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解析版北京市石景山区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题


北京市石景山区 2014—2015 学年高三第一学期期末考试试卷数学理 高三数学(理) 本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后 上交答题卡. 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

0, 1, 2?, 1.已知集合 A ? ?? 1,
A. ?2? 答案:B

B ? ?x x ? 1?

,则

A

B ?(

)

1 , 2? B. ?

C. ?? 1 , 2?

D. ?? 1, 1, 2?

解析:两个集合的公共元素组成的集合为两个集合的交集 2.下列函数中,在 (0, ? ?) 上单调递减的是( )

A. f ( x) ? ln x 答案:D

B. f ( x) ? ( x ? 1)

2

C. f ( x) ? x

3

f ( x) ?
D.

1 x ?1

? 1 ? 1 1 f ?? x? ? ? ? f ( x) ? f ( x) ? ? ? 0 ? x ? ? 0, ?? ? ? x ? 1 的导数为 x ? 1 在 (0, ? ?) 上单 ? x ?1 ? 解析: 函数 故
调递减满足要求

2

? x ? ?1 ? 3cos ? , ? y ? 3sin ? 3.点(1,2)与圆 ? 的位置关系是(
A.点在圆内 C.点在圆上 答案:A B.点在圆外 D.与 ? 的值有关



? x ? ?1 ? 3cos ? , 2 2 ? ? x ? 1? ? y 2 ? 9 ,因为 ?1 ? 1? ? 22 ? 8 ? 9 故点在圆内 y ? 3sin ? 解析:圆 ? 等价于圆
4. 某程序框图如右图所示,该程序运行输出的 k 值是( )

开始 k=0 S= 100 否

S>0 是
S = S-2k k=k+1

输出 k 结束

A.4 答案:D

B.5

C.6

D.7

解析:计算步骤如下 5.以 q 为公比的等比数列 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案:B 解析:在等比数列中
2

?an ?中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a3 ”是“ q ? 1 ”的(
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



a1 ? a3 ? a1 ? a1q 2 ? a1 ? q 2 ? 1? ? 0
2

q2 ? 1 ? 0 a ? 0 1 因为 故上式等价于

?

?

因为 q ? 1 ? q ? 1 但 q ? 1 ? q ? 1故选 B

6. 如果实数 x , y 满足不等式组 值为( A.1 答案:B ) B.2

? x ? y ? 3 ? 0, ? ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? x ? 1. ?
D.4

目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 6, 最小值为 0, 则实数 k 的

C.3

解析:作出可行域: 目标函数 z ? kx ? y 变形为 y ? kx ? z 由题可知 0 ? z ? 6 即函数 y ? kx ? z 的截距范围是 [?6, 0]

根据线性规划的知识则有

可知 k=2

7.如图

,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, )

则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( A. 2 2 C. 2 3 答案:D B. 6 D. 3

解析:作出直观图

其主视图为

侧视图为

俯视图为

计算可知最长棱为 DC=3

?1,1? ,图象如图 1 所示;函数 g ( x ) 的定义域为 ? ?2,2? ,图象如图 2 所示,方 8. 函数 f ( x ) 的定义域为 ?
程 f ( g ( x )) ? 0 有 m 个实数根,方程 g ( f ( x )) ? 0 有 n 个实数根,则 m ? n ? ( y 1 -1 O -1
图1

)

y 1 1 x -2 -1 1 2 x

O -1
图2

A.6 答案:C

B. 8

C. 10

D. 12

g ? x ? ? ?1或g ? x ? ? 0或g ? x ? ? 1 解析:方程 f ( g ( x )) ? 0 等价于方程 由图可知共 7 个根,即 m=7;
方程 g ( f ( x )) ? 0 等价于方程

f ? x? ? 0

由图可知共 3 个根,即 n=3,则 m ? n ? 10

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

Z2 ? Z Z ? 1 ? i Z ? 3 ? i 1 1 2 9.若复数 , ,则 1-2i
答案:



解析: 10.

