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2018届高三数学一轮复习:课时作业4 Word版


课时作业 4

函数及其表示

一、选择题 1.下列图象中不能作为函数图象的是( )

解析:B 项中的图象与垂直于 x 轴的直线可能有两个交点,显然 不满足函数的定义.故选 B. 答案:B 2x+1 2.函数 f(x)= 2 的定义域是( 2x -x-1
? ? 1 ? A.?x?x≠-2 ? ? ? ? ? ? 1 ? B.?x?x>-2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 C.?x?x≠-2且x≠1 ? ?

)

? ? ? 1 D.?x?x>-2且x≠1 ? ? ? ? ?2x+1≥0, ? 1 解析:由题意得? 2 解得 x>-2且 x≠1,故选 D. ? ?2x -x-1≠0,

答案:D

?x +1,x≤1, 3.设函数 f(x)=?2 ?x,x>1,
1 A.5 2 C.3
? ?

2

则 f(f(3))等于(

)

B.3 13 D. 9
? ? ? ?

?2? ?2? ?2? 2 13 解析:由题意知 f(3)=3≤1,f?3?=?3?2+1= 9 ,∴f(f(3))=f?3?=

13 9. 答案:D 4.若二次函数 g(x)满足 g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则 g(x)的解析式为( ) B.g(x)=3x2-2x D.g(x)=-3x2-2x

A.g(x)=2x2-3x C.g(x)=3x2+2x

解析:用待定系数法,设 g(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵g(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点, a+b+c=1, ? ? ∴?a-b+c=5, ? ?c=0, a=3, ? ? 解得?b=-2, ? ?c=0.

∴g(x)=3x2-2x,选 B. 答案:B

5.若 f(x)的定义域是[-1,1],则 f(sinx)的定义域为( A.R
? π π? C.?-2,2? ? ?

)

B.[-1,1] D.[-sin1,sin1]

解析:由-1≤sinx≤1 得 x∈R. 答案:A
?1? 6.具有性质:f? x?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换 ? ?

的函数,下列函数: x,0<x<1, ? 1 1 0,x=1, ①y=x-x;②y=x+x ;③y=? 1 - ? x,x>1. 其中满足“倒负”变换的函数是( A.①② C.②③
? ?

) B.①③ D.①

1 ?1? 1 解析:对于①,f(x)=x-x,f?x ?=x -x=-f(x),满足;对于②,

?x,0<x<1, ? 1 ?1? 1 ?1? f?x ?=x +x=f(x), 不满足; 对于③, f?x ?=?0,x=1, ? ? ? ? ?-x,1>1, ? x ?x,x>1, ?0,x=1, ?-x,0<x<1,
1

1

1

?1? 即 f?x ?= ? ?

?1? 故 f?x ?=-f(x),满足.综上可知,满足“倒负” ? ?

变换的函数是①③.

答案:B 二、填空题

?2 ,x<2, 7.(2017· 唐山模拟)设函数 f(x)=? 2x ?x+3,x≥2,
x0 的取值范围是________.

x

若 f(x0)>1,则

?x0≥2, ? ?x0<2, 解析:依题意得? 或? 2x0 ? ?2x0>1 ?x0+3>1.
解得 0<x0<2 或 x0>3. 答案:(0,2)∪(3,+∞) 8 .函数 y = kx2-6kx+9的定义域为 R ,则 k 的取值范围是 ________. 解析:k=0 符合题意;若 k≠0,则 k>0 且 36k2-4×9k≤0,即 0 <k≤1.综上,0≤k≤1. 答案:[0,1]
2 ? ?x +2ax,x≥2, 9.已知函数 f(x)=? x 若 f(f(1))>3a2,则 a 的取值 ?2 +1,x<2. ?

范围是________. 解析: 由题知, f(1)=2+1=3, f(f(1))=f(3)=32+6a.若 f(f(1))>3a2, 则 9+6a>3a2,即 a2-2a-3<0,解得-1<a<3. 答案:(-1,3) 三、解答题 10.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)>2x+5.

