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甘肃省白银市2013年中考数学试题(word版,含解析)


甘肃省白银市 2013 年中考数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将符合题意的选项字母填入题后的括号内 1. (3 分) (2012?绍兴)3 的相反数是( ) A.3 B.﹣3 C. D.﹣ 考点: 相反数. 分析: 根据相反数的意义,3 的相反数即是在 3 的前面加负号. 解答: 解:根据相反数的概念及意义可知:3 的相反数是﹣3. 故选 B. 点评: 本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数 的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0 的相反数是 0. 2. (3 分) (2013?白银)下列运算中,结果正确的是( ) 10 2 5 2 3 5 A.4a﹣a=3a B.a ÷a =a C.a +a =a

D.a3?a4=a12

考点: 同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方. 专题: 计算题. 分析: 根据合并同类项、同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减,同底数幂的乘法法则: 底数不变,指数相加,可判断各选项. 解答: 解:A、4a﹣a=3a,故本选项正确; B、a ÷a =a =a ≠a ,故本选项错误; 2 3 5 C、a +a ≠a ,故本选项错误; 3 4 7 3 4 12 D、根据 a ?a =a ,故 a ?a =a 本选项错误; 故选 A. 点评: 此题考查了同类项的合并,同底数幂的乘除法则,属于基础题,解答本题的关键是掌 握每部分的运算法则,难度一般. 3. (3 分) (2011?桂林)下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽,其中为中 心对称图形的是( ) A. B. C. D.
10 2 10﹣2 8 5

考点: 中心对称图形. 分析: 根据中心对称图形的定义旋转 180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形, 即可 判断出. 解答: 解:∵ A.此图形旋转 180°后不能与原图形重合,∴ 此图形不是中心对称图形,故此选 项错误; B:∵ 此图形旋转 180°后不能与原图形重合,∴ 此图形不是中心对称图形,故此选项错 误;

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C.此图形旋转 180°后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,故此选项正确; D:∵ 此图形旋转 180°后不能与原图形重合,∴ 此图形不是中心对称图形,故此选项错 误. 故选 C. 点评: 此题主要考查了中心对称图形的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键. 4. (3 分) (2012?襄阳)如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形,其主视图是 ( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单组合体的三视图. 分析: 主视图是从正面看,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 解答: 解:从正面看,圆锥看见的是:三角形,两个正方体看见的是两个正方形. 故答案为 B. 点评: 此题主要考查了三视图的知识,关键是掌握三视图的几种看法. 5. (3 分) (2013?白银) 如图, 把一块含有 45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上. 如 果∠ 1=20°,那么∠ 2 的度数是( )

A.15°

B.20°

C.25°

D.30°

考点: 平行线的性质. 分析: 根据两直线平行,内错角相等求出∠ 3,再求解即可. 解答: 解:∵ 直尺的两边平行,∠ 1=20°, ∴ ∠ 3=∠ 1=20°, ∴ ∠ 2=45°﹣20°=25°. 故选 C.

点评: 本题考查了两直线平行,内错角相等的性质,是基础题,熟记性质是解题的关键.

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6. (3 分) (2008?包头)一元二次方程 x +x﹣2=0 根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D.无法确定 考点: 根的判别式. 2 分析: 判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△ =b ﹣4ac 的值的符号就可以了. 解答: 解:∵ a=1,b=1,c=﹣2, ∴ △ =b ﹣4ac=1+8=9>0 ∴ 方程有两个不相等的实数根. 故选 A 点评: 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用. 总结:一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系: (1)△ >0?方程有两个不相等的实数根; (2)△ =0?方程有两个相等的实数根; (3)△ <0?方程没有实数根. 7. (3 分) (2012?广西)分式方程 A.x=﹣2 B.x=1 的解是( C.x=2 ) D.x=3
2

