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函数单调性和奇偶性练习题


函数单调性和奇偶性
一、选择题(每小题 5 分,一共 12 道小题,总分 60 分) 1.命题“若 x, y 都是偶数,则 x ? y 也是偶数”的逆否命题是( A.若 x ? y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 B.若 x ? y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 C.若 x ? y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 D.若 x ? y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 2.下列函数是偶函数的是( A. y ? sin x ) C. y ? x
1 2
x D. y ? 2 ?



B. y ? x sin x

1 2x

3.下列函数中,在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( A. y ? 2x C. y ? 2x ? 2? x B. y ? 2
x



D. y ? 2x ? 2? x )

4.下列函数中,不是偶函数的是( A. y ? x2 ? 4 C. y ? cos 2 x B. y ? tan x D. y ? 3x ? 3? x

5. (2015 秋?石嘴山校级月考)下列函数中,既是奇函数又在(﹣∞+∞)上单调递增 的是( ) A.y=﹣ B.y=sinx

C.y=x

D.y=ln|x| 的大小关系正确

6.如图,给出了偶函数 y ? f ? x ? 的局部图象,那么 f ?1? 与 f ? 3? 的是 ( )

A. f ?1? ? f ? 3?

B. f ?1? ? f ? 3?

C. f ?1? ? f ? 3?

D. f ?1? ? f ? 3?

7.设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论 中正确的是( ) B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. f (| x |) 是偶函数
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A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

8 . 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x ) 具 有 下 列 性 质 : ① f ( ? x) ? f ( x) ? 0 ; ②

f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1;③ y ? f ( x) 在 [0,1] 上为增函数,则对于下述命题:
① y ? f ( x) 为周期函数且最小正周期为 4; ② y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称且对称轴只有 1 条; ③ y ? f ( x) 在 [3,4] 上为减函数. 正确命题的个数为( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

9.设 f ( x ) 是奇函数,且在 (0,??) 内是增函数,又 f ( ?3) ? 0 ,则 x ? f ( x ) ? 0 的解集 是 A. ?x | ?3 ? x ? 0或x ? 3? C. ?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3? B. ?x | x ? ?3或0 ? x ? 3? D. ?x | x ? ?3或x ? 3?

10 . 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , 若 函 数 f ? x ? 的 周 期 6 . 当 ?3 ? x ? ?1 时 ,

f ? x ? ? ? ? x ? 2?

2

,当 ?1 ? x ? 3 时, f ? x ? ? x .则 f ?1? ? f ?2 ????????? A.337 B.338 C.1678

f ? 2013
D.2012

? + f ?2014 ? ?(



二、填空题(每小题 5 分,一共 6 道小题,总分 30 分) 11.若函数 f ( x) ? x ?

(2a ? 1) x ? 1 ? 1 为奇函数,则 a ? ________. x
,则 f(﹣1)= .

12.已知奇函数 f(x)当 x>0 时的解析式为 f(x)=

3 13 . 已 知 f ( x) ? a x ? bx ? 4其 中 a , b 为 常 数 , 若 f (?2) ? 2 , 则 f ( 2 ) 的 值 等



. .

2 14.若函数 f ( x) ? kx ? (k ?1) x ? 2 是偶函数,则 f ( x ) 的递减区间是

15. 设定义在 R 上的函数 ( f x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 7 , 若( f 1) =2, 则( f 107) =__________. 16.设函数 f(x)是奇函数且周期为 3,若 f(1)=-1,则 f(2015)=________.

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三、解答题(每小题 5 分,一共 4 道小题,总分 20 分) 17.已知函数 f ( x ) ?

a ? bx (其中 a , b 为常数)的图象经过 (1,3) 、 (2 , 3) 两点. x

(1)求 a , b 的值,判断并证明函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)证明:函数 f ( x ) 在区间 [ 2, ??) 上单调递增.

18. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x), 当 x∈[0, 2 2]时,f(x)=2x-x . (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2014)的值.

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析:依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位”且“换否” ,注意“都 是”的否定为“不都是” ,所以原命题的逆否命题应为“若 x ? y 不是偶数,则 x 与 y 不都 是偶数” ,故选 D. 考点:四种命题的概念. 2.B 【解析】 试 题 分 析 : 偶 函 数 的 定 义 域 要 关 于 原 点 对 称 , 且 满 足 f (? x) ? f ( x) , 选 项 A 中

f (? x) ? sin(? x) ? ? sin x
奇函数不符合; 选项 B 中 f (? x) ? (? x)sin(? x) ? x sin x ? f ( x) , 偶函数符合; ? ? f ( x) , 选 项 C 中 定 义 域 为 ?0, ??? , 不 关 于 原 点 对 称 , 非 奇 非 偶 函 数 不 符 合 ; 选 项 D 中

f (? x) ? 2? x ?

