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广东省东山中学09-10学年高一上学期期中考试(数学)

东山中学 09-10 学年高一上学期中期中考试 数 学

命题人、校对人:第一板块数学小组 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分). 1.设全集 U ? ? ?3, 2? , 已知集合 A ? ? ?1,2? , ,则 CU A ? ? A. ? ?1, 2? B. ? ?3, ?1? C. ? ?3, ?1? D. ? ?3, ?1?

?.

2.下列计算中正确的是 ? A. x ? x ? x
3 3 6

?.
C. lg ? a ? b? ? lg a? b lg D.

B. ln e ? 1

?3a b ?
?.

2 3 2

? 9a 4 b 9

3.已知 f ? x ? ? loga x ? a ? 0且a ? 1? , 且f ? 2? ? 1, 则f ? x ? ? ? A. log 2 x B.

1 2x

C. log 1 x
2

D. 2

x? 2

?1? 4.函数 y ? ? ? ?2?

x ?1

?1? ? 2 的图像可以由函数 y ? ? ? 的图像经过下列哪个平移得到 ? ?2?

x

?.

A.向左平移1个单位,再向上平移2个单位 B.向左平移1个单位,再向下平移2个单位 C.向右平移1个单位,再向上平移2个单位 D.向右平移1个单位,再向下平移2个单位 5.下列四个函数中,在 ? 0,+?? 上为增函数的是 ? A. f ? x ? ? 3 ? x B. f ? x ? ? x ? 3x
2

?.
1 x
D. f ? x ? ? ? x

C. f ? x ? ? ?

?1? 6.函数 y ? ? ? , ? ?1 ? x ? 2 ? 的值域是 ? ? 3?
A. ? 0,??? B. ? 0,1? C. ? ,3? 9

x

?.
?1 ?9 ? ?

?1 ?

? ?

D. ? ,3 ?

7.函数 y ? lg x 的图象大致是 ?

?.

A

B

C

D

8.若 f ? x ? 是偶函数,其定义域为 ? ??, ??? ,且在 ?0,??? 上是减函数,则 f ? ?

? 3? ?与 ? 2?

?5? f ? ? 的大小关系是 ? ?2?
A. f ? ? ? ? f ? ?

?.
B. f ? ? ? ? f ? ?

? 3? ? 2?

?5? ?2?

? 3? ? 2?

?5? ?2?

C. f ? ? ? ? f ? ?

? 3? ? 2?

?5? ?2?

D. f ? ? ? ? f ? ?

? 3? ? 2?

?5? ?2?

9.若 ? ? x ? , g ? x ? 都是奇函数, f ? x ? ? a? ? x ? ? bg ? x ? ? 2 在 ? 0,??? 上存在最大值 5,则

f ? x ? 在 ? ??,0? 上存在 ?
A. 最小值-5
2

?.
1 C. 最小值-
D. 最大值-3

B. 最大值-5

10.函数 f ? x ? ? ?x ? 4x ? a, g ? x ? ? 2x ? 1, 当 x ?? ?4,0? 时, 恒有 f ? x ? ? g ? x ? , a 的 则 取值范围是 ? A. ? ??,1?

?.
C. ? ??, ?8? D. ? ??,5?

B. ? ??, ?7?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分). 11.若函数 f ? x ? ? x ? bx ? c 是偶函数,则 b ? ______ .
2

12. 1.1 ? 0.5 ? lg 25 ? 2lg 2 ? ______.
0

?2

13.若 a ? 0.3 , b ? log2 0.3, c ? 2 ,则 a, b, c 的大小关系为 ______.
2 0.3

14.已知 f ? x ? ? ?

? x 2 ? 1, ? x ? 0 ? ? ,若 f ? x ? ? 10 ,则 x ? ______ . ??2 x, ? x ? 0 ? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分). 15.(本小题满分 12 分)

用函数奇偶性定义证明: f ? x ? ? log 3

1? x , (?1 ? x ? 1) 为奇函数. 1? x

16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

3x ? lg ? x ? 3? ,其定义域为 A ,集合 B ? ? ?2, 2? , 1? x

(1)求 f ? x ? 的定义域 A ; (2)设全集 U ? R, 求 A ? CU B .

17.(本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ? x? ?

x2 (a, b为常数) 且 方 程 f ? x ?-x ? 12 ? 0 有 两 个 实 数 根 为 ax ? b

x1 ? 3, x2 ? 4 ,求函数 f ? x ? 的解析式.

18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? 2x ? 2? x , (1)用函数单调性定义证明: f ? x ? 在 ? 0,??? 上为单调增函数; (2)若 f ? x ? ? 5? ? x ? 3 ,求 x 的值. 2

19.(本小题满分 14 分) 某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 台,需要增加可变成 本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收入函数为

R ? x ? ? 5x ?

x2 ? 万元?? 0 ? x ? 5? ,其中 x 是产品售出的数量(单位:百台), 求: 2

(1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时,工厂所得利润最大?

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ? ? , x ? ? ?1,1? ,函数 g ? x ? ? ? f ? x ? ? ? 2af ? x ? ? 3 的最小值为 h(a) , ? ?
2

?1? ? 3?

x

求: (1) h(a) 的表达式; (2)是否存在 m, n 同时满足下列条件: ① m ? n ? 3 ,②当 h(a) 的定义域为 ?n, m? 时,值域
2 2 为 ? n , m ? ?若存在,求出 m, n 的值;若不存在,说明理由. ? ?