2

考点: 解分式方程. 分析: 公分母为 x(x+3) ,去括号,转化为整式方程求解,结果要检验. 解答: 解:去分母,得 x+3=2x, 解得 x=3, 当 x=3 时,x(x+3)≠0, 所以,原方程的解为 x=3, 故选 D. 点评: 本题考查了解分式方程. (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化 为整式方程求解, (2)解分式方程一定注意要验根.
[来源:Zxxk.Com]

8. (3 分) (2013?白银)某超市一月份的营业额为 36 万元,三月份的营业额为 48 万元,设 每月的平均增长率为 x,则可列方程为( ) 2 2 A.48(1﹣x) =36 B.48(1+x) =36 C.36(1﹣x)2=48 D.36(1+x)2=48 考点: 由实际问题抽象出一元二次方程. 专题: 增长率问题. 2 分析: 三月份的营业额=一月份的营业额×(1+增长率) ,把相关数值代入即可. 解答: 解:二月份的营业额为 36(1+x) , 2 三月份的营业额为 36(1+x)×(1+x)=36(1+x) , 2 即所列的方程为 36(1+x) =48, 故选 D. 点评: 考查列一元二次方程;得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键.

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9. (3 分) (2013?白银)已知二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,在下列五个结 论中: ① 2a﹣b<0;② abc<0;③ a+b+c<0;④ a﹣b+c>0;⑤ 4a+2b+c>0, 错误的个数有( )

2

A.1 个

B .2 个

C.3 个

D. 4 个
[来 源:Z,xx,k.Com]

考点: 二次函数图象与系数的关系. 分析: 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系, 利用图象将 x=1,﹣1,2 代入函数解析式判断 y 的值,进而对所得结论进行判断. 解答: 解:① ∵ 由函数图象开口向下可知,a<0,由函数的对称轴 x=﹣ <0,故 b>0,所 以 2a﹣b<0,① 正确; ② ∵ a<0,对称轴在 y 轴左侧,a,b 同号,图象与 y 轴交于负半轴,则 c<0,故 abc< 0;② 正确; ③ 当 x=1 时,y=a+b+c<0,③ 正确; ④ 当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c<0,④ 错误; ⑤ 当 x=2 时,y=4a+2b+c<0,⑤ 错误; 故错误的有 2 个. 故选:B.

点评: 此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系,将 x=1,﹣1,2 代入函数解析式判 断 y 的值是解题关键. 10. (3 分) (2010?岳阳)如图,⊙ O 的圆心在定角∠ α(0°<α<180°)的角平分线上运动,且 ⊙ O 与∠ α 的两边相切,图中阴影部分的面积 S 关于⊙ O 的半径 r(r>0)变化的函数图象大致 是( )

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A.

B.

C.

D.

考点: 动点问题的函数图象;多边形内角与外角;切线的性质;切线长定理;扇形面积的计 算;锐角三角函数的定义. 专题: 计算题. 分析: 连接 OB、OC、OA,求出∠ BOC 的度数,求出 AB、AC 的长,求出四边形 OBAC 和 扇形 OBC 的面积,即可求出答案. 解答: 解:连接 OB、OC、OA, ∵ 圆 O 切 AM 于 B,切 AN 于 C, ∴ ∠ OBA=∠ OCA=90°,OB=OC=r,AB=AC ∴ ∠ BOC=360°﹣90°﹣90°﹣α=(180﹣α)°, ∵ AO 平分∠ MAN, ∴ ∠ BAO=∠ CAO=α, AB=AC= ,

∴ 阴影部分的面积是:S 四边形 BACO﹣S 扇形 OBC=2××

×r﹣

=





)r ,

2

∵ r>0, ∴ S 与 r 之间是二次函数关系. 故选 C.