1 ? 2? x ? 2 x ? ? f ( x) ,奇函数不符合.故选 B. ?x 2

考点:利用定义判断一个函数是否为偶函数. 3.C 【解析】 试题解析:A 虽增却非奇非偶,B、D 是偶函数,由奇偶函数定义可知是奇函数,由复合函数 单调性可知在其定义域内是增函数(或 y ' ? 2 ln 2 ? 2 ln 2 ? 0 ) ,故选 C.
x ?x

考点:函数的单调性、奇偶性 4.D 【解析】
2 试题分析: A 选项, f ? - x ? = ? - x? ? 4=x ? 4 ? f ? x? ,所以 f ? x ? 为偶函数; B 选项, 2

f ? - x ? ? tan ? - x ?

= tan x ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 为偶函数;C 选项, f ? -x ? ? cos2 ? -x ? =cos2x ? f ? x ? ,所
?x x x ?x ? ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 为奇函 以 f ? x ? 是偶函数;D 选项, f ? ? x ? ? 3 ? 3 ? ? 3 ? 3

?

?

数.故选 D. 考点:函数奇偶性的定义. 5.C 【解析】 试题分析:根据函数的奇偶性、单调性的定义逐项判断即可. 解:y=﹣ 在(﹣∞,0) , (0,+∞)上单调递增,但在定义域内不单调,故排除 A;

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y=sinx 在每个区间(2kπ ﹣ 故排除 B; 令 f(x)=

,2kπ +

) (k∈Z)上单调递增,但在定义域内不单调,

,其定义域为 R,且 f(﹣x)=

=﹣

=﹣f(x) ,所以 f(x)为

奇函数, 2 又 f′(x)=3x ≥0,所以 f(x)在 R 上单调递增, 故选:C. 考点:函数奇偶性的判断. 6.D 【解析】根据图像可知,函数是偶函数,利用对称性作出函数图像可孩子 f(-3)=f(3),结合 图像可知 f(1)<f(3),故选 D. 【答案】D 7【解析】 试题分析: 对于选项 A , 因为 f ( x) 是奇函数, 且 f ( ? x) g ( ? x) ? ? f ( x) g ( x) , g ( x) 是偶函数, 所以 f ( x) g ( x) 是奇函数,所以选项 A 不正确;对于选项 B ,因为 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数, 且 f (? x) g (? x) ? f ( x) g ( x) , 所以 | f ( x) | g ( x) 是偶函数, 所以选项 B 不正确; 对于选项 C ,因为 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f (?x) g (?x) ? f ( x) g ( x) ,所以

| f ( x) g ( x) | 是偶函数,所以选项 C 不正确;
对于选项 D ,因为 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( ? x ) ? f ( x ) ,所以 f (| x |) 是偶 函数,所以选项 D 正确;故应选 D . 考点:1、函数的奇偶性. 8.B 【解析】 试题分析: (1)由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1得 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? 1,所以得 f ( x) ? f ( x ? 2) , 得最小正周期是 2. 该命题错误. (2)由 f (? x) ? f ( x) ? 0 得 f (? x) ? f ( x) ,知其是偶函

数,图像关于 y 轴对称,但该函数是周期函数,所以对称轴有无数条.该命题错误. (3) 由

y ? f ( x) 在 [0,1] 上为增函数,因为是偶函数,所以在 [?1,0] 上为减函数,周期为 2,所以 y ? f ( x) 在 [3,4] 上为减函数. 该命题正确.
考点:函数性质的综合考察. 9.C 【解析】 试题分析:因为函数为奇函数,且 f ?? 3? ? 0 ,在 ?0,??? 内是增函数,所以 f ?3? ? 0 ,在

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?? ?,0? 内是减函数,从而可得 ? ?

x ? ?3 ?? 3 ? x ? 0 ?0 ? x ? 3 ? x ? 3 ,? ,? ,? ,由此 ? f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? 0 ? f ?x ? ? 0

可得满足 x ? f ?x ? ? 0 的 x 的取值集合为 ?x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3?. 考点:函数单调性与奇偶性的综合应用. 10.A 【解析】 试 题 分析 :由 已知 得 f (1) ? 1 , f (2) ? 2 , f (3) ? f (?3) ? ?1 , f (4) ? f (?2) ? 0 ,

f (5) ? f (?1) ? ?1 ,

f (6) ? f (0) ? 0 , 故

f ?1? ?

?f ?2

? ? ? ??? f ?6 ? , ? 1?

?

f ?1? ? f ? 2? ???????? f ? 2013? + f ? 2014? ?
335+ f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? f ? 4? = 337 . 考点:函数周期性. 11. ?1 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 函 数 f ( x) ? x ?

