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江苏省淮安市洪泽中学2013-2014学年高一年级期末模拟测试 数学

2013~2014 学年高一年级期末模拟测试测试

数 学 试 题
一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1、 (ln 5)
0

9 ? ( ) ?0.5 ? (1 ? 2 ) 2 ? 2 log 2 = 4
4



.

2、函数 y ? a

x ?2

? 1(a ? 0, a ? 1) 不论 a 为何值,恒过定点为

▲ ▲

. . ▲ . . .

3、函数 y ? cos( ?x ?

?
6

) 的最小正周期为

? ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 5
?

4、已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( 0 ? ? ? ? , ? ? 0 )为偶函数,则 ? = 5、若正方形ABCD的边长为1, AB ? a , BC ? b ,则

??? ?

?

??? ?

a?b =
.



6、已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所对的弧长是 ▲ 7、已知 tan ?

? 2 ,则 sin ? ? cos ? =




8、在下列结论中,正确的命题序号是

. (填序号)

①若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ②模相等的两个平行向量是相等的向量; ③若 a = b ,则 a 和 b 都是单位向量; ④两个相等向量的模相等。 ⑤ AB ? BC ? CD ? DA ? 0 9、函数 y ? lg ?1 ? tan x ? 的定义域是
2 2



.

10、已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 1) x ? (a ? 2) 的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小, 则实数 a 的取值范围_____▲____. 11、设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x ? a ( a 为常数) ,
x

则 f (?1) ?



.

12、将函数 f(x)=sin(2x- 原来的

? ? )的图象向左平移 个单位,再将图象上各点的横坐标压缩到 3 3
▲ .

1 , 那么所得到的图象的解析表达式为 2

13、定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足

f (x ?

?
2

?? ) ? ? f ? x ? ,且当 x ? ? ?0, ? 时,
? 2?

f ( x) ? sin x ,则 f (

5? ) 的值是____▲____. 3

第1页

14、对实数 a 和 b ,定义运算 "?": a ? b ? ?
2 2

?a a ? b ? 1 , ?b a ? b ? 1

设函数 f ( x) ? ( x ? 2) ? ( x ? x ), x ? R 。若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个 公共点,则实数 c 的取值范围是 二、解答题(共 6 大题,共 90 分) 15、 (本小题满分 14 分) 已知集合 A = ▲ .

{x y =

x 2 - 5x - 14 ,集合 B ? {x | y ? lg(? x 2 ? 7 x ? 12)} ,

}

集合 C ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} 。 (1)求 A ? B ; (2)若 A ? C ? A ,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分)

3 , (?180? ? ? ? ?90? ) ,求 sin(105? ? ? ) ? cos(375? ? ? ) 值; 5 7 (2) 在△ABC 中,若 sin A ? cos A ? ? ,求 sinA-cosA, tan A 的值. 13
(1)若 cos(75? ? ? ) ?

17、 (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) = A sin(2? x ?

?
3

) ? m (A>0, ? >0)的图象 y 轴右侧的第一个最大值、

最小值点分别为 P(x0,2+m)和 Q( x0 ? ⑴若 f ( x) 在 [?

?
2

,-2+m)。

? ?

, ] 上最大值与最小值的和为 5,求 m 的值; 4 6

⑵在⑴的条件下用“五点法”作出 f ( x) 在 ? ?

? ? 5? ? , 上的图象。 ? 3 6 ? ?

第2页

18、 (本小题满分 15 分) 有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次是 P 和 Q(万元) ,它们与投入的资金 t (万元)的关系满足公式 P= t ,Q=

1 5

3 t ,现将 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品,设投入甲的资 5

金为 x 万元,获得的总利润为 y(万元). (1)用 x 表示 y,并指出函数的定义域; (2)x 为何值时,y 有最大值,并求出这个最大值.

19、 (本小题满分 16 分) 已知 f ( x) ? lg

a?x , 1? x

⑴若 f ( x) 在(-1,5]内有意义,求 a 的取值范围; ⑵若 f ( x) 为奇函数, ①判断 f ( x) 的单调性并证明; ②若不等式

9? ? f ( x) ? m ? 0 在区间 ? ? 1, ? 上恒成立,求 m 的范围。 ? 11?