点评: 本题主要考查对切线的性质,切线长定理,三角形和扇形的面积,锐角三角函数的定 义,四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握,能综合运用性质进行计算是解此题 的关键. 二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分,把答案写在题中的横线上 2 11. (4 分) (2011?连云港)分解因式:x ﹣9= (x+3) (x﹣3) .
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考点: 因式分解-运用公式法. 分析: 本题中两个平方项的符号相反,直接运用平方差公式分解因式. 2 解答: 解:x ﹣9=(x+3) (x﹣3) . 点评: 主要考查平方差公式分解因式, 熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征, 即“两 项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法. 12. (4 分) (2012?广安)不等式 2x+9≥3(x+2)的正整数解是 1,2,3 . 考点: 一元一次不等式的整数解. 专题: 计算题. 分析: 先解不等式,求出其解集,再根据解集判断其正整数解. 解答: 解:2x+9≥3(x+2) , 去括号得,2x+9≥3x+6, 移项得,2x﹣3x≥6﹣9, 合并同类项得,﹣x≥﹣3, 系数化为 1 得,x≤3, 故其正整数解为 1,2,3. 点评: 本题考查了一元一次不等式的整数解,会解不等式是解题的关键. 13. (4 分) (2012?随州)等腰三角形的周长为 16,其一边长为 6,则另两边为 6,4 或 5, 5 . 考点: 等腰三角形的性质;三角形三边关系. 分析: 此题分为两种情况:6 是等腰三角形的腰或 6 是等腰三角形的底边.然后进一步根据 三角形的三边关系进行分析能否构成三角形. 解答: 解:当腰是 6 时,则另两边是 4,6,且 4+6>6,满足三边关系定理; 当底边是 6 时,另两边长是 5,5,5+5>6,满足三边关系定理, 故该等腰三角形的另两边为:6,4 或 5,5. 故答案为:6,4 或 5,5. 点评: 本题考查了等腰三角形的性质, 应从边的方面考查三角形, 涉及分类讨论的思想方法, 难度适中. 14. (4 分) (2009?朝阳) 如图, 路灯距离地面 8 米, 身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部 (点 O)20 米的 A 处,则小明的影子 AM 长为 5 米.

考点: 相似三角形的应用. 分析: 易得:△ ABM∽ △ OCM,利用相似三角形的相似比可得出小明的影长. 解答: 解:根据题意,易得△ MBA∽ △ MCO,
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根据相似三角形的性质可知

=

,即

=



解得 AM=5m.则小明的影长为 5 米.

点评: 本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中, 利用相似三角形的相似比可得出小明的 影长. 15 . (4 分) (2013?白银)如图,已知 BC=EC,∠ BCE=∠ ACD,要使△ ABC≌ △ DEC,则应添加 的一个条件为 AC=CD . (答案不唯一,只需填一个)

考点: 全等三角形的判定. 专题: 开放型. 分析: 可以添加条件 AC=CD,再由条件∠ BCE=∠ ACD,可得∠ ACB=∠ DCE,再加上条件 CB=EC,可根据 SAS 定理证明△ ABC≌ △ DEC. 解答: 解:添加条件:AC=CD, ∵ ∠ BCE=∠ ACD, ∴ ∠ ACB=∠ DCE,
[来源:学&科&网]

在△ ABC 和△ DEC 中



∴ △ ABC≌ △ DEC(SAS) , 故答案为:AC=CD(答案不唯一) . 点评: 此题主要考查了考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有: SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 注意:AAA、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参 与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 16. (4 分) (2012?温州)若代数 式 的值为零,则 x= 3 .

考点: 分式的值为零的条件;解分式方程. 专题: 计算题. 分析: 由题意得 =0,解分式方程即可得出答案.

