旋转 180° 得点 P2,点 P2 绕点 C 旋转 180° 得点 P3,点 P3 绕点 D 旋转 180° 得点 P4,??,重复操作依次得到点 P1, P2,?, 则点 P2010 的坐标是( ) .

(A) (2010,2) (B) (2010, ?2 ) (C) (2012, ?2 ) (D) (0,2)
(第 5 题)

解:B 由已知可以得到,点 P1 , P2 的坐标分别为(2,0) , (2, ?2 ) .
( b2 ) ,其中 a2 ? 2, b2 ? ?2 . 记P 2 a2,

根据对称关系,依次可以求得:

P3 (?4 ? a2,-2-b2 ) , P4 (2 ? a2 , 4 ? b2 ) , P5 (?a2 , ? 2 ? b2 ) , P6 (4 ? a2 , b2 ) .

令 P6 (a6 , b2 ) , 同 样 可 以 求 得 , 点 P ,即 P 10 的 坐 标 为 ( 4 ? a6 , b2 ) 10 ( 4 ? 2 ? a2 , b2 ) , 由于 2010=4 ? 502+2,所以点 P2010 的坐标为(2010, ?2 ) . 二、填空题
6.已知 a= 5 -1,则 2a3+7a2-2a-12 的值等于 .

解:0 由已知得 (a+1)2=5,所以 a2+2a=4,于是 2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.
7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一 时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了 10 分钟,小轿车 追上了货车;又过了 5 分钟,小轿车追上了客车;再过 t 分钟,货车追上了客车,则 t = .

解:15 设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为 S 千米,小轿车、货车、 客车的速度分别为 a,b,c (千米/分) ,并设货车经 x 分钟追上客车,由题意得
10 ? a ? b ? ? S , 15 ? a ? c ? ? 2S ,

① ②
x ? b? c S ?? .



由①②, 得 30 所以, x=30. (b ? c) ?S,

故 t ? 30 ?10 ? 5 ? 15(分) .

8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O(0,0) ,A (0,6) ,B(4,6) ,C(4,4) ,D(6,4) ,E(6,0) .若直线 l 经过点 M(2,3) , 且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分,则直线 l 的函数表达式是 .

(第 8 题

1 11 解: y ? ? x+ 3 3

(第 8 题)

如图,延长 BC 交 x 轴于点 F;连接 OB,AF ;连接 CE,DF,且相交于点 N. 由已知得点 M(2,3)是 OB,AF 的中点,即点 M 为矩形 ABFO 的中心, 所以直线 l 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分.又因为点 N(5,2)是矩形 CDEF 的中心,所以, 过点 N(5,2)的直线把矩形 CDEF 分成面积相等的两部分. 于是,直线 MN 即为所求的直线 l .
?2k +b ? 3, 设直线 l 的函数表达式为 y ? kx ? b ,则 ? ?5k ? b ? 2,

1 ? k ?? , ? 1 11 ? 3 解得 ? ,故所求直线 l 的函数表达式为 y ? ? x+ . 3 3 ?b ? 11 . ? 3 ?
9.如图,射线 AM,BN 都垂直于线段 AB,点 E 为 AM 上一点,过点 A 作 BE 的垂线 AC 分别交 BE,BN 于点 F,C,过点 C 作 AM 的垂线 CD,垂足为 D.若 CD=CF,则

AE ? AD
5 ?1 2



解:

见题图,设 FC ? m, AF ? n . 因为 Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 AB2 ? AF ? AC .

(第 9 题)

又因为 FC=DC=AB,所以 m2 ? n(n ? m), 即 解得
n 5 ?1 n ? 5 ?1 ,或 ? (舍去) . ? m 2 m 2

(

n 2 n )? ? 1 ? , 0 m m

又 Rt△ AFE ∽Rt△ CFB , 所以

AE AE AF n ? ? ? ? AD BC FC m

5 ?1 5 ?1 AE , 即 = . 2 2 AD

10.对于 i=2,3,?,k,正整数 n 除以 i 所得的余数为 i-1.若 n 的最小值 n 0 满足

2000 ? n 0 ? 3000 ,则正整数 k 的最小值为
解: 9



因为 n ? 1为 2,, 3 ?,k 的倍数,所以 n 的最小值 n0 满足

n0 ? 1 ? ? 2,, 3 ?,k ? , 3 ?,k ? 表示 2,, 其中 ? 2,, 3 ?,k 的最小公倍数. 3 ?, 8? ? 840, 3 ?, 9? ? 2520, 由于 ? 2,, ? 2,, 3 ?, 10? ? 2520, 3 ?, 11? ? 27720 , ? 2,, ? 2,,
因此满足 2000 ? n0 ? 3000 的正整数 k 的最小值为 9 .

三、解答题(共 4 题,每题 20 分,共 80 分)
11.如图,△ABC 为等腰三角形,AP 是底边 BC 上的高,点 D 是线段 PC 上的一点, BE 和 CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径,连接 EF. 求证: tan ?PAD ?

EF . BC

(第 11 题)

证明:如图,连接 ED,FD. 因为 BE 和 CF 都 是直径,所以 ED⊥BC, FD⊥BC, ????(5 分)

因此 D,E,F 三点共线. 连接 AE,AF,则

?AEF ? ?ABC ? ?ACB ? ?AFD ,

所以,△ABC∽△AEF.