20、 (本小题满分 16 分)
第3页

已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 , g ( x) ? A sin( x ?
2

?
6

( A? 0) ),

(1)当 0 ≤ x ≤

? 时,求 y ? f (sin x) 的最大值; 2

(2)若对任意的 x1 ? ? 0,3? ,总存在 x2 ? ? 0,3? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 求实数 A 的取值范围; (3)问 a 取何值时,方程 f (sin x) ? a ? sin x 在 ?0,2? ? 上有解?

2013~2014 学年高一年级期末模拟测试

数 学 试 题 答 案
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1、

2 3

2、 (2,2)

3、10

4、

? 2

5、

2

6、

2 sin 1

7、

2 5

8、④

? ?? ? 9、 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? 10、 (-2,1) 11、-2 2 4? ?
13、

12、 y=sin(4x+

? ) 3

3 2

14、 ? 2 ? c或 ? 1 ? c ? ?

3 4

二、解答题(共 6 大题,共 90 分) 15. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ A ? (??,?2] ? [7,??) ,………………………………………………2 分

B ? (?4,?3) ,
∴ A ? B ? (?4,?3) .… (2) ∵ A ? C ? A

………………………………………………4 分 ……………………………………………6 分

∴ C ? A .………………………………8 分

① C ? ? , 2m ? 1 ? m ? 1,∴ m ? 2 .……………………………………10 分 ② C ? ? ,则 ?

?

m?2

?2m ? 1 ? ?2

或?

? m?2 . ?m ? 1 ? 7

∴m ? 6. 综上, m ? 2 或 m ? 6

………………………………………………12 分 …………………………14 分
第4页

16、解: (1) sin(105 ? ? ) ? sin[180 ? (75 ? ? )] ? sin(75 ? ? )
0 0 0 0

∵ ?1800 ? ? ? ?900 ∴ ?1050 ? 750 ? ? ? ?150 ∴ ?900 ? 750 ? ? ? ?150 ∴

又 cos(750 ? ? ) ?

3 ?0 5

sin(750 ? ? ) ? ?

4 5 4 5

cos(3750 ? ? ) ? cos(150 ? ? ) ? cos[900 ? (750 ? ? )] ? sin(750 ? ? ) ? ? 8 ………………………… 7 分 5 7 (2)由 sin A ? cos A ? ? 两边平方得 13
∴原式 ? ? 而0 ? A?? ∴

1 ? 2sin A cos A ?

49 169

2sin A cos A ? ?

?
2

? A?? 17 2 ) 13

120 ?0 169 289 ∴ 1 ? 2sin A cos A ? 169

即 (sin A ? cosA)2 ? ( 又 sin A ? cos A ? 0

sin A ? cos A ?

17 13

5 ? sin A ? ? ? 13 ∴? ?cos A ? ? 12 ? 13 ?
17、解:由题意知 ?

∴ tan A ? ?

5 ……………………14 分 12

?A ? m ? 2 ? m ? ? A ? m ? ?2 ? m

∴ A?2

T?

?
2

?2 ?? ?

2? 2?

∴? ?1

∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? (1)∵ x ? [? ∴?

?
3

)?m

…………………………5 分

? ?

?
6

, ] 4 6

? 2x ?

?

2 ? ? 3 3

1 ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3

∴ f ( x)max ? 2 ? m ∴ 2 ? m ?1 ? m ? 5 ⑵五点法作图略

f ( x)min ? ?1 ? m
∴m ? 2 …………………………10 分 …………………………15 分

第5页

18、解:设对甲种商品投资 x 万元,获总利润为 y 万元, 则对乙种商品的投资为(3-x)万元,y=
2

1 3 x+ 5 5

3 ? x (0≤x≤3).