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解答: 解:由题意得,

=0,

解得:x=3,经检验的 x=3 是原方程的根. 故答案为:3. 点评: 此题考查了分式值为 0 的条件,属于基础题,注意分式方程需要检验. 17. (4 分) (2012?盐城) 已知⊙ O1 与⊙ O2 的半径分别是方程 x ﹣4x+3=0 的两根, 且 O1O2=t+2, 若这两个圆相切,则 t= 2 或 0 . 考点: 圆与圆的位置关系;解一元二次方程-因式分解法. 分析: 先解方程求出⊙ O1、 ⊙ O2 的半径,再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于 t 的方程 讨论求解. 2 解答: 解:∵ ⊙ O1、⊙ O2 的半径分别是方程 x ﹣4x+3=0 的两根, 解得⊙ O1、⊙ O2 的半径分别是 1 和 3. ① 当两圆外切时,圆心距 O1O2=t+2=1+3=4,解得 t=2; ② 当两圆内切时,圆心距 O1O2=t+2=3﹣1=2,解得 t=0. ∴ t 为 2 或 0. 故答案为:2 或 0. 点评: 考查解一元二次方程﹣因式分解法和圆与圆的位置关系, 同时考查综合应用能力及推 理能力.注意:两圆相切,应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点. 18. (4 分) (2013?白银) 现定义运算“★ ”, 对于任意实数 a、 b, 都有 a★ b=a ﹣3a+b, 如: 3★ 5=3 ﹣3×3+5,若 x★ 2=6,则实数 x 的值是 ﹣1 或 4 .
2 2 2

考点: 解一元二次方程-因式分解法. 专题: 新定义. 分析: 根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程, 求出一元二次方程的解即可得到 x 的值. 解答: 解:根据题中的新定义将 x★ 2=6 变形得: 2 2 x ﹣3x+2=6,即 x ﹣3x﹣4=0, 因式分解得: (x﹣4) (x+1)=0, 解得:x1=4,x2=﹣1, 则实数 x 的值是﹣1 或 4. 故答案为:﹣1 或 4 点评: 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,利用此方法解方程时,首先将方程右边化 为 0,左边变为积的形式,然后根据两数相乘积为 0,两因式中至少有一个为 0 转化 为两个一元一次方程来求解. 三、解答题(一) :本大题共 5 小题,共 38 分,解答时,应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤。 19. (6 分) (2012?广元)计算:2cos45°﹣(﹣) ﹣
﹣1

﹣(π﹣

).

0

考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专 题: 计算题.

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分析: 根据 45°角的余弦等于

,有理数的负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数,二

次根式的化简,任何非 0 数的 0 次幂等于 1 进行计算即可得解. ﹣1 0 解答: 解:2cos45°﹣(﹣) ﹣ ﹣(π﹣ ) , =2× ﹣(﹣4)﹣2 ﹣1,

= +4﹣2 ﹣1, =3﹣ . 点评: 本题考查了实数的运算,主要利用了特殊角的 三角函数值,负整数指数幂,二次根式 的化简,零指数幂,是基础运算题,注意运算符号的 处理.

20. (6 分) (2011?朝阳)先化简,再求值:

,其中 x=﹣.

考点: 分式的化简求值. 专题: 计算题. 分析: 先通分计算括号里的,再把除法转化成乘法进行约分,最后把 x 的值代入计算即可. 解答: 解:原式= ? =x﹣1, 当 x=﹣时,原式=﹣﹣1=﹣. 点评: 本题考查了分式的化简求值,解题的关键是注意把分式的分子、分母因式分解. 21. (8 分) (2013?白银)两个城镇 A、B 与两条公路 l1、l2 位置如图所示,电信部门需在 C 处修建一座信号反射塔,要求发射塔到两个城镇 A、B 的距离必须相等,到两条公路 l1,l2 的距离也必须相等,那么点 C 应选在何处?请在图中,用尺规作图找出所有符合条件 的点 C. (不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)

考点: 作图—应用与设计作图. 分析: 仔细分析题意,寻求问题的解决方案. 到城镇 A、B 距离相等的点在线段 AB 的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在 两条公路所夹角的角平分线上,分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所 求作的点 C. 由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点 C 有 2 个. 解答: 解: (1)作出线段 AB 的垂直平分线;
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(2)作出角的平分线(2 条) ; 它们的交点即为所求作的点 C(2 个) .