????(10 分)
EF AH , ? BC AP EF PD , ? BC AP PD EF . tan ?PAD ? ? AP BC

(第 11 题)

作 AH⊥EF,垂足为 H,则 AH=PD. 由△ABC∽△AEF 可得

从而 所以

???? (20 分)

12.如图,抛物线 y ? ax ? bx (a ? 0)与双曲线 y ?
2

k 相交于点 A,B. 已知点 A 的坐标 x

为(1,4) ,点 B 在第三象限内,且△AOB 的面积为 3(O 为坐 标原点). (1)求实数 a,b,k 的值; (2)过抛物线上点 A 作直线 AC∥x 轴,交抛物线于另一 点 C,求所有满足△EOC∽△AOB 的点 E 的坐标.

k (第 12 题) 上, x 4 所以 k=4. 故双曲线的函数表达式为 y ? . x 4 设点 B(t, ) , t ? 0 ,AB 所在直线的函数表达式为 y ? mx ? n ,则有 t
解: (1)因为点 A(1,4)在双曲线 y ?

?4 ? m ? n, ? ?4 ? mt ? n, ? ?t

解得 m ? ?

4 4(t ? 1) ,n ? . t t
? ? 4(t ? 1) ? ? ,故 t ?

于是,直线 AB 与 y 轴的交点坐标为 ? 0,

1 ( 4 t ?1 ) S?AOB ? ? ?1 ? t ? ? 3 ,整理得 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , 2 t 1 解得 t ? ?2 ,或 t= (舍去) .所以点 B 的坐标为( ?2 , ?2 ) . 2
因为点 A,B 都在抛物线 y ? ax ? bx (a ? 0)上,所以
2

?a ? b ? 4, ?a ? 1, 解得 ? ????(10 分) ? ?b ? 3. ?4a ? 2b ? ?2,
(2)如图,因为 AC∥x 轴,所以 C( ?4 ,4) ,于是 CO =4 2 . 又 BO=2 2 ,所以
2

CO ? 2. BO

设抛物线 y ? ax ? bx (a ? 0) 与 x 轴负半轴相交于点 D, 则点 D 的坐标为( ?3 ,0). 因为∠COD=∠BOD= 45? ,所以∠COB= 90? . (i)将△ BOA 绕点 O 顺时针旋转 90? ,得到△ B?OA1 .这时,点 B? ( ?2 ,2)是 CO 的 中点,点 A1 的坐标为(4, ?1 ). 延长 OA1 到点 E1 ,使得 OE1 = 2OA1 ,这时点 E1 (8, ?2 )是符合条件的点. (ii)作△ BOA 关于 x 轴的对称图形△ B?OA2 ,得到点 A2 (1, ?4 ) ;延长 OA2 到点
(第 12 题)

E2 ,使得 OE2 = 2OA2 ,这时点 E2(2, ?8 )是符合条件的点.
所以,点 E 的坐标是(8, ?2 ) ,或(2, ?8 ). ????(20 分)

13.求满足 2 p 2 ? p ? 8 ? m2 ? 2m 的所有素数 p 和正整数 m.
.解:由题设得 p(2 p ? 1) ? (m ? 4)(m ? 2) ,
所以 p (m ? 4)(m ? 2) ,由于 p 是素数,故 p (m ? 4) ,或 p (m ? 2) . ??(5 分)

(1)若 p (m ? 4) ,令 m ? 4 ? kp ,k 是正整数,于是 m ? 2 ? kp ,

3 p 2 ? p(2 p ? 1) ? (m ? 4)(m ? 2) ? k 2 p 2 ,
故 k ? 3 ,从而 k ? 1 .
2

所以 ?

?m ? 4 ? p, ? p ? 5, 解得 ? ?m ? 2 ? 2 p ? 1, ? m ? 9.

????(10 分)

(2)若 p (m ? 2) ,令 m ? 2 ? kp ,k 是正整数. 当 p ? 5 时,有 m ? 4 ? kp ? 6 ? kp ? p ? p(k ? 1) ,

3 p 2 ? p(2 p ? 1) ? (m ? 4)(m ? 2) ? k (k ? 1) p 2 ,
故 k (k ? 1) ? 3 ,从而 k ? 1 ,或 2. 由于 p(2 p ? 1) ? ( m ? 4)( m ? 2) 是奇数,所以 k ? 2 ,从而 k ? 1 .

于是 ? 这不可能.

?m ? 4 ? 2 p ? 1, ?m ? 2 ? p,

当 p ? 5 时, m ? 2m ? 63 , m ? 9 ;当 p ? 3 , m ? 2m ? 29 ,无正整数解;
2 2

当 p ? 2 时, m2 ? 2m ? 18 ,无正整数解.
综上所述,所求素数 p=5,正整数 m=9.

????(20 分)

14.从 1,2,?,2010 这 2010 个正整数中,最多可以取出多少个 数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被 33 整除?
解:首先,如下 61 个数:11,11 ? 33 ,11 ? 2 ? 33 ,?,11 ? 60 ? 33 (即 1991)满足题 设条件. ????(5 分)

另一方面,设 a1 ? a2 ? ? ? an 是从 1,2,?,2010 中取出的满足题设条件的数,对 于这 n 个数中的任意 4 个数 ai,a j,ak,am ,因为

33 (ai ? ak ? am ) ,
所以

33 ( a j ? ak ? am ) ,

33 ( a j ? ai ) .
????(10 分)

因此,所取的数中任意两数之差都是 33 的倍数. 设 ai ? a1 ? 33di ,i=1,2,3,?,n. 由 33 (a1 ? a2 ? a3 ) ,得 33 (3a1 ? 33d 2 ? 33d3 ) , 所以 33 3a1 , 11 a1 ,即 a1 ≥11.