令 t= 3 ? x (0≤t≤ 3 ),则 x=3-t ,

1 3 1 1 3 21 2 (3-t )+ t= (3+3t-t2)=- (t- )2+ ,t∈[0, 3 ]. 5 5 5 5 2 20 3 21 ∴当 t= 时,ymax= =1.05(万元); 2 20 3 由 t= 可求得 x=0.75(万元), 2 3-x=2.25(万元),
∴y= ∴为了获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入应分别为 0.75 万元和 2.25 万元,获得最高利润 1.05 万元. 19、 (本题满分 16 分) 解:⑴∵若 f(x)在(-1,5]内恒有意义,则在(-1,5]上 ∵x+1>0∴ a ? x ? 0 ∴a ? 5

a?x ?0 1? x

∴ a >x 在(-1,5]上恒成立 ??????????(4 分)

⑵ ∵f(x)为奇函数∴f(x)+f(-x)=0 ∴ lg

a?x a?x (a ? x)( a ? x) ? lg ?0 ∴ ?1 1? x 1? x 1? x2 ∴ a ? 1 ???????????????? (7 分)

另解:∵f(x)为奇函数且 f ( x) 在 x ? 0 处有定义,∴ f (0) ? 0 ∴ a ? 1 经检验: a ? 1 满足题意。 ① f ( x) ? lg

1? x 的定义域为 ?? 1,1? 1? x

函数 f ( x) 在定义域上为单调减函数。??????????(8 分) 证明(略)??????????(12 分) ②∵函数 f ( x) 在 ?? 1,1? 上为减函数 ∴ f ( x) 在 ? ? 1,

? ?

9 9? 时f ( x) ? ?? 上为减函数且 f ( ) ? ?1 , x ? ?1 ? 11? 11

(另解:用换元法求值域。 ) ∴

f ( x) 的值域为 ?? 1,??? ?????(15 分)
???????(16 分)
2

∴ m ? ?1

20.解: (1) y ? f (sin x) ? 2sin x ? 3sin x ? 1

设 t ? sin x, x ? [0,

?
2

] ,则 0 ? t ? 1

第6页

3 3 1 t ) ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ∴当 t ? 0 时, ymax ? 1?????(5 分) 2 4 8 1 (2)当 x1 ? [0,3] ∴ f ( x1 ) 值域为 [? ,10] 8 ? ? ? 1 ? 当 x2 ? [0,3] 时,则 ? ? x2 ? ? 3 ? 有 ? ? sin( x2 ? ) ? 1 6 6 6 2 6 1 ①当 A ? 0 时, g ( x2 ) 值域为 [? A, A] 2 1 ②当 A ? 0 时, g ( x2 ) 值域为 [ A, ? A] 2
∴ y ? 2(t 2 ? 而依据题意有 f ( x1 ) 的值域是 g ( x2 ) 值域的子集

? ?A ? 0 ? 则 ?10 ? A ? 1 1 ?? ? ? A 2 ? 8



? ?A ? 0 ? 1 ? ?10 ? ? A 2 ? ? 1 ? ?A ? ? 8
?????(11 分)

∴ A ? 10 或 A ? ?20

(3) 2sin 2 x ? 3sin x ? 1 ? a ? sin x 化为 2sin 2 x ? 2sin x ? 1 ? a 在 [0, 2? ] 上有两解 换 t ? sin x 则 2t 2 ? 2t ? 1 ? a 在 [?1,1] 上有解:
2

法一:令 g (t ) ? 2t

?1 ? ?1 ? ? 2t ? 1 t ? ?? 1,1? 则 g (t ) ? ? ,5? ,∴ a ? ? ,5? ?2 ? ?2 ?
? 2t ? 1 ? a, t ? ?? 1,1? ① ? ? 0 时得 a ?
综上所述 a ? ?

法二:令 g (t ) ? 2t

2

1 ; 2
?????(16 分)

②?

? ??0 1 得 ?a?5 ? g ( ?1) ? 0 2

?1 ? ,5 ?2 ? ?

2013~2014 学年高一年级期末模拟测试

数 学 试 题 答 题 纸
成绩 一.填空题: (本大题共 14小题,每小题 5 分,计70 分) 1. 4. 7. 2. 5. 8.
第7页

3. 6. 9.

10. 13.

11. 14.

12.

二.解答题(本大题共 6 小题,计90 分) 15.(本题材14 分) 解:

16.(本题材14 分) 解:⑴



17. (本题材15 分) 解:⑴

第8页

y


x o

18.(本题材15 分) 解:

19.(本题材16 分) 解:

第9页

20. (本题材16 分) 解:

第 10 页


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