点评: 本题借助实际场景,考查了几何基本作图的能力,考查了线段垂直平分线和角平分线 的性质及应用.题中符合条件的点 C 有 2 个,注意避免漏解. 22. (8 分) (2013?白银)某市在地铁施工期间,交管部门在施工路段设立了矩形路况警示 牌 BCEF(如图所示) ,已知立杆 AB 的高度是 3 米,从侧面 D 点测到路况警示牌顶端 C 点 和底端 B 点的仰角分别是 60°和 45°,求路况警示牌宽 BC 的值.

考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 专题: 应用题. 分析: 在 Rt△ ABD 中, 知道了已知角的对边, 可用正切函数求出邻边 AD 的长; 同理在 Rt△ ABC 中,知道了已知角的邻边,用正切值即可求出对边 AC 的长;进而由 BC=AC﹣AB 得 解. 解答: 解:∵ 在 Rt△ ADB 中,∠ BDA=45°,AB=3 米, ∴ DA=3 米, 在 Rt△ ADC 中,∠ CDA=60°, ∴ tan60°= ,

∴ CA=3 . ∴ BC=CA﹣BA=(3 ﹣3)米. 答:路况显示牌 BC 是(3 ﹣3)米. 点评: 此题主要考查了解直角三角形的应用,当两个直角三角形有公共边时,先求出这条公 共边的长是解答此类题的一般思路.

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23. (10 分) (2013?白银)如图,一次函数

与反比例函数

的图象相交于点 A,

且点 A 的纵坐标为 1. (1)求反比例函数的解析式; (2)根据图象写出当 x>0 时,一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围.

考点: 反比例函数与一次函数的交点问题. 分析: (1)一次函数是完整的函数,把点 A 的纵坐标代入即可求得 M 的坐标;然后把 A 的坐标代入反比例函数解析式,即可求得反比例函数的解析式; (2)根据交点 A 的坐标,即可得到当 x>0 时,一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围. 解答: 解: (1)点 A 在 y=x﹣2 上, ∴ 1=x﹣2, 解得 x=6, 把(6,1)代入 m=6×1=6. ∴ y=; (2)由图象得,当 x>6 时,一次函数的值大于反比例函数的值. 点评: 本题考查用待定系数法求函数解析式;注意:无论是求自变量的取值范围还是函数值 的取值范围,都应该从交点入手思考;同时要注意反比例函数的自变量不能取 0. 四、解答题(二) :本大题共 5 小题,共 50 分,解答时,应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤。 24. (8 分) (2013?白银)为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场劵,甲和乙设计了如 下的摸球游戏: 在不透明口袋中放入编号分别为 1、 2、 3 的三个红球及编号为 4 的一个白球, 四个小球除了颜色和编号不同外,其它没有任何区别,摸球之前将袋内的小球搅匀,甲先摸 两次,每次摸出一个球(第一次摸后不放回)把甲摸出的两个球放回口袋后,乙再摸,乙只 摸一次且摸出一个球,如果甲摸出的两个球都是红色,甲得 1 分,否则,甲得 0 分,如果乙 摸出的球是白色,乙得 1 分,否则乙得 0 分,得分高的获得入场卷,如果得分相同,游戏重 来. (1)运用列表或画树状图求甲得 1 分的概率; (2)请你用所学的知识说明这个游戏是否公平? 考点: 游戏公平性;列表法与树状图法.
[来源:学科网]



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分析: (1)首先根据题意列出表格或画出树状图,然后求得所有等可能的结果与甲得 1 分 的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案; (2)由(1)求得乙的得分,比较概率不相等,即可得这个游戏是不公平. 解答: 解: (1)列表得: 1 2 3 4 1 ﹣ 1分 1分 0分 2 1分 ﹣ 1分 0分 3 1分 1分 ﹣ 0分 4 0分 0分 0分 ﹣ 画树状图得:
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∴ P(甲得 1 分)=

=

(2)不公平. ∵ P(乙得 1 分)= ∴ P(甲得 1 分 )≠P(乙得 1 分) , ∴ 不公平. 点评: 本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相 等就公平,否则就不公平. 25. (10 分) (2012?乐山)在读书月活动中,学校准备购买一批课外读物.为使课外读物满 足同学们的需求,学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了 抽样调查(每位同学只选一类) ,如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.