????(15 分)

dn ?
故 d n ≤60. 所以,n≤61. 综上所述,n 的最大值为 61.

an ? a1 2010 ? 11 ≤ ? 61 , 33 33

????(20 分)

2011 年全国初中数学竞赛试题
一、选择题 1、设 x ?
5 ?3 ,则代数式 x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) 的值为( 2

C



A.0

B.1

C.-1

D.2

2、 对于任意实数 a , b , c , d , 定义有序实数对 (a , b) 与 (c , d ) 之间的运算“△”为:
(a , b)?(c , d ) ? (ac ? bd , ad ? bc) 。如果对于任意实数 u , v ,都有 (u , v)?( x , y) ? (u , v) ,那么 ( x , y) 为(

B ) 。 C. (?1 , 0) D. (0 , ? 1)

A. (0 , 1)

B. (1, 0)

5 3 3、已知 A , B 是两个锐角,且满足 sin 2 A ? cos 2 B ? t , cos 2 A ? sin 2 B ? t 2 , 4 4

则实数 t 所有可能值的和为( A. ?
8 3

C
5 3

) C.1 D.
11 3

B. ?

4、如图,点 D , E 分别在△ABC 的边 AB,AC 上,BE,CD 相交于点 F,设
S四边形EADF=S1 , S?BDF=S2 , S?BCF=S3 , S?CEF=S4 ,则 S1S3 与 S2S4 的大小关系为
A



C

) A. S1S3 < S2S4 B. S1S3 = S2S4 C. S1S3 > S2S4 D.不能确定
B D F E C

1 1 1 1 5、设 S= 3 + 3 + 3 +?+ ,则 4S 的整数部分等于( 1 2 3 20113

A



A.4 二、填空题

B.5

C.6

D.7

6、两条直角边长分别是整数 a , b (其中 b ? 2011) ,斜边长是 b ? 1 的直角三角 形的个数为__31__。 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1,2,2,3,3,4;

另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1,3,4,5,6,8。同 时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为 5 的概率是____。 8、如图,双曲线 y ?
2 ( x ? 0) 与矩形 OABC 的边 CB, y x
3 2
C E B F

1 9

BA 分别交于点 E,F 且 AF=BF,连接 EF,则△OEF 的面积为_____;

9、 ⊙ O 的三个不同的内接正三角形将⊙ O 分成的区域 的个数为_____。28 ___。5 三、解答题 11、已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? cx ? a ? 0 的两个整数根恰好比方程
x 2 ? ax ? b ? 0 的两个根都大 1,求 a ? b ? c 的值。
O A x

10、设四位数 abcd 满足 a3 ? b3 ? c3 ? d 3 ? 1 ? 10c ? d ,则这样的四位数的个数为

解:设方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两个根为α 、β ,其中α 、β 为整数,且α ≤β 则方程 x 2 ? cx ? a ? 0 的两个整数根为α +1、β +1, 由根与系数关系得:α +β =-a,(α +1)(β +1)=a 两式相加得:α β +2α +2β +1=0 即(α +2)(β +2)=3
?? ? 2 ? 1 ?? ? 2 ? ?3 ∴? 或? ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? ?1
?? ? ?1 ?? ? ?5 解得: ? 或? ?? ? 1 ? ? ? ?3

又∵a=-(α +β ),b=α β ,c=-[(α +1)+(β +1)] ∴a=0,b=-1,c=-2 或 a=8,b=15,c=6 故 a ? b ? c =-3 或 a ? b ? c =29 12、如图,点 H 为△ABC 的垂心,以 AB 为直径的⊙ O1 和△BCH 的外接 圆⊙ O2 相交于点 D,延长 AD 交 CH 于点 P,求证:点 P 为 CH 的中点。 证明:如图,延长 AP 交⊙ O2 于点 Q 连结 AH,BD,QC,QH ∵AB 为直径 ∴∠ADB=∠BDQ=900 ∴BQ 为⊙ O2 的直径 于是 CQ⊥BC,BH⊥HQ ∵点 H 为△ABC 的垂心 ∴AH⊥BC,BH⊥AC
B A

O1

H

D P C

O2

Q

∴AH∥CQ,AC∥HQ,四边形 ACHQ 为平行四边形 则点 P 为 CH 的中点。

13、若从 1,2,3,…, n 中任取 5 个两两互素的不同的整数 a1 , a2 , a3 ,
a4 , a5 ,其中总有一个整数是素数,求 n 的最大值。

解:若 n≥49,取整数 1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同 的整数,但没有一个整数是素数,∴n≤48,在 1,2,3,┉┉,48 中任 取 5 个两两互素的不同的整数 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , 若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 都不是素数,则 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中至少有四 个数是合数,不妨假设 a1 , a2 , a3 , a4 为合数, 设 a1 , a2 , a3 , a4 的最小的素因数分别为 p1,p2,p3,p4 由于 a1 , a2 , a3 , a4 两两互素,∴p1,p2,p3,p4 两两不同 设 p 是 p1,p2,p3,p4 中的最大数,则 p≥7 因为 a1 , a2 , a3 , a4 为合数,所以 a1 , a2 , a3 , a4 中一定存在一个 aj≥p2≥72=49,与 n≥49 矛盾,于是 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中一定有一个是 素数 综上所述,正整数 n 的最大值为 48。 14、 如图, △ABC 中, ∠BAC=60° , AB=2AC。 点 P 在△ABC 内, 且 PA= 3 , PB=5,PC=2,求△ABC 的面积。 解:如图,作△ABQ,使得:∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP, 则△ABQ∽△ ACP,由于 AB=2AC,∴相似比为 2 于是,AQ=2 AP=2 3 ,BQ=2CP=4 ∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60° 由 AQ:AP=2:1 知,∠APQ=900 于是,PQ= 3 AP=3 ∴BP2=25=BQ 2+PQ 2 从而∠BQP=900 作 AM⊥BQ 于 M,由∠BQA=1200,知 ∠AQM=600,QM= 3 ,AM=3,于是, ∴AB2=BM 2+AM 2 =(4+ 3 ) 2+32=28+8 3
B C P Q M A

故 S△ABC= AB?ACsin600=

1 2

3 6?7 3 AB 2= 8 2

2012 年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 1.如果实数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式
a 2 ? | a ? b | ? (c ? a) 2 ? | b ? c | 可以化简为(

) .
(第 1 题图)

(A)2c?

a

(B)2a?

