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陕西省西工大附中2013届高三上学期第一次适应性训练数学文试题


2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中适应性训练高三数学(文科) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. 已知集合 A ? A. 3

?? x, y ? y ? x ? 1? , B ? ?? x, y ? y ?
2

1 ? x 2 ,则 A ? B 的真子集个数为(

?



B. 6 C. 7 D.8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.若两个非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ? 2 a ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为( A.



? 6

B.

? 4

C.

2? 3

D.

5? 6

3.下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分不必要条件是( A. a ? b ? 1 4.若 tan ? ? A.
1 5



B. a ? b ? 1
1 ? 4, 则 sin 2? =( tan ?

C.

a 2 ? b2

D. a 3 ? b3

) C.
2 3

B.

1 3

D.

1 2

5. 奇函数 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上的解析式是 f ? x ? ? x ?1 ? x ? , 则在 ? ??,0? 上,f ? x ? 的函数解析式是 ) ( A. C.

f ? x ? ? ?x ?1 ? x ? f ? x ? ? ?x ?1 ? x ?

B. f ? x ? ? x ?1 ? x ? D. f ? x ? ? x ? x ?1? )

6.按下面的流程 (图 1) 可打印出一个数列, , 设这个数列为 {xn } , x4 ? 则 ( A .
3 4

B .

5 8

C .

11 16

D.

21 32

1 ? 1( x ? 0), 则 f ( x) ( ) x A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 2 2 x y 8.若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a 等于( ) a 3

7.设函数 f ( x) ? 2 x ?

A. 1

B.

3

C.

3 2

D. 2
An 7n ? 45 a ,则使得 n 为整数 ? Bn n?3 bn

9.已知两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且 的正整数 n 的个数是( A. 2 B. 3 未找到引用源。 ) C.

4 错误!未找到引用源。

D.

5 错误!

3 10.已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为 ,则他在 3 天乘车中,此班 5

次公共汽车至少有 2 天准时到站的概率为(

)

第 1 页 共 7 页

A.

36 125

B.

54 125

C.

81 125

D. 共 100 分)

27 125

第Ⅱ卷(非选择题

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横线上.
? 6? ? 3 ? ? ?5 11. 已知 f ? x ? 是周期为 2 的奇函数, 0 ? x ? 1 时,f ? x ? ? lg x , a ? f ? ? b ? ? ? c , f ? ? , 当 设 , f ? ? 5? ? 2 ? ? ?2

则 a, b, c 从小到大的顺序为

.
P

12. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 m 的正方形, PD⊥底面 ABCD,且 PD= m ,PA=PC= 2 m ,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大 半径是 . 13. 已知直线 l1 : ? k ? 3? x ? ? 4 ? k ? y ?1 ? 0 与 l2 : 2 ? k ? 3? x ? 2 y ? 3 ? 0 平行, 则 k 的值是 。
A

D

C

B

? y ?1 ? 14. 已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1,如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为-1,则实数 m ? ?x ? y ? m ?

.

15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A. (不等式选做题)不等式 | 2 x ? 1| ? x ? 1 的解集是 ; B.(几何证明选做题) 如图,过点 P 作圆 O 的割线 PAB 与切线 PE , E 为切点, 连接 AE, BE , ?APE 的平分线与 AE, BE 分别交于点 C , D ,若 ?AEB ? 300 ,则
?PCE ?



C.(极坐标系与参数方程选做题) 若 M , N 分别是曲线 ? ? 2cos ? 和

? 2 上的动点,则 M , N 两点间的距离的最小值是 ? sin(? ? ) ?
4 2



三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. ? ? ? ? 16.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? 2sin x, 3 cos x , b ? ? sin x, 2sin x ? ,函数 f ? x ? ? a ? b 。

?

?

(1)求 f (x) 的单调递增区间;

? (2)若不等式 f ( x) ? m对x ? [0, ] 都成立,求实数 m 的最大值. 2
17.(本小题满分 12 分).设关于 x 的一元二次方程 x2 ? 2ax ? b2 ? 0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程有 实根的概率。 (2)若 a 是从区间 ?0,3? 任取的一个数,b 是从区间 ?0, 2? 任的一个数,求上述方程有实根的概率。

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18. (本小题满分 12 分). 在等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 各项均为正 S 数, b1 ? 1 ,且 b2 ? S2 ? 12 , {bn } 的公比 q ? 2 b2 (1)求数列 {an } 通项 an ; 5 1 1 1 1 (2)记 Tn ? ? ? ? ? ? ,试比较 Tn 与 的大小。 9 S1 S2 S3 Sn

19. 本小题满分 12 分) ( 如下的三个图中, 左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图. 它 的正视图和侧视图在右面画出(单位:cm) (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC ? ,证明: BC ? ∥面 EFG .
D?
G F

C?
B?

6 2

2 2 4

E A

D B

C 4

20.(本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0), 曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3) ,且在 点(-1,f(-1) )处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ)用 a 分别表示 b 和 c; (Ⅱ)当 bc 取得最小值时,求函数 g(x)= ? f ( x)e? x 的单调区间.