请你根据统计图提供的信息,解答下列问题: (1)本次调查中,一共调查了 200 名同学; (2)条形统计图中,m= 40 ,n= 60 ; (3)扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是 72 度; (4)学校计划购买课外读物 6000 册,请根据样本数据,估计学校购买其他类读物多少册比 较合理?

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考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图. 分析: (1)结合两个统计图,根据条形图得出文学类人数为:70,利用扇形图得出文学类 所占百分比为:35%,即可得出总人数; (2)利用科普类所占百分比为:30%,则科普类人数为:n=200×30%=60 人,即可得 出 m 的值; (3)根据艺术类读物所在扇形的圆心角是: ×360°=72°;

(3)根据喜欢其他类读物人数所占的百分比,即可估计 6000 册中其他读物的数量; 解答: 解: (1)根据条形图得出文学类人数为:70,利用扇形图得出文学类所占百分比为: 35%, 故本次调查中,一共调查了:70÷35%=200 人, 故答案为:200; (2)根据科普类所占 百分比为:30%, 则科普类人数为:n=200×30%=60 人, m=200﹣70﹣30﹣60=40 人, 故 m=40,n=60; 故答案为:40,60; (3)艺术类读物所在扇形的圆心角是: 故答案为:72; (4)由题意,得 (册) . ×360°=72°,

答:学校购买其他类读物 900 册比较合理. 点评: 此题主要考查了条形图表和扇形统计图综合应用 , 将条形图与扇形图结合得出正确信 息求出调查的总人数是解题关键. 26. (10 分) (2013?白银)如图,在△ ABC 中,D 是 BC 边上的一点,E 是 AD 的中点,过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F,且 AF=BD,连接 BF. (1)BD 与 CD 有什么数量关系,并说明理由; (2)当△ ABC 满足什么条件时,四边形 AFBD 是矩形?并说明理由.

考点: 矩形的判定;全等三角形的判定与性质. 专题: 证明题. 分析: (1)根据两直线平行,内错角相等求出∠ AFE=∠ DCE,然后利用“角角边”证明△ AEF
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和△ DEC 全等,根据全等三角形对应边相等可得 AF=CD,再利用等量代换即可得证; (2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 AFBD 是平行四 边形,再根据一个角是直角的平行四边形是矩形,可知∠ ADB=90°,由等腰三角形三 线合一的性质可知必须是 AB=AC. 解答: 解: (1)BD=CD. 理由如下:∵ AF∥ BC, ∴ ∠ AFE=∠ DCE, ∵ E 是 AD 的中点, ∴ AE=DE, 在△ AEF 和△ DEC 中, ∴ △ AEF≌ △ DEC(AAS) , ∴ AF=CD, ∵ AF=BD, ∴ BD=CD; (2)当△ ABC 满足:AB=AC 时,四边形 AFBD 是矩形. 理由如下:∵ AF∥ BD,AF=BD, ∴ 四边形 AFBD 是平行四边形, ∵ AB=AC,BD=CD, ∴ ∠ ADB=90°, ∴ ?AFBD 是矩形. ,

点评: 本题考查了矩形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定,是基础题, 明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键. 27. (10 分) (2013?白银)如图,在⊙ O 中,半径 OC 垂直于弦 AB,垂足为点 E. (1)若 OC=5,AB=8,求 tan∠ BAC; (2)若∠ DAC=∠ BAC,且点 D 在⊙ O 的外部,判断直线 AD 与⊙ O 的位置关系,并加以证明.

考点: 切线的判定;勾股定理;垂径定理. 专题: 计算题.