2b

(C)? a

(D)a

2.如果正比例函数 y = ax(a ≠ 0)与反比例函数 y =

b (b ≠0 )的图象有两个交点, x
) .

其中一个交点的坐标为(-3,-2) ,那么另一个交点的坐标为( (A) (2,3) (B) (3,-2) (C) (-2,3) (D) (3,2)

3.如果 a,b 为给定的实数,且 1 ? a ? b ,那么 1 ,a ? 1 , 2a ? b,a ? b ? 1 这四个数据的 平均数与中位数之差的绝对值是( (A)1 (B) ) . (C)

2a ? 1 4

1 2

(D)

1 4

4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说: “你若给我 2 元,我 的钱数将是你的 n 倍” ;小玲对小倩说: “你若给我 n 元,我的钱数将是你的 2 倍” ,其中 n 为正整数,则 n 的可能值的个数是( (A)1 (B)2 ) . (C)3 (D)4

5.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1,2,3,4,5,6.掷两次骰子, 设其朝上的面上的两个数字之和除以 4 的余数分别是 0, 1, 2, 3 的概率为 p0,p1,p2,p3 , 则 p0,p1,p2,p3 中最大的是( (A) p0 二、填空题 6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值 x”到“结果是否>487?”为 (B) p1 ) . (C) p2 (D) p3

一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么 x 的取值范围是

.

(第 7 题图)

7.如图,正方形 ABCD 的边长为 2 15 ,E,F 分别是 AB,BC 的中点,AF 与 DE,DB 分别 交于点 M,N,则△DMN 的面积是
2

.
2011

x 3 2 9 8. 如果关于 x 的方程 x +kx+ k -3k+ = 0 的两个实数根分别为 x1 ,x2 ,那么 1 2012 的 2 4 x2
值为 .

9.2 位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼 此恰好比赛一场.记分规则是:每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分;平局各得 1 分. 比赛 结束后,所有同学的得分总和为 130 分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则 m 的值 为 .

10.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AB 是直径,AD = DC. 分别延长 BA,CD,交点为 E. 作 BF⊥EC,并与 EC 的延长线交于点 F. 若 AE = AO,BC = 6,则 CF 的长为 .

(第 10 题图)

三、解答题

(m ? 3)x ? m ? 2 ,当 ?1 ? x ? 3 时,恒有 y ? 0 ;关于 x 的 11.已知二次函数 y ? x ?
2

(m ? 3)x ? m ? 2 ? 0 的两个实数根的倒数和小于 ? 方程 x ?
2

9 .求 m 的取值范围. 10

12.如图,⊙O 的直径为 AB ,⊙O 1 过点 O ,且与⊙O 内切于点 B .C 为⊙O 上的点,OC 与⊙O 1 交于点 D ,且 OD ? CD .点 E 在 OD 上,且 DC ? DE ,BE 的延长线与⊙O 1 交 于点 F ,求证:△BOC∽△ DO1 F .

(第 12 题图)

13.已知整数 a,b 满足:a-b 是素数,且 ab 是完全平方数. 当 a≥2012 时,求 a 的最小 值.

? x2012 ,满足 x1 ? x2 ? ? ? x2012 ,且 14.求所有正整数 n,使得存在正整数 x1,x2, ,

1 2 2012 ? ?? ? ? n. x1 x2 x2012

参考答案
1.C 解:由实数 a,b,c 在数轴上的位置可知 b ? a ? 0 ? c ,且 b ? c , 所以
a 2 ? | a ? b | ? (c ? a)2 ? | b ? c |? ?a ? (a ? b) ? (c ? a) ? (b ? c) ? ?a .

2 2.D 解:由题设知, ?2 ? a ? (?3) , (?3) ? (?2) ? b ,所以 a ? ,b ? 6 . 3 2 ? y ? x, ? ? x ? ?3, ? x ? 3, ? 3 解方程组 ? 得? 所以另一个交点的坐标为(3,2). ? ? y ? 6 , ? y ? ?2; ? y ? 2. ? x ?
3.D 解:由题设知, 1 ? a ? 1 ? a ? b ? 1 ? 2a ? b ,所以这四个数据的平均数为

1 ? (a ? 1) ? (a ? b ? 1) ? (2a ? b) 3 ? 4a ? 2b , ? 4 4 (a ? 1) ? (a ? b ? 1) 4 ? 4a ? 2b 中位数为 , ? 2 4 4 ? 4a ? 2b 3 ? 4a ? 2b 1 于是 ? ? . 4 4 4
4.D 解:设小倩所有的钱数为 x 元、小玲所有的钱数为 y 元, x,y 均为非负整数. 由题 设可得 ?

? x ? 2 ? n( y ? 2), ? y ? n ? 2( x ? n),

消去 x 得(2y-7)n = y+4,2n =

(2 y ? 7) ? 15 15 . ? 1? 2y ? 7 2y ? 7

因为

15 为正整数,所以 2y-7 的值分别为 1,3,5,15,所以 y 的值只能为 4,5,6, 2y ? 7

11.从而 n 的值分别为 8,3,2,1;x 的值分别为 14,7,6,7. 5.D 解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有 36 个,其和除以 4 的 余 数 分 别 是 0 , 1 , 2 , 3 的 有 序 数 对 有 9 个 , 8 个 , 9 个 , 10 个 , 所 以

p0 ?