解:(1)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=1,∴c=1. 把 f(x)的表达式代入 f(x+1)-f(x)=2x,有 a(x+1)2+b(x+1)+1 -(ax2+bx+1)=2x. ∴2ax+a+b=2x. ∴a=1,b=-1. ∴f(x)=x2-x+1. (2)由 x2-x+1>2x+5,即 x2-3x-4>0,解得 x>4 或 x<-1. 故原不等式解集为{x|x>4 或 x<-1}. 11 . 运 货 卡 车 以 每 小 时 x 千 米 的 速 度 匀 速 行 驶 130 千 米 (50≤x≤100,单位:千米/小时).假设汽油的价格是每升 2 元,而汽 x ? ? 车每小时耗油?2+360?升,司机的工资是每小时 14 元. ? ? (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值. 130 解:(1)行车所用时间为 t= x (h), x2 ? 14×130 ? 130 y= x ×2×?2+360?+ , x ? ? x∈[50,100]. 所以,这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 2 340 13 y= x +18x,x∈[50,100]. 2 340 13 (2)y= x +18x≥26 10, 2 340 13 当且仅当 x =18x, 即 x=18 10时,上述不等式中等号成立.
2

所以当 x=18 10时, 这次行车的总费用最低, 最低费用为 26 10 元.

? ??1-2a?x+3a,x<1, 1.(2017· 唐山月考)已知 f(x)=? ? ?lnx,x≥1

的值域为 R,那么 a 的取值范围是( A.(-∞,-1] 1? ? C.?-1,2?
? ? ?

)
?

1? ? B.?-1,2? 1? ? D.?0,2?
? ?

解析:要使函数 f(x)的值域为 R,

?a< , ?1-2a>0, ? 需使? ∴? 2 ?ln1≤1-2a+3a, ?
1 ∴-1≤a<2. 1? ? 即 a 的取值范围是?-1,2?.
? ?

1

?a≥-1,

答案:C 2.(2017· 云南统测一)已知函数 f(x)的定义域为实数集 R,?x∈
? ?lgx,x>0, R,f(x-90)=? 则 f(10)-f(-100)的值为________. ?-x,x≤0, ? ? ?lg?t+90?,t>-90, 解析: 令 t=x-90, 得 x=t+90, 则 f(t)=? ? ?-?t+90?,t≤-90,

f(10)=lg100=2,f(-100)=-(-100+90)=10,所以 f(10)-f(-100) =-8. 答案:-8

3.已知 f 是有序数对集合 M={(x,y)|x∈N*,y∈N*}上的一个映 射,正整数数对(x,y)在映射 f 下为实数 z,记作 f(x,y)=z.对于任意 的正整数 m,n(m>n),映射 f 由下表给出: (x,y) f(x,y) (n,n) n (m,n) m-n (n,m) m+n

则 f(3,5)=________,使不等式 f(2x,x)≤4 成立的 x 的集合是 ________. 解析:由表可知 f(3,5)=5+3=8. ∵?x∈N*, 都有 2x>x, ∴f(2x, x)=2x-x, 则 f(2x, x)≤4?2x-x≤4(x ∈N*)?2x≤x+4(x∈N*), 当 x=1 时,2x=2,x+4=5,2x≤x+4 成立; 当 x=2 时,2x=4,x+4=6,2x≤x+4 成立. 当 x≥3(x∈N*)时,2x>x+4. 故满足条件的 x 的集合是{1,2}. 答案:8 {1,2} 4.设函数 f(x)= |x+1|+|x+2|-a. (1)当 a=5 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的定义域为 R,试求 a 的取值范围. 解:(1)由题设知:|x+1|+|x+2|-5≥0,在同一坐标系中作出函 数 y=|x+1|+|x+2|和 y=5 的图象,知定义域为(-∞,-4]∪[1,+ ∞).

(2)由题设知,当 x∈R 时,恒有|x+1|+ |x+2|-a≥0,即|x+1|+|x+2|≥a 恒成立,又由(1),|x+1|+|x +2|≥1,∴a≤1.

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