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山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第三次四校联考数学(理)试题


山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中 2013 届高三第三次 四校联考数学(理)试题
命题:临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项.
2 1. 集合 P ? ? x ? Z | 0 ? x ? 2? , M ? ?x ? Z | x ? 4?,则 P ? M 等于

A. ? ? 1

B. ?0,1?

C. [0,2)

D. [0,2]

2. 某教师一天上 3 个班级的课,每班一节,如果一天共 9 节课,上午 5 节、下午 4 节,并且教师不能连上 3 节课(第 5 和第 6 节不算连上) ,那么这位教师一天的课的所有排法有 A. 474 种 B. 77 种 C. 462 种 D. 79 种 3. 复数 z1=3+i,z2=1-i,则复数 A. 2 B. -2i
2 2

z1 z2

的虚部为 C. -2 D. 2i
??? ???? ?

4. 过点 M (2, 0) 作圆 x ? y ? 1 的两条切线 MA , MB ( A , B 为切点 ) ,则 MA ? MB ? A.
5 3 2

B.

5 2

C.
? ?

3 3 2

D.

3 2

5. 函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 数为奇函数,则函数 f ? x ? 的图像
?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

??

若其图像向右平移 个单位后得到的函 ? 的最小正周期是 ? , 3 2?

?

A.关于点 ?

B.关于直线 x ?

?
12 5? 12

对称

C.关于点 ?

? 5?

? , 0 ? 对称 ? 12 ?

D.关于直线 x ?

对称

6. 如图所示的算法流程图中输出的最后一个数为-55,则判断框中的条件为

A. n ? 11? C. n ? 10 ? D. n ? 10 ?

B. n ? 11?

7. 点 P 为双曲线 C1 :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1?a ? 0, b ? 0 ? 和圆 C 2 : x ? y
2

2

? a ? b 的一个交点,且
2 2

2?PF1 F2 ? ?PF2 F1 ,其 中 F1 , F2 为双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C1 的离心率为

A. 3

B. 1 ?

2

C. 3 ? 1

D. 2

8. 若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为

A. 10?

B. 50?
?
6

C. 25?

D. 100?
2012? 3

9. 对于下列命题:①在△ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ,则△ABC 为等腰三角形;②已知 a,b,c 是△ABC 的三边长,若 a ? 2 , b ? 5 , A ? ,则△ABC 有两组解;③设 a ? sin
??
? 6?

, b ? cos

2012? 3

, c ? tan
??

2012? 3

,

则 a ? b ? c ;④将函数 y ? 2sin ? 3 x ?
?

?

图象向左平移

?
6

个单位,得到函数 y ? 2 cos ? 3 x ?
?

?

? 图象.其中 6?

正确命题的个数是 A. 0

B. 1

C. 2

D. 3
?

10. 已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30 ,则棱锥 S—ABC 的体积为 A. 3 3 B. 2 3 C.
3

D. 1

11. 函数 f ? x ? ? cos ? x 与函数 g ? x ? ? log 2 x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和为 A.2 B. 4 C. 6 D. 8

12. 函数 y ? f (x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0) 对称, x, y 满足不等式 f ( x 2 ? 2 x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 ,M (1, 2), N ( x, y ) ,O 为坐标原点, 则当1 ? x ? 4 时, OM ? ON 的取值范围为 ( A. ?12,?? ? B. ?0,3?
???? ???? ?

) C. ?3,12? D. ?0,12?
??? ??? ? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.在正三角形 AB ? 3 中, D 是 AB 上的点, AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB ? AD ?

.

? x ? y ? 2 ? 0, 14. 实数对 ( x, y ) 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 则目标函数 z=kx-y 当且仅当 x=3,y=1 时取最大值,则 k ? ? y ? 2 ? 0, ?

的取值范围是 15.已知 f ( x) ?
ln x x

. ,在区间 ?2,3? 上任取一点 x 0 ,使得 f '( x0 ) ? 0 的概率为
3

.

16. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 是奇函数且满足 f ( ? x) ? f ( x) ,f (?2) ? ?3 , 数列 ?a n ? 满足 a1 ? ?1 ,
2



Sn n

? 2?

an n

? 1 (其中 S n 为 ?a n ? 的前 n 项和),则 f ( a 5 ) ? f ( a 6 ) ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17. (本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,首项为 a1 ,且 的通项公式; http://wx.jtyjy.com/
bn 1 b 2 (2)若 an ? ( ) ,设 cn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an 2
n

1 2

, an , S n 成等差数列.(1)求数列 ?an ?