9 8 9 10 ,因此 p3 最大. ,p1 ? ,p2 ? ,p3 ? 36 36 36 36

6.7<x≤19 解:前四次操作的结果分别为 3x-2,3(3x-2)-2 = 9x-8,3(9x-8)-2 = 27x-26,3(27x-26)-2 = 81x-80.由 已知得 27x-26≤487, 81x-80>487. 解得 7<x≤19. 容易验证,当 7<x≤19 时, 3x ? 2 ≤487 9 x ? 8 ≤487,故 x 的取值范围是 7<x≤19. 7.8 解:连接 DF,记正方形 ABCD 的边长为 2 a . 由题设易知△ BFN ∽△ DAN ,所以

AD AN DN 2 ? ? ? , BF NF BN 1
由此得 AN ? 2NF ,所以 AN ?

2 AF . 3

在 Rt△ABF 中,因为 AB ? 2a,BF ? a ,所以

AF ? AB 2 ? BF 2 ? 5a ,
于是 cos ?BAF ?

(第 7 题)

AB 2 5 . ? AF 5

由题设可知△ADE≌△BAF,所以 ?AED ? ?AFB ,

?AME ? 1800 ? ?BAF ? ?AED ? 1800 ? ?BAF ? ?AFB ? 90? .
于是 AM ? AE ? cos ?BAF ?

2 5 2 4 5 a , MN ? AN ? AM ? AF ? AM ? a 5 3 15

S?MND MN 4 ? ? . S?AFD AF 15
又 S?AFD ?

1 4 8 ? (2a) ? (2a) ? 2a 2 , 所 以 S?MND ? S?AFD ? a 2 . 因 为 a ? 15 , 所 以 2 15 15

S?M N D? 8 .

2 3 2 9 2 2 解:根据题意,关于 x 的方程有 ? =k -4 ( k ? 3k ? ) ≥0,由此得(k-3) ≤0. 4 2 3 9 3 2 2 2 又(k-3) ≥0,所以(k-3) =0,从而 k=3. 此时方程为 x +3x+ =0,解得 x1=x2= ? . 2 4
8. ?



x1 x2

2011 2012

=

1 2 =? . x2 3

9.8 解:设平局数为 a ,胜(负)局数为 b ,由题设知 2a ? 3b ? 130 , 由此得 0≤b≤43.又 a ? b ?

(m ? 1)(m ? 2) ,所以 2a ? 2b ? (m ? 1)(m ? 2) . 于是 2

0≤ b ? 130 ? (m ? 1)(m ? 2) ≤43,87≤ (m ? 1)(m ? 2) ≤130, 由此得 m ? 8 ,或 m ? 9 .当 m ? 8 时, b ? 40,a ? 5 ;当 m ? 9 时, b ? 20,a ? 35 ,

a?

a ? b 55 ? ,不合题设. 2 2

故m?8.

10.

3 2 解:如图,连接 AC,BD,OD. 由 AB 是⊙O 的直径知∠BCA = 2

∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°,四边形 ABCD 是⊙0 的内接四边形,所以∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ,因此

BC BA . ? CF AD

因为 OD 是⊙O 的半径,AD = CD,所以 OD 垂直平分 AC,OD∥BC,

DE OE ? ? 2 . 因此 DE ? 2CD ? 2AD,CE ? 3AD . DC OB BA 3 由△ AED ∽△ CEB ,知 DE ? EC ? AE ? BE .因为 AE ? ,BE ? BA , 2 2
于是 所以 2 AD ? 3 AD ?

BC 3 2 BA 3 AD ? . ? BA ,BA= 2 2 AD ,故 CF ? ? BC ? 2 2 2 BA 2 2
2

(m ? 3)? ( 4 m ? 2) ? 0, 11.解: 因为当 ?1 ? x ? 3 时,恒有 y ? 0 ,所以 ? ? (m ? 1 ) ? 0 ,所以 m ? ?1 . 即
2

???(5 分)
2

当 x ? ?1 时, y ≤ 0 ;当 x ? 3 时, y ≤ 0 ,即 (?1) ? (m ? 3)(?1) ? m ? 2 ≤ 0 , 且 3 ? 3(m ? 3) ? m ? 2 ≤ 0 ,解得 m ≤ ?5 .
2

???(10 分)

设方程 x ? ? m ? 3? x ? ? m ? 2 ? ? 0 的两个实数根分别为 x1,x2 ,由一元二次方程根与系
2

数的关系得 x1 ? x2 ? ? ? m ? 3?,x1 x2 ? m ? 2 . 因为

x ?x 1 1 9 m?3 9 ? ? ? ,所以 1 2 ? ? ?? , x1 x2 10 x1 x2 m?2 10
?(20 分)

解得 m ? ?12 ,或 m ? ?2 .因此 m ? ?12 .

12. 证明:连接 BD,因为 OB 为 ? O1 的直径,所以 ?ODB ? 90? .又因 为 DC ? DE ,所以△CBE 是等腰三角形. ????(5 分)

设 BC 与 ? O1 交 于 点 M , 连 接 OM , 则 ?OMB ? 90? . 又 因 为 OC ? OB , 所 以

?BOC ? 2?DOM ? 2?DBC ? 2?DBF ? ?DO1F . ? ? ? ? ( 15 分 ) 又 因 为
?BOC,?DO1F 分别是等腰△ BOC ,等腰△ DO1 F 的顶角,所以△BOC∽△ DO1F .
13.解:设 a-b = m(m 是素数) ,ab = n (n 是正整数). 14.因为(a+b) -4ab = (a-b) , 15.所以(2a-m) -4n = m ,(2a-m+2n)(2a-m-2n) = m . 因为 2a-m+2n 与 2a-m-2n 都是正整数,且 2a-m+2n>2a-m-2n (m 为素数),所以 2a-m+2n ? m ,2a-m-2n ? 1.
2 2 2 2 2 2 2 2

解得 a ?