Z2 3 ? i ?3 ? i ? ? ?1 ? i ? ? ? ? 1 ? 2i Z1 1 ? i ?1 ? i ? ? ?1 ? i ?
为等差数列,

?an ?

a1 ? 1, d ? 0 , a1 , a2 , a5 成等比数列,则 a2015 ? 4029.
2

答案: 解析:因为 ∴
2 a1 , a2 , a5 成等比数列,所以 a1 ? a5 ? a2 ? a1 ? ? a1 ? 4d ? ? ? a1 ? d ? ? d ? 2

a2015 ? a1 ? ?2015 ?1? d =4029

11.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中 ?BAD ? 60? , E 为 CD 中点,则 AE ? BD= 1. D E C

A 答案: 解析:

B

AE ? BD ? AD ? DC ? BD ? AD ? BD+ DC ? BD=2 ? 2 ? cos 60? ? 1? 2 ? cos 120? ? 1

?

?

y2 ? x2 ? 1 y ? ax 3 12.若抛物线 的焦点与双曲线 的焦点重合,则 a 的值为
2



1 答案: 8 ?

? 1 ? y2 1 a?? ? x2 ? 1 ? 0, ? 2 0 , ? 2 ? ? y ? ax 8 解析:抛物线 的焦点为 ? 4a ? 3 的焦点为 故
B

13. A , B 两地街道如图所示 数字作答). 答案:

A

, 某人要从 A 地前往 B 地, 则路程最短的走法有 10 种 (用

解析:要使路程最短,只能向右走三步向上走两步后才能从 A 地前往 B 地,则可以选择的走法有 种 14. 设 A 为非空实数集,若 ?x, y ? A ,都有 x ? y, x ? y, xy ? A ,则称 A 为封闭集. ①集合 A ? ?? 2 , ? 1 , 0 , 1 , 2?为封闭集;

2 C5 ? 10

n | n ? 2k , k ? Z ?为封闭集; ②集合 A ? ?
③若集合 A1 , A2 为封闭集,则 A1 ? A2 为封闭集; ④若 A 为封闭集,则一定有 0 ? A . 其中正确结论的序号是②④. 答案: 解析:对于①,有 ?2 ? 2 ? A 非封闭集;

A ? ?n | n ? 2k , k ? Z ?为全体偶数构成的集合, 对于②, 易知两个偶数之间的加减乘运算的结果仍为偶数,
故满足封闭集定义; 对于③考虑

A1 ? Z

?x | x ? a ? b
A2 )

2, a ? Z , b ? Z

?



A2 ? Z

?x | x ? a ? b

3, a ? Z , b ? Z

? 易知

, x2 ? 1 ? 3 ? A A1 , A2 为 封 闭 集 , 但 A1 ? A2 不 满 足 封 闭 集 定 义 ( 取 x1 ? 1 ? 2 ?A1 2 但 x1 ? x2 ? 2 ? 2 ? 3 ? A1

对于④,若 A 为封闭集,根据封闭集的定义,则 ?x ?

A 必有 x ? x ? 0 ? A



三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) C D E

如图所示

A

B

,在四边形 ABCD 中, AB ? DA , CE ?

7,

?ADC ?

2? ? ?BEC ? 3 ; E 为 AD 边上一点, DE ? 1 , EA ? 2 , 3.

(Ⅰ)求 sin∠CED 的值; (Ⅱ)求 BE 的长.

sin ?CED ?
答案:(Ⅰ)

21 7 (Ⅱ) BE

?4 7

解析:(Ⅰ)设 ?CED ? ? .在 ?CED 中,由余弦定理,得

CE 2 ? CD2 ? DE 2 ? 2CD ? DE ? cos ?CDE
得 CD2+CD-6=0,解得 CD=2(CD=-3 舍去).

…………………2 分 …………………4 分

在 ?CED 中,由正弦定理,得

sin ?CED ?

21 7

…………………6 分

? ?? (0, )
(Ⅱ)由题设知

3 ,所以

cos ? ?

2 7 7

…………………8 分

?AEB ?


2? ?? 3 ,所以

cos ?AEB ? cos (

2? 2? 2? ? ?) =cos cos ? ? sin sin ? 3 3 3

1 3 1 2 7 3 21 7 = ? cos ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 7 2 7 14 . ………………11 分

在 Rt ?EAB 中,

BE ?

2 ?4 7 cos ?AEB .

…………………13 分

16.(本小题共 13 分) 某次数学考试共有 8 道选择题,每道选择题有 4 个选项,其中有且只有一个选项是正确的.某考生有 4 道题 已选对正确答案,还有两道题能准确排除每题中的 2 个错误选项,其余两道题完全不会只好随机猜答. (Ⅰ)求该考生 8 道题全答对的概率; (Ⅱ) 若评分标准规定:“每题只选一个选项,选对得 5 分,不选或选错得 0 分”,求该考生所得分数 的分布列.