18. (本小题满分 12 分) http://wx.jtyjy.com/ 某中学参加一次社会公益活动(以下简称活动) .该校合唱团共有100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. (1)求合唱团学生参加活动的人均次数; (2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率. (3)从合唱团中任选两名学生,用? 表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数 学期望 E? .
参加人数

50 40 30 20 10 1 2 3
活动次数

19. (本小题满分 12 分)如图,四边形 PCBM 是直角梯形, ?PCB ? 90? , PM ∥ BC , PM AC ? 1 , ?ACB ? 120?, AB ? PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60? . (1)求证: PC ? AC ; (2)求二面角 M ? AC ? B 的余弦值.

? 1, BC ? 2 .又

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0)的离心率e ?

2 2

, 左、右焦点分别为 F1、F2,点 P ( 2, 3 ) ,点

F2 在线段 PF1 的中垂线上。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角互补,求证:直线 l 过 定点,并求该定点的坐标. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? (a ? 2) x ? ln x. (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程; ( (2)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围; (3)若对任意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取值范围. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知 PA 与圆 O 相切于点 A ,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C , ?APC 的平分线分别交 AB、AC 于点 D、E . (1)证明: ?ADE ? ?AED ; (2)若 AC ? AP ,求
PC PA

的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系.已知曲线 C : ? sin 2 ?
? x ? ?2 ? 2 2 2

? 2a cos ? ( a ? 0) ,

? 已知过点 P (?2,?4) 的直线 l 的参数方程为: ?

t

? ? y ? ?4 ? t ? 2 ?

,直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点.

http://wx.jtyjy.com/ (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 | PM |, | MN |, | PN | 成等比数列,求 a 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

设 f ( x ) ? x ? a , a ? R. (1)当 ?1 ? x ? 3时, f ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围; (2)若对任意 x∈R, f ( x ? a ) ? f ( x ? a ) ? 1 ? 2a 恒成立,求实数 a 的最小值.

2013 届高三第三次四校联考试题答案
一、 选择题 题号 1 2 答案 B A 二、填空题 13、
15 2

(理科)
11 B 12 D

3 A

4 D

5 D

6 C

7 C

8 B

9 C

10 C

14、 ? ?
?

?

1

? ,1? 2 ?

15、 e ? 2

16、 3

三、解答题 17、解(1)由题意知 2an ? S n ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ?
1 2 1 2 , an ? 0 1 2

??????1 分 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? 整理得:
1 2 1 2 , S n ?1 ? 2an ?1 ? 1 2

? a1 ?

两式相减得 an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? 2an ?1 ??????3 分 ∴数列 ?an ? 是以 (2) an ? 2
Cn ? bn an
8 2 ? 0
2

an an ?1

?2

???4 分

1 2

为首项,2 为公比的等比数列. an ? a1 ? 2 n ?1 ?
2n?4

?2

n ?1

?2

n?2

?????5 分

2

? bn

?2

∴ bn ? 4 ? 2n ,????????6 分 http://wx.jtyjy.com/
16 ? 8n
n

?

4 ? 2n 2
n?2

?

16 ? 8n 2
n

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ??????9 分 n ?1 2 2 2 2 2 1 1 ( ? n ?1 ) 1 2 16 ? 8n 2 ? 4 ? 8? 2 ? n ?1 1 2 1? http://wx.jtyjy.com/ 2

Tn ?

?

?8
3

??

24 ? 8n
n ?1

?



1

Tn ?

8
2

?

0
3

???

24 ? 8n 2
n

?

16 ? 8n 2
n ?1



? 4?( ? 41 2
? 4n 2
n

1
n ?1

)?

16 ? 8n 2
n ?1

. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 分

? Tn ?

8n 2
n

. ??

http://wx.jtyjy.com/???12 分 18、由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40. (1)该合唱团学生参加活动的人均次数为 1?10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 ? 230 ? 2.3 .??????4 分
100 100

( 2 )从 合唱 团中任 选两 名学 生, 他们 参加 活动 次数 恰好 相等 的概 率为

P ? 0

C10 ? C50 ? C40
2 2 2

C100

2

?

41 99

.???????8 分

(3)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 2 次活动”为事件 A , “这两人中一人参加 2 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 B , “这两人中一人参加 1 次活动,另一人 参加 3 次活动”为事件 C .易知
P (? ? 1) ? P ( A) ? P ( B ) ?
C10C50 C100
2 1 1

?