2 (m ? 1) 2 m2 ? 1 (m ? 1 ) ,n ? . 于是 b = a-m ? . 4 4 4

又 a≥2012,即

(m ? 1) 2 ≥2012. 4 (89 ? 1) 2 =2025. 4

又因为 m 是素数,解得 m≥89. 此时,a≥

当 a ? 2025 时, m ? 89 , b ? 1936 , n ? 1980 .因此,a 的最小值为 2025.

? x2012 都是正整数,且 x1 ? x2 ? ? ? x2012 ,所以 14.解:由于 x1,x2, ,
x1 ≥1, x2 ≥2,?, x2012 ≥2012.

于是

n?

1 2 2012 1 2 2012 ≤ ? ??? ? ?? ? ? 2012 . x1 x2 x2012 1 2 2012

? x2012 ? 2012 ? 2012 ,则 当 n ? 1 时,令 x1 ? 2012,x2 ? 2 ? 2012, ,

1 2 2012 ? ??? ?1. x1 x2 x2012
,x2 ? 2, , ? xk ? k, 当 n ? k ? 1 时,其中 1 ≤ k ≤ 2011 ,令 x1 ? 1 xk ?1 ? (2012 ? k )(k ? 1),xk ? 2 ? (2012 ? k )(k ? 2),x2012 ? (2012 ? k ) ? 2012 ,则

1 2 2012 1 ? ?? ? ? k ? (2012 ? k ) ? ? k ?1 ? n . x1 x2 x2012 2012 ? k
综上,满足条件的所有正整数 n 为 1 ,  2, ,  ? 2012 .

2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题: (每题 7 分,共 35 分)
1.
?a ? 2b ? 3c ? 0, ab ? bc ? ca 设非零实数a、b、c 满足: 则: 2 的值为 ?2a ? 3b ? 4c ? 0, a ? b2 ? c 2 ?





1 ( A) ? ; 2

( B) 0;

(C )

1 ; 2

( D) 1.

由已知可得,a ? b ? c ? (2a ? 3b ? 4c) ? (a ? 2b ? 3c) ? 0. 1 因此, (a ? b ? c) 2 ? 0,则:ab ? bc ? ca ? ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ). 2 ab ? bc ? ca 1 故, 2 ? ? . 选( A). a ? b2 ? c 2 2

2. 已知a、b、c 为实数,关于x 的二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0有两个非零实根x1、x2,
则:下列关于x 的一元二次方程中以 1 1 、 2 为根的是 x12 x2




( A) c 2 x 2 ? (b 2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0; (C ) c 2 x 2 ? (b 2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0; ( B) c 2 x 2 ? (b 2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0; ( D) c 2 x 2 ? (b 2 ? 2ac) x ? a 2 ? 0.

由于关于x 的二次方程有两个非零实根x1、x2,则: b c a ? 0,且x1 ? x2 ? ? ,x1 x2 ? ;且x1 x2 ? 0,从而c ? 0. a a 1 1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 b 2 ? 2ac 1 1 a 2 又 2? 2 ? ? , 2? 2 ? 2 2 x1 x2 x12 x2 c2 x1 x2 c 1 1 b 2 ? 2ac a2 因此,以 2 、 2 为实根的一元二次方程为:x 2 ? x ? ? 0. x1 x2 c2 c 即,c 2 x 2 ? (b 2 ? 2ac ) x ? a 2 ? 0. 故,选( B ).

3.

如图,在Rt ?ABC 中,O为斜边AB 中点,CD ? AB交AB于点D,DE ? OC交

OC于点E. 若AD、DB和CD 的长度为有理数,则:线段OD、OE、DE和AC
的长度中,不一定为有理数的是
( A) OD; ( B) OE; (C) DE; ( D) AC.





由于AD、DB和CD为有理数,则:OA ? OB ? OC ? OD ? OA ? DA也是有理数.

1 ( AD ? DB )为有理数. 2

OD 2 OD ? DC 又OE ? 也是有理数;DE ? 也是有理数. OC OC 而AC 2 ? AD ? AB,则:AC ? AD ? AB 不一定是有理数. 故,选( D ).

4.

如图,已知?ABC 的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC 延长线上,

且BC ? 4CF,四边形DCEF为平行四边形,则:图中阴影部分面积为




( A) 3; ( B) 4; (C) 6; ( D) 8.

图中阴影部分面积S ? S ?ADE ? S ?BDE,设?ADE、?BDE 中,底边DE 上的高分别 为h1、h2;由于DE ? AB,因此,h1 ? h2为?ABC 底边BC上的高. 1 BC ? (h1 ? h2 ) ? 2CF ? (h1 ? h2 ) ? 2 DE ? (h1 ? h2 ) ? 4 S ? 24. 2 因此,阴影部分的面积S ? 6. 故,选(C ). 又S ?ABC ?

5.

对于任意实数x、y、z 定义运算“*”:x ? y ?

3 x 3 y ? 3 x 2 y 2 ? xy 3 ? 45

? x ? 1? ? ? y ? 1?
3

3

? 60



且x * y * z ? ( x * y) * z,则: 2013* 2012*?*3* 2 的值为
( A) 607 ; 967 ( B) 1821 ; 967 (C ) 5463 ; 967 ( D)


16389 . 967



设2013 ? 2012 ? ? ? 4 ? m,则: 3m3 ? 3 ? 3m 2 ? 9 ? m ? 27 ? 45 ? 9, m3 ? 3m 2 ? 3m ? 1 ? 64 ? 60 3 ? 93 ? 2 ? 3 ? 92 ? 22 ? 9 ? 23 ? 45 5463 因此, ? . ? 2013 ? 2012 ? ? ? 3? ? 2 ? 9 ? 2 ? 103 ? 33 ? 60 967

? 2013 ? 2012 ? ? ? 4 ? ? 3 ? m ? 3 ?