21. (本小题满分 14 分)给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O ,半径为 a2 ? b2 的圆 a 2 b2

是椭圆C的“准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴上的一个端点到F的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆C的方程和其“准圆”方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一个 交点,且 l1 , l2 分别交其“准圆”于点 M,N . (1)当 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1 , l2 的方程; (2)求证:|MN|为定值.
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2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中适应性训练

高三数学(文科)参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. C 2. C 3. A 4.D 5. B 6. C 7.A 8.B 9. D 10. C 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. c ? a ? b 15.A. (0, 2) 12.
1 2? 2 m 2

?

?

13. 3 或 5

14.

5

B. 750

C.

2 ?1

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分〉 (Ⅰ) f ( x) ? 2sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? ? 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? ( k ? Z ) , 2 6 2 ? ? 得 k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ). 6 3 ? ? 所以 f (x) 的单调增区间是 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ). 6 3 ? ? ? 5? . (Ⅱ)因为 0 ? x ? , 所以 ? ? 2 x ? ? 2 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin( 2 x ? ) ? 1. 2 6 ? 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? [0,3]. 所以 m ? 0 ,m 的最大值为 0. 6 3 2 17.(本小题满分 12 分).(1)p= ;(2)p= 4 3 18. (本小题满分 12 分). ?q ? 3 ? a2 ? 12 ? (I)由已知可得 ? , 3 ? a2 ?q ? q ? ? an ? 3 ? (n ?1)3 ? 3n 。 (Ⅱ)? Sn ?

解得, q ? 3 或 q ? ?4 (舍去) a2 ? 6 ,

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 ? ? ? ( ? ) 2 Sn n(3 ? 3n) 3 n n ? 1 2 1 2n 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 )? 。 Tn ? ? ? ? ? ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? 3 n ? 1 3(n ? 1) S1 S2 Sn 3 2 2 3 3 4 n n ?1 5 2n 5 n?5 Tn ? ? ? ? 9 3(n ? 1) 9 9(n ? 1) 5 5 5 故 n ? 1, 2,3, 4 时, Tn ? ; n ? 5 时, Tn ? ; n ? 5 (n ? N? ) 时, Tn ? 9 9 9
第 4 页 共 7 页



19. (本小题满分 12 分) (1)如图
2 6 2 2 4 4 (正视图) (侧视图) 4 2 2 (俯视图) 6

1 ?1 ? (2)所求多面体体积 V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 3 ?2 ?
284 (cm 2 ) . 3 (3)证明:在长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, 连结 AD? ,则 AD? ∥ BC ? . 因为 E,G 分别为 AA? , A?D ? 中点, 所以 AD? ∥ EG , 从而 EG ∥ BC ? .又 BC ? ? 平面 EFG , 所以 BC ? ∥面 EFG . ?

A?
E A

G

D?
F

C?
B?

D B

C

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)因为 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 所以f ?( x) ? 2ax ? b. 又因为曲线 y ? f ( x) 通过点(0,2a+3), 故 f (0) ? 2a ? 3, 而f (0) ? c, 从而c ? 2a ? 3. 又曲线 y ? f ( x) 在(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ?(?1) ? 0, 即-2a+b=0,因此 b=2a.
3 9 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bc ? 2a (2a ? 3) ? 4(a ? ) 2 ? , 4 4 3 9 故当 a ? ? 时, bc 取得最小值- . 4 4 3 3 此时有 b ? ? , c ? . 2 2 3 3 3 3 3 从而 f ( x) ? ? x 2 ? x ? , f ?( x) ? ? x ? , 4 2 2 2 2 3 2 3 3 ?x g ( x ) ? ? f ( x )c ? x ? ( x ? x ? )e , 4 2 2 3 2 所以 g ?( x) ? ? ( x ? 4)e ? x . 4

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2. 当 x ? (??, ?2)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (??, ?2)上为减函数;
第 5 页 共 7 页

当 x ? (?2, 2)时,g?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (?2, 2)上为增函数. 当 x ? (2, ??)时,g ?( x) ? 0,故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 由此可见,函数 g ( x) 的单调递减区间为(-∞,-2)(2,+∞) 、 ;单调递增区间为(-2,2). 21. (本小题满分 14 分) (I)因为 c ? 2, a ? 3 ,所以 b ? 1
x2 所以椭圆的方程为 ? y 2 ? 1, 3

又 a2 ? b2 =2, 所以准圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . (II) (1)因为准圆 x2 ? y 2 ? 4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0,2), 设过点 P(0,2) ,且与椭圆有一个公共点的直线为 y ? kx ? 2 ,
? y ? kx ? 2 ? 所以 ? x 2 ,消去 y ,得到 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 9 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3

因为椭圆与 y ? kx ? 2 只有一个公共点, 所以 ? ? 144k 2 ? 4 ? 9(1 ? 3k 2 ) ? 0 , 解得 k ? ?1 .所以 l1 , l2 方程为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2 . (2)①当 l1 , l2 中有一条无斜率时,不妨设 l1 无斜率, 因为 