C50C40 C100
4

1

1

?

50 99

; P (? ? 2) ? P (C )

?

C10C40 C100
2

1

1

?

8 99



? 的分布列:
?

0
41 99

1
50 99

2
8 99

P

???????10 分
? 的数学期望: E? ? 0 ?
41 99 ? 1? 50 99
AB ,∴ PC ?
?

? 2?

8 99

?

2 3

.???????12 分 (4 AC . 分)

19、方法 1: (1)∵ PC ? BC , PC ?

平面 ABC,∴ PC ?
?

(2)取 BC 的中点 N,连 MN.∵ PM ? CN ,∴ MN ? PC ,∴ MN ? 平面 ABC.作 NH ? 交 连结 MH. 由三垂线定理得 AC ? MH , ?MHN 为二面角 M ? AC ? B 的平面角. ∴ ∵ AC , AC 的延长线于 H, 直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60? ,∴在 Rt ?AMN 中, ?AMN ? 60? . 在 ?ACN 中, AN
? AC ? CN ? 2 AC ? CN ? cos120? ?
2 2

3



在 Rt ?AMN 中, MN 在 Rt ?NCH 中, NH

? AN ? cot ?AMN ?

3 cot 60? ? 1 .

? CN ? sin ?NCH ? 1? sin 60? ? 7 2

3 2


? NH MH ? 21 7

在 Rt ?MNH 中,∵ MH 故二面角 M
? AC ? B

?

MN ? NH
2

2

?

,∴ cos ?MHN



的余弦值为

21 7

. (12 分)

方法 2: (1)∵ PC ? BC , PC ? AB ,∴ PC ? 平面 ABC,∴ PC ? AC . 分) (4 (2)在平面 ABC 内,过 C 作 BC 的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示.设 P(0, 0, z ) ,则
???? ? ??? ? 3 1 3 3 , ? , 0) ? ( ? , , z) . CP ? (0, 0, z ) . AM ? (0,1, z ) ? ( 2 2 2 2

?????(5 分)
???? ??? ? ? ???? ??? ? ? AM ? CP ? ? ∵ cos 60? ?| cos ? AM , CP ?|?| ???? ??? |? | AM | ? | CP | z
2


2

3? z ?| z |

且 z ? 0 ,∴

z z ?3
2

?

1 2

,得 z ? 1 ,∴ AM

???? ?

? (?

3 3 , ,1) .?????(7 2 2

分)

设 平 面 MAC 的 一 个 法 向 量 为

n ? ( x, y,1)

,则由

???? ? ? n ? AM ? 0, ? ??? ? ? ? n ? CA ? 0 ?



? 3 3 x ? y ? 1 ? 0, ?? ? 2 2 ? 3 1 ? x ? y ? 0, ? ? 2 2



? 3 , ?x ? ? ? 3 ? y ? ?1, ?



n ? (?

3 3

, ?1,1) .?????(9

分)
??? ? n ? CP ????? ? ? | n | ?| CP | 21 7
21 7

平面 ABC

??? ? ??? ? 的一个法向量为 CP ? (0, 0,1) . cos ? n, CP ??

.?????(11 分)

显然,二面角 M

? AC ? B

为锐二面角,∴二面角 M
2 2 , c a 2 2

? AC ? B

的余弦值为

. (12 分)

20、 (1)由椭圆 C 的离心率 e ?



?

,其中 c ?

a ?b ,
2 2

椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上
? F1 F2 |?| PF2 |,? ( 2c ) ? ( 3 ) ? ( 2 ? c ) ?????(3 分) |
2 2 2

解得 c ? 1, a ? 2, b ? 1,
2 2

? 椭圆的方程为

x

2

?y

2

? 1.

????? (5 分)

http://wx.jtyjy.com/

2
? x2 2 ? y ? 1, ? (2)由题意,知直线 MN 存在斜率,其方程为 y ? kx ? m. 由 ? 2 ? y ? kx ? m ?

消去 y, 得(2k ? 1) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0.
2 2 2

? (6 分)
4km 2k ? 1
2

△=(4km) —4(2k +1)(2m —2)>0 ( 7 分)
2m ? 2
2

2

2

2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ),
kx1 ? m x1 ? 1

则 x1 ? x 2 ? ?
kx 2 ? m x2 ? 1

, x1 x 2 ?