P ( A) ?
答案:(Ⅰ)

1 64 (Ⅱ)

解析:(Ⅰ)该考生 8 道题全答对为事件 A ,依题意有

1 1 1 1 1 P( A) ? ? ? ? ? 2 2 4 4 64 .

…………………3 分

(Ⅱ)该考生所得分数为 X ,则 X 的所有可能取值为 20, 25,30,35, 40 . ……4 分

P( X ? 20)

?

1 1 3 3 9 ? ? ? ? 2 2 4 4 64 ,

……6 分

1 1 3 2 3 3 3 1 1 2 P( X ? 25) ? C1 2 ( ) ? (1 ? ) ? ( ) ? C 2 ( ) ? (1 ? ) ? ( ) ? 2 2 4 2 4 4 8,

……8 分

1 2 3 2 1 1 1 3 1 1 1 11 P( X ? 30) ? ( ) ? ( ) +C2 ( ) ? (1 ? ) ? C1 ( ) ? ( )2 ? ( )2 = 2 ?( )? 2 4 2 2 4 4 2 4 32
……10 分

1 1 1 2 3 3 1 1 1 2 P( X ? 35) ? C1 2 ( ) ? (1 ? ) ? ( ) ? C 2 ( ) ? (1 ? ) ? ( )= 2 2 4 2 4 4 8
P ( X ? 40) ? 1 64

……12 分

X 分布列为:

……………13 分

17.(本小题共 14 分)
A

M P Q B C D





,









A ? BCD



,

AD ?





B

C D? CD, AD ? 2, BD ? 2 2 . M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点. , BC

(Ⅰ)求证:平面 ABC ? 平面 ADC ; (Ⅱ)若点 Q 在线段 AC 上,且满足 AQ ? 3QC ,求证: PQ // 平面 BCD ; (Ⅲ)若 ?BDC ? 60? ,求二面角 C ? BM ? D 的大小.

? 答案:(Ⅰ)(Ⅱ)略(Ⅲ) 3
解析:(Ⅰ)? AD ? 面BCD , BC ? 面BCD ? AD ? BC

………………2 分

? BC ? CD 且 AD ? CD ? D ? BC ? 面ACD

? BC ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD

………………4 分

(Ⅱ)证明:如图所示

,取 BD 中点 O,且 P 是 BM 中点,

所以 PO // MD 且

PO ?

1 MD 2 ;

取 CD 的四等分点 H,使 DH=3CH, 且 AQ =3QC, 所以, PO // QH 且 PO ? QH , 所以,四边形 OPQH 为平行四边形, 所以 PQ // OH ,且 OH ? BCD , 所以 PQ//面 BDC. ……………………9 分

(III)如图建系, 则 C (0,0,0) , B(0, 6 ,0) , M ( 2 ,0,1) , D( 2 ,0,0) 设面 CBM 的法向量 n ? ( x, y, z) ……………………10 分

CB ? (0, 6,0) , CM ? ( 2,0,1)

? ? ?n ? CB ? 0 ? 6y ? 0 ? ? ? ? 2x ? z ? 0 ?n ? CM ? 0 ,即 ?
令 x ? 1 ,则 n ? (1,0,? 2 ) 设面 BMD 的法向量 m ? ( x, y, z) ……………………11 分

BD ? ( 2 ,? 6 ,0) DM ? (0,0,1)

? ?m ? BD ? 0 ? 2 x ? 6 y ? 0 ? ? ? ?m ? DM ? 0 即 ? z ? 0

令 y ? 1 , 则 m ? ( 3,1,0)

……………………12 分

cos ? n, m ??

1 2
…………………14 分

所以二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 ? 18.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? a x (a ? R且a ? 0) .
2 2

(Ⅰ)若 x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

a= 答案:(Ⅰ)

1 1 1 (0, ) ( , ??) 2 或 a = 1 (Ⅱ)当 a > 0 时单调递增区间是 a ,单调递减区间是 a (0, ? 1 1 ) (? , ??) 2 a ,单调递减区间是 2a .

a < 0 时单调递增区间是

解析:(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) .

………………1 分

f '( x) =

- 2a 2 x 2 + ax + 1 1 + a - 2a 2 x = x x .