二、填空题: (每题 7 分,共 35 分)
6.
设a ? 3,b 是a 2 的小数部分,则: (b ? 2)3 ? _________. 由于2 ? a 2 ? 3 9 ? 3,因此,b ? a 2 ? 2 ? b ? 2 ? 3 9,因此, (b ? 2)3 ? 9.
3

7.

如图,D、E分别是?ABC 的边AC、AB上的点,BD、CE交于点F,若S?FCD ? 3, S?F B E? 4, S ?
FBC

? 5 ,则:四边形 A E F的面积为 D ________ .

S S 3 12 【方法一】:连接DE,则: ?FDE ? ?FCD ? ? S ?FDE ? . S ?FEB S ?FFBC 5 5 S AE S ?ACE x 记S ?ADE ? x,则: ?ADE ? ? ,即: ? 12 S ?DEB EB S ?BBCE 4? 5 864 12 864 204 因此,x ? . 则:S四边形AEFD ? ? ? . 65 5 65 13 S ? 4 S ?AEF ? S ?BFE BF S ?BCF 5 【方法二】:连接AF,则: ?AEF = ? ? ? . S ?AFD S ?AFD FD S ?CDF 3 S ?AFD ? 3 S ?AFD ? S ?CDF CF S ?BCF 5 108 96 ? ? ? ? ? S ?AEF ? ,S ?AFD ? . S ?AEF S ?AEF FE S ?BEF 4 13 13 因此,四边形AEFD 的面积为 204 . 13 x ?3? 12 5 . 4?5

3a 2 ? 8b ? c ? 0. 则: 8. 已知正整数a、b、c 满足:a ? b2 ? 2c ? 2 ? 0,

abc 的最大值为 __________.
(1) 从a ? b 2 ? 2c ? 2 ? 0, 3a 2 ? 8b ? c ? 0两式中消去c 可得: (b ? 8) 2 ? 6a 2 ? a ? 66 ? 6a 2 ? a ? 66. 又a 为正整数,则, 1 ? a ? 3. 2 (2) 当a ? 1 时, (b ? 8) ? 59,没有正整数解; 当a ? 2 时, (b ? 8) 2 ? 40,没有正整数解; 当a ? 3 时, (b ? 8) 2 ? 9,则:b1 ? 5,b2 ? 11. 而,当a ? 3,b ? 5 时,c ? 13;当a ? 3,b ? 11 时,c ? 61. 因此,abc 的最大值为3 ? 11 ? 13 ? 2013.

9.

实数a、b、c、d 满足:方程x 2 ? cx ? d ? 0 的两根为a、b;方程x 2 ? ax ? b ? 0

的两根为a、b,则满足条件的所有(a,b,c,d ) ? ___________.

?a ? b ? ?c,ab ? d 根据题意可得, .由此可得,b ? d . ? ?c ? d ? ?a,cd ? b (1) 当b ? d ? 0 时,a ? ?c; (2) 当b ? d ? 0 时,a ? c ? 1,且b ? d ? ?2. 因此,满足条件的所有(a,b,c,d ) ? (1, ? 2, 1, ? 2)或(k, 0, ? k, 0).

10.

小明某天在文具店做志愿者卖笔, 铅笔每支售 4 元, 圆珠笔每支售 7 元. 开 始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支,当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销 售收入恰好是 2013 元.则他至少卖出了 支圆珠笔.

?4 x ? 7 y ? 2013 设小明卖出铅笔与圆珠笔分别为x支和y支,则: . ? ? x ? y ? 350 因此,x ? 2013 ? 7 y y ?1 ? (503 ? 2 y ) ? . ? y ? 1 为4 的倍数. 4 4 而, 2013 ? 4( x ? y ) ? 3 y ? 4 ? 350 ? 3 y ? y ? 204. 因此,ymin ? 207;此时x ? 141.

三、计算题: (每题 20 分,共 80 分)
11. 如图,抛物线y ? ax 2 ? bx ? 3 的顶点为E,该抛物线与 x 轴的交于A,B 两点,
1 与 y 轴交于点C,且 OB ? OC ? 3 OA ;直线y ? ? x ? 1与 y 轴交于点D. 3 求:?DBC ? ?CBE.

1 (1) 将x ? 0 分别代入y ? ax 2 ? bx ? 3和y ? ? x ? 1可得:C (0, ? 3)、D (0, 1). 3 (2) 由于 OB ? OC ? 3 OA ,则:A( ?1,、 0) B(3, 0). ?a ? b ? 3 ? 0 ?a ? 1 因此, ?? . 故,抛物线方程为y ? x 2 ? 2 x ? 3. ? ?9a ? 3b ? 3 ? 0 ?b ? ?2 从而可得,E (1, ? 4). (3) 直线BC 的方程为:x ? y ? 3 ? 0,过点E作直线BC 的垂线,垂足为F; 则,点E 到该直线的距离d ? 1 ? ( ?4) ? 3 12 ? ( ?1) 2 ? 2. (实际上,点F 与点C 重合.)

即, EF ? 2,而 BE ? 2 5,在Rt ?BEF ( Rt ?BEC )和Rt ?BOD 中,有 EF BE ? 2 2 5 ? 1 OD EF OD 1 , ? ,故, ? . 因此,Rt ?BEF ? Rt ?BOD. BE OB 10 OB 10

则:?CBE ? ?OBD,因此,?CBD ? ?CBE ? ?CBO ? 45?.