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分析: (1) 根据垂径定理由半径 OC 垂直于弦 AB, AE=AB=4, 再根据勾股定理计算出 OE=3, 则 EC=2,然后在 Rt△ AEC 中根据正切的定义可得到 tan∠ BAC 的值; (2)根据垂径定理得到 AC 弧=BC 弧,再利用圆周角定理可得到∠ AOC=2∠ BAC,由 于∠ DAC=∠ BAC,所以∠ AOC=∠ BAD,利用∠ AOC+∠ OAE=90°即可得到 ∠ BAD+∠ OAE=90°,然后根据切线的判定方法得 AD 为⊙ O 的切线. 解答: 解: (1)∵ 半径 OC 垂直于弦 AB, ∴ AE=BE=AB=4, 在 Rt△ OAE 中,OA=5,AE=4, ∴ OE= =3,

∴ EC=OC﹣OE=5﹣3=2, 在 Rt△ AEC 中,AE=4,EC=2, ∴ tan∠ BAC= ==;

(2)AD 与⊙ O 相切.理由如下: ∵ 半径 OC 垂直于弦 AB, ∵ AC 弧=BC 弧, ∴ ∠ AOC=2∠ BAC, ∵ ∠ DAC=∠ BAC, ∴ ∠ AOC=∠ BAD, ∵ ∠ AOC+∠ OAE=90°, ∴ ∠ BAD+∠ OAE=90°, ∴ OA⊥ AD, ∴ AD 为⊙ O 的切线. 点评: 本题考查了切线的判定定理:过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考 查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理. 28. (12 分) (2013?白银)如图,在直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=x +(2k﹣1)x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、A 两点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B,使△ AOB 的面积等于 6,求点 B 的坐 标; (3)对于(2)中的点 B,在此抛物线上是否存在点 P,使∠ POB=90°?若存在,求出点 P 的坐标,并求出△ POB 的面积;若不存在,请说明理由.
2

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考点: 二次函数综合题. 分析: (1)将原点坐标代入抛物线中即可求出 k 的值,也就得出了抛物线的解析式. (2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出 A 点的坐标,也就求出了 OA 的长,根 据△ OAB 的面积可求出 B 点纵坐标的绝对值, 然后将符合题意的 B 点纵坐标代入抛物 线的解析式中即可求出 B 点的坐标,然后根据 B 点在抛物线对称轴的右边来判断得 出的 B 点是否符合要求即可. (3)根据 B 点坐标可求出直线 OB 的解析式,由于 OB⊥ OP,由此可求出 P 点的坐标 特点,代入二次函数解析式可得出 P 点的坐标.求△ POB 的面积时,可先求出 OB, OP 的长度即可求出△ BOP 的面积. 解答: 解:① ∵ 函数的图象与 x 轴相交于 O, ∴ 0=k+1, ∴ k=﹣1, ∴ y=x ﹣3x, ② 假设存在点 B,过点 B 做 BD⊥ x 轴于点 D, ∵ △ AOB 的面积等于 6, ∴ AO?BD=6, 当 0=x ﹣3x, x(x﹣3)=0, 解得:x=0 或 3, ∴ AO=3, ∴ BD=4 即 4=x ﹣3x, 解得:x=4 或 x=﹣1(舍去) . 又∵ 顶点坐标为: ( 1.5,﹣2.25) . ∵ 2.25<4, ∴ x 轴下方不存在 B 点, ∴ 点 B 的坐标为: (4,4) ; ③ ∵ 点 B 的坐标为: (4,4) , ∴ ∠ BOD=45°,BO= =4 ,
2 2 2

当∠ POB=90°, ∴ ∠ POD=45°, 2 设 P 点横坐标为:﹣x,则纵坐标为:x ﹣3x, 2 即﹣x=x ﹣3x, 解得 x=2 或 x=0, ∴ 在抛物线上仅存在一点 P (2,﹣2) . ∴ OP= =2 ,

使∠ POB=90°, ∴ △ POB 的面积为: PO?BO=×4

×2

=8.

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点评: 本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识.利用已知 进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键.

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