(2a ? 1) x ? 1 1 ? 1 ? x ? ? 2a ? 2 为 奇 函 数 , 所 以 对 x x

?x ? (??,0) (0, ??) 均有 f (? x) ? ? f ( x) ,即 ? x ?
4a ? 4 ? 0,a ? ? 1 .

1 1 ? ? ? 2a ? 2 ? ? ? x ? ? 2a ? 2 ? ,所以 ?x x ? ?

考点:函数的奇偶性. 12.﹣ . 【解析】 试题分析:利用函数的奇偶性,直接求解函数值即可. 解:奇函数 f(x)当 x>0 时的解析式为 f(x)= 故答案为:﹣ . 考点:函数奇偶性的性质;函数的值. 13. - 10 【解析】
3 试题分析: f ?x ? ? 4 ? ax ? bx ,所以判断 f ?x ? ? 4 是奇函数, f ?? 2? ? 4 ? 6 ,所以

,则 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣ .

f ?2? ? 4 ? ?6 ,即 f ?2? ? ?6 ? 4 ? ?10
考点:奇函数 【方法点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性求函数值, 属于基础题型, 谨记一些法则, 比如, 奇函数+奇函数=奇函数,奇函数 ? 奇函数=偶函数,奇函数+偶函数=非奇非偶函数,所以本
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题 f ?x ? 并不是奇函数,但 f ?x ? ? 4 是奇函数,所以间接利用 f ?? 2? ? 4 ,求 f ?2? ? 4 ,最 后求 f ?2? 14. ?? ?,0? ( ?? ?,0?也对) 【解析】 试题分析:若函数 f ?x ? ? kx2 ? ?k ? 1?x ? 2 是偶函数,所以 k ? 1 ,则 f ?x? ? x 2 ? 2 ,所以 函数 f ?x ? 的递减区间是 ?? ?,0? . 考点:1.偶函数;2.二次函数的单调性. 【思路点晴】本题主要考查的是二次函数单调性和偶函数,属于容易题.解题时首先要根据 函数是偶函数得到 k ? 1 ,从而函数转化为二次函数,找到对称轴即可解决问题.另外本题 答案也可是 ?? ?,0?. 15.

7 . 2

【解析】 试题分析:函数 f(x)满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 7 ,则 f ( x) ?

7 7 , f ( x ? 2) ? , f ( x ? 2) f ( x ? 4)

所以 f ( x) ? f ( x ? 4) , f (107) ? f (26? 4 ? 3) ? f (3) ?

7 7 ? . f (1) 2

考点:函数的周期性. 16.1 【解析】由条件,f(2015)=f(671×3+2)=f(2)=f(-1)=-f(1)=1. 17. (1) a ? 2 , b ? 1 【解析】 试题分析:将函数过的点代入函数式可得到 a , b 的值,判断奇偶性可判断 f ? ?x ? ? f ? x ? , (2)证明函数单调性一般采用定义法,在 x1 ? x2 的前提下证明 f ? ?x ? ? ? f ? x ? 是否成立; 奇函数(2)详见解析

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立
试题解析: (1)∵ 函数 f ( x ) 的图像经过 (1,3) 、 (2,3) 两点

?a ? b ? 3 ? ∴ ?a ,得 a ? 2 , b ? 1 ? 2 b ? 3 ? ?2

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2 ? x ,定义域 (??, 0)(0 , +?) x 2 2 ? (? x) ? ? ( ? x) ? ? f (x) ∵ f (? x) ? ?x x 2 ∴ 函数解析式 f ( x) ? ? x 是奇函数 x
∴ 函数解析式 f ( x) ? (2)设任意的 x1 、 x2 ? [ 2 , ? ?) ,且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 2 ? x1 ? ? x2 x1 x2

?

2( x2 ? x1 ) 2 ? ( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? x1 )( ? 1) x1 x2 x1 x2 2 ? x1 x2 x1 x2

? ( x2 ? x1 )
∵ x1 ?

2 , x2 ? 2 ,且 x1 ? x2

∴ x1 ? x2 ? 2 ,则 2 ? x1 x2 ? 0 ,且 x2 ? x1 ? 0 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ 函数 f ( x ) 在区间 [ 2 , ? ?) 上单调递增. 考点:函数奇偶性单调性 2 18. (1)见解析(2)f(x)=x -6x+8,x∈[2,4]. (3)1 【解析】(1)证明:因为 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解:因为 x∈[2,4], 所以-x∈[-4,-2],4-x∈[0,2], 2 2 所以 f(4-x)=2(4-x)-(4-x) =-x +6x-8. 2 2 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), 所以-f(x)=-x +6x-8, 即 f(x)=x -6x+8, x∈[2, 4]. (3)解:因为 f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1, 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=0, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2014)=f(0)+f(1)+f(2)=1.

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