12. 如图,设?ABC 的外心、垂心分别为O、H,如果B、C、H、O 四点共圆,
对所有?ABC,求:?BAC 的所有可能角度.
H

D E B

A

F

C

图(一)

图(二)

图(三)

分三种情况讨论: (1) 如果?ABC 为锐角三角形:由于H 为?ABC 的垂心,则:?BHC ? 180? ? ?A. 又O 为?ABC 的外心,则:?BOC ? 2?A. 由于点B、H 、O、C 共圆,因此,?BHC ? ?BOC ? ?A ? 60?. (2) 如果?ABC 为钝角三角形,且?A ? 90?,同样有,?BHC ? 180? ? ?A; 但?A ? 2(180? ? ?BOC ). 而?BOC ? ?BHC ? 180? ? ?A ? 120?. 如果?ABC 为钝角三角形,且?A ? 90?,不妨设?B ? 90?. (见图三.) 因H 为?ABC 的垂心,则:?A ? ?BHC;O为?ABC 的外心,则:?BOC ? 2?A. 又点B、H 、O、C 共圆,则:?BHC ? ?BOC ? 180?. 因此,?A ? 60?. (3) 如果?ABC 为直角三角形,当?A ? 90? 时,A 与H 重合,点O 为BC 中点, 此时点B、C、O、H 不可能共圆;故,?A ? 90?. 当?A ? 90? 时,不妨设?B ? 90?,此时点B 与H 重合,此时点B、C、O、H 一定可以共圆,因此,?A 可以取0? 到90? 之间的任何值. 综上可得,?A 可以去任何锐角或120?.

13. 设a、b、c为素数,记x ? b ? c ? a,y ? c ? a ? b,z ? a ? b ? c;当 x ? y ? 2,
z 2 ? y时,试问: 、 a 、 b 能否构成一个三角形?并证明你的结论 c .

【方法一】:不能构成三角形. 1 1 1 由条件可得,a ? ( y ? z ),b ? ( x ? z ),c ? ( x ? y ). 2 2 2 1 1 z ( z ? 1) 又z 2 ? y,则:a ? ( y ? z ) ? ( z 2 ? z ) ? . 2 2 2 由于z 为整数,a 为素数; ? 当z 为偶数时,a 有因子z ? 1,则:z ? 2; ? 当z 为奇数时,a 有因子z,则:z ? ?3( z ? 1或z ? 3均不可能.) 当z ? 2 时,y ? z 2 ? 4,x ? ( y ? 2) 2 ? 16;从而,b ? 9,c ? 10与条件矛盾. 当z ? ?3 时,a ? 3,b ? 1,c ? 7;不能构成三角形. (实际上,a ? b ? c ? z ? 0) 总之,a、b、c 不能构成三角形. ?y ? c ? a ? b 【方法二】:由 ? 可得,y ? z ? 2a. ?z ? a ? b ? c ?1 ? 1 ? 8 a 又z 2 ? y,则:z 2 ? z ? 2a ? 0 ? z ? . 2 由于a、b、c 为素数,则:a ? b ? c ? z为整数. 故, 1 ? 8a ? (2k ? 1) 2,为正整数 k . ?当k ? 1 时,a ? 1不是素数; k (k ? 1) ? 由此可得,a ? ? ?当k ? 2 时,a ? 3; 由此可得,z ? 2或 ? 3. 2 ?当k ? 3 时,a 不是素数. ? x?z 当z ? ?3 时,y ? 9, x ? 9 ? 2 ? x ? 25,b ? ? 11,c ? 17. 不能构成三角形. 2 x?z 当z ? 2 时,y ? 4,x ? 16;b ? ? 9不是素数. 2

14. 如果将正整数M 放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,则,称M 为

m 的“魔术数” (例如,把 86放在415的左侧,得到的数 86415能被 7 整除,所 以称86为415的魔术数).求:正整数 n 的最小值,使得存在互不相同的正整数 a1,a2,?,an,满足对任意一个正整数 m,在 a1,a2,?,an 中都至少有一个 为m 的“魔术数”.

(1) 由于10 ? 3mod(7), 20 ? 6 mod(7), 30 ? 2 mod(7), 40 ? 5mod(7), 50 ? 1mod(7), 60 ? 4 mod(7), 70 ? 0 mod(7). 这些数被7 除后所得余数均不相等. 记: [k ]为正整数被 7 除后所得余数为k (0 ? k ? 6),即余数为k 的同余类. (2) 如果n ? 6,则:一定存在0 ? k ? 6使得每个ai (1 ? i ? n)均不在[ k ] 中. 不妨令k ? 0,则在所有ai (1 ? i ? n) 后面添加7所得的数ai 7 ? 10ai ? 7一定不 能被7整除;也就是说,ai (1 ? i ? n)均不是7 的“魔术数” . 【或】:如果n ? 6,分别取m ? 1, 2, ?, 7,根据“抽屉原理”a1,a2, ?,an 中的一个数M 是i ? j (1 ? i ? j ? 7) 的共同的 魔术数”. 从而有, 7 | (10 M ? i ), 7 | (10 M ? j ),因此, 7 | ( j ? i ). 得到矛盾;因此,n ? 7. (3) 又当am ? m(1 ? m ? 7)时,对任意一个正整数M ,设其为p 位数,则: 10 p M ? m(1 ? m ? 7)被7除后所得余数两两互异. 否则,存在1 ? i ? j ? 7使 得, 7 | [(10 p j ? M ) ? (10 p i ? M )],从而7 |10 p ( j ? i). 因此,有7 | ( j ? i). 但1 ? j ? i ? 6,这是不可能的. 因此,一定存在正整数am ? m 使得, 7 | (10m ? M ). ? n 的最小值为7.


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