………………3 分

2 因为 x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点,所以 f '(1) = 1+ a - 2a = 0 .…………5 分

a= 解得

1 2 或 a = 1. 1 2 或 a = 1 时, x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点.

a= 经检验,

……………6 分

- 2a 2 x 2 + ax + 1 1 2 f '( x) = + a - 2a x = x x (Ⅱ)由(Ⅰ)知: .
f '( x) = (2ax + 1)(- ax + 1) 1 1 = 0 x1 = , x2 = x 2a a .……9 分 ,解得

由 a ? 0 ,令

当 a > 0 时,

f '( x), f ? x ?

的变化情况如下表

1 1 (0, ) ( , ??) a ,单调递减区间是 a ∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是 ;…………11 分

当 a < 0 时,

f '( x), f ? x ?

的变化情况如下表

∴函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是

(0, ?

1 1 ) (? , ??) 2 a ,单调递减区间是 2a .…13 分

19.(本小题共 14 分)

3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 1) . b 已知椭圆 a 的离心率为 2 ,且过点 B (0 ,
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)直线 l : y ? k ( x ? 2) 交椭圆于 P、Q 两点,若点 B 始终在以 PQ 为直径的圆内,求实数 k 的取值范 围.

x2 3 1 k ? (? , ) ? y2 ? 1 10 2 答案:(Ⅰ) 4 (Ⅱ)

?b ? 1 ? ?a ? 2 c 3 ? ? ?e ? ? a 2 ?b ? 1 ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c c? 3 解析:(Ⅰ)由题意知 ? ,解得 ? ,
x2 ? y2 ? 1 椭圆的标准方程为: 4 .
(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )

………………4 分

? y ? k ( x ? 2) ? 2 ?x 2 2 2 2 2 ? ? y ?1 联立 ? 4 ,消去 y ,得: (1 ? 4k ) x ?16k x ? (16k ? 4) ? 0.(?) ……6 分
依题意:直线

l : y ? k ( x ? 2) 恒过点 (?2,0) ,此点为椭圆的左顶点,

所以 x1 ? ?2 , y1 ? 0 ----① ,

x1 ? x2 ? ?
由(*)式,

16k 2 (1 ? 4k 2 ) -------②,
………………8 分

可得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ---- ③ ,

由①②③,

x2 ?

2 ? 8k 2 4k y2 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k ,

………………10 分

由点 B 在以 PQ 为直径的圆内,得 ?PBQ 为钝角或平角,即 BP ? BQ ? 0 .

BP ? (? 2, ?1 ), BQ ? (x2,y2 ? 1 ) ? BP ? BQ ? ?2 x2 ? y2 ? 1 ? 0 .
4 ? 16k 2 4k ? ?1 ? 0 2 2 1 ? 4k 2 即 1 ? 4k ,整理得 20k ? 4k ? 3 ? 0 .
k ? (?
解得:

…12 分

3 1 , ) 10 2 .

………………14 分

20.(本小题共 13 分) 对 于 数 集

X ? {?1,x1,x2, ?,xn } , 其 中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 , 定 义 向 量 集

Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X },若对任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P .
(Ⅰ)判断 {?1, 1 , 2} 是否具有性质 P ; (Ⅱ)若 x ? 2 ,且 {?1,1, 2 , x} 具有性质 P ,求 x 的值; (Ⅲ)若 X 具有性质 P ,求证: 1 ? X ,且当

xn ? 1 时, x1 ? 1.

答案:(Ⅰ) {?1, 1 , 2} 具有性质 P (Ⅱ)4(Ⅲ)略

解析:(Ⅰ) {?1, 1 , 2} 具有性质 P . (Ⅱ)选取

……2 分

a1 ? ( x,2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 ? ?1, b? .
……5 分

所以 x =2 b ,从而 x =4 (III)证明:取 由

a1 ? ( x1, x1 ) ?Y .设 a2 ? (s, t ) ?Y 满足 a1 ? a2 ? 0 .

? s+t ? x1 ? 0 得 s +t ? 0 ,所以 s 、 t 异号.

因为 ? 1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为 ? 1 ,另一为 1 ,

故1? X . 假设 选取 即

……8 分

xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn .

b1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 b2 ? ( p, q) ?Y 满足 b1 ? b2 ? 0 ,

px1 ? qxn ? 0 ,则 p , q 异号,从而 p , q 之中恰有一个为 ?1 . ……10 分

x ? qxn ,显然矛盾; 若 p ? ?1 ,则 1
若 q ? ?1 ,则 所以

xn ? px1 ? p ? xn ,矛盾.
……13 分

x1 =1 .


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