广东梅县东山中学 2009—2010 学年第一学期高一数学期中考试题 参考答案及评分标准

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分).
题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 B 5 C 6 C 7 C 8 A 9 C 10 C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分).
11.0 12.-1 13. c ? a ? b 14.-3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分).
15.(本小题满分 12 分) 证明:由题意可知, f ( x)的定义域为(?1,1) 又 f (? x) ? log 3
1? x …………………4 分 1? x
?1

? 1? x ? ? log3 ? ? ? 1? x ?
? ? log 3

……………8 分

1? x ? ? f ( x) 1? x

? f ( x)为奇函数 ………………12 分

16.(本小题满分 14 分) 解:(1)由题意,得

?x ? 3 ? 0 …………………………3 分 ? ?1 ? x ? 0
??3 ? x ? 1

……………………6 分

即定义域 A ? ? ?3,1? ……………7 分 (2) ? B ? ??2,2?,U ? R

?CU B ? ? ??, ?2? ? ? 2, ??? ……11 分 ? A ? CU B ? ? ?3, ?2? …………14 分
17.(本小题满分 12 分)
x2 ? x ? 12 ? 0 的两个实数根为 x1 ? 3, x2 ? 4 ,则 解:由题意可知,方程 ax ? b

? 9 ? 3a ? b ? 3 ? 12 ? 0 ? ……4 分 ? ? 16 ? 4 ? 12 ? 0 ? 4a ? b ?
? f ( x) ?

?3a ? b ? ?1 ?a ? ?1 即? ……6 分 ? ? ……8 分 ?4a ? b ? ?2 ?b ? 2

x2 ………………………12 分 ?x ? 2

18.(本小题满分 14 分) (1)证明:设 x1 , x2 是 ? 0,??? 任意的两个数且 x1 ? x2 , ……………………2 分 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2x1 ? 2? x1 ? 2x2 ? 2? x2
? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2 x1 1 ? ? ? 2 x1 ? 2 x2 ?1 ? x1 x2 ? ………………4 分 x1 x2 2 ?2 ? 2 ?2 ?

?

?

? 0 ? x1 ? x2 , y ? 2 x 是增函数 ? 2x2 ? 2x1 ? 1
? 2 x1 ? 2 x2 ? 0,1 ? 1 ? 0 ……………………………………6 分 2 ?2 x2
x1

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x)在? 0, ??? 上是单调增函数 ………………………………8 分
(2)解:由题意可知,
2x ? 2? x ? 5?2? x ? 3
1 5 令 2x ? t,(t ? 0) ,则 t ? ? ? 3 ……………………………………10 分 t t

解,得 t ? ?1(舍去)或者t ? 4 即 2x ? 4

………………………………………12 分

? x ? 2 ………………………………………………………………14 分 19.(本小题满分 14 分) 解:(1)设年产量为 x (百台),则生产的总成本为 0.5 ? 0.25x ……………………2 分

当 0 ? x ? 5 时,利润为 y ? 5 x ?

x2 ? ? 0.5 ? 0.25 x ? 2

? ?0.5x2 ? 4.75x ? 0.5

………………………6 分

? 52 ? 当 x ? 5 时,利润为 y ? ? 5 ? 5 ? ? ? ? 0.5 ? 0.25 x ? 2? ?
? 12 ? 0.25x ………………………………………8 分

??0.5 x 2 ? 4.75 x ? 0.5, 0 ? x ? 5 ………………………10 分 ? 利润函数为y ? ? ?12 ? 0.25 x, x ? 5
(2)当 0 ? x ? 5 时, y ? ?0.5x2 ? 4.75x ? 0.5 当 x ? 4.75 时, ymax ? 10.78125万元
?生产475台时利润最大

………………………………………………14 分

20.(本小题满分 14 分)

?1? ?1? 解:(1)由题意可知, g ( x) ? ? ? ? 2a ? ? ? 3 ? 3? ? 3?
?1 ? ?1? 令 ? ? ? t , t ? ? ,3? , …………………………2 分 ?3 ? ?3?
x

2x

x

则 y ? t 2 ? 2at ? 3 ? ? t ? a ? ? 3 ? a 2 ………………3 分
2

1 28 2 ? a; 当 a ? 时, h(a) ? ymin ? 3 9 3 1 当 ? a ? 3 时, h(a) ? ymin ? 3 ? a2 ; 3

当 a ? 3 时, h(a) ? ymin ? 12 ? 6a; …………………6 分
1 ? 28 2 ? 9 ? 3 a, a ? 3 ? 1 ? ? h(a ) ? ?3 ? a 2 , ? a ? 3 …………………………8 分 3 ? ?12 ? 6a, a ? 3 ? ?

(2)假设存在满足题意的 m, n
?m ? n ? 3

? h(a) ? 12 ? 6a, 且在(3, ??)上是减函数 ……………10 分
? h(a)定义域为? n, m ? , 值域为 ? n 2 , m 2 ? ? ?

?12 ? 6m ? n 2……?1? ? ………………………………12 分 ?? 2 ?12 ? 6n ? m ……? 2 ? ?

由? 2 ? ? ?1? ,得6 ? m ? n ? ? ? m ? n ?? m ? n ? ?m ? n ? 3 ?m ? n ? 6 但与m ? n ? 3矛盾
?不存在满足题意的m, n ……………………………14 分


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