2k ? 1
2

,

????? (8 分)

且 kF M ?
2

, kF N ?
2

?????(9 分)
kx1 ? m x1 ? 1 kx 2 ? m x2 ? 1

由已知直线 F2M 与 F2N 的倾斜角互补,得 k F M ? k F N ? 0, 即
2 2

?

? 0.

? (10 分)

化简,得 2kx1x2 ? (m ? k )( x1 ? x2 ) ? 2m ? 0 整理得 m ? ?2k .

? 2k ?

2m ? 2
2

2k ? 1
2

?

4km( m ? k ) 2k ? 1
2

? 2m ? 0

(11 分)

直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) , ?????(12 分)
1 x

因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0)

21、解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? 3 x ? ln x, f ( x) ? 2 x ? 3 ? 因为 f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 .

.??????2 分 ????????4 分

所以切线方程是 y ? ?2.

( ? (Ⅱ)函数 f ( x) ? 2ax ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域是 0, ?) ??????5 分 .
2ax ? ( a ? 2) x ? 1 x
2

当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ?

1 x

?

( x ? 0)

令 f ' ( x) ? 0 ,即 f ' ( x) ? 当0 ? 当1 ? 当
1 a 1 a 1

2ax ? ( a ? 2) x ? 1 x

2

?

( 2 x ? 1)(ax ? 1) x

? 0,

所以 x ?

1 2

或x?

1 a

.??7 分

? 1 ,即 a ? 1 时, f (x ) 在[1,e]上单调递增,所以 f (x ) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ?2 ;

1 ? e 时, f (x ) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; a a

? e 时, f (x ) 在(1,e)上单调递减,

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意??????8 分 (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax 2 ? ax ? ln x ,
1 x 2ax ? ax ? 1 x
2

( ? 只要 g (x) 在 0, ?) 上单调递增即可.??????9 分
1 x

而 g ' ( x) ? 2ax ? a ?

?

当 a ? 0 时, g ' ( x) ?

( ? 上单调递增;????????10 分 ? 0 ,此时 g (x ) 在 0, ?)
2

( ? 当 a ? 0 时,只需 g ' ( x) ? 0 在 0, ?) 上恒成立,因为 x ? (0,??) ,只要 2ax ? ax ? 1 ? 0 ,

则需要 a ? 0 ,????????????12 分 对于函数 y ? 2ax 2 ? ax ? 1 ,过定点(0,1) ,对称轴 x ?
1 4 ? 0 ,只需 ? ? a ? 8a ? 0 ,
2

即 0 ? a ? 8 . 综上 0 ? a ? 8 . ??????????????????12 分 http://wx.jtyjy.com/ 22、 (1)∵ PA 是切线,AB 是弦,∴ ∠BAP=∠C, 又 ∵ ∠APD=∠CPE,∴ ∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵ ∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE,∴ ∠ADE=∠AED。 (2)由(1)知∠BAP=∠C,又 ∵ ∠APC=∠BPA, ∴ △APC∽△BPA, ∴
PC PA ? CA AB



∵ AC=AP, ∴ ∠APC=∠C=∠BAP,由三角形内角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°, ∵ BC 是圆 O 的直径,∴ ∠BAC=90°, ∴ ∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°, ∴ ∠C=∠APC=∠BAP=
1 3

×90°=30°。 在 Rt△ABC 中,

CA AB

= 3, ∴

PC PA

?

CA AB

= 3。

23、解: (Ⅰ) y 2 ? 2ax, y ? x ? 2 .

? 2 t ? x ? ?2 ? ? 2 ??.5 分(Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数), 2 ? y ? ?4 ? t ? 2 ?

代入 y 2

? 2ax

, 得到 t 2

? 2 2 (4 ? a )t ? 8 (4 ? a ) ? 0 ,?7



则有 t1 ? t2

? 2 2 (4 ? a ),
a ? 1 .?10

t1 ? t2 ? 8 (4 ? a )

.

因为 | MN |2 ? | PM | ? | PN | ,所以 (t1 ? t2 ) 2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1 ? t2 ? t1 ? t2 . 24、解: (1)f (x)=|x-a|≤3,即 a-3≤x≤a+3.依题意,?

解得



?a-3≤-1, ?a+3≥3.

由此得 a 的取值范围是[0,2].????? 5 分 (2)f (x-a)+f (x+a)=|x-2a|+|x|≥|(x-2a)-x|=2|a|.

?7 分

当且仅当(x-2a)x≤0 时取等号. 1 故 a 的最小值为 4 .?10 分

解不等式 2|a|≥1-2a,得 a≥

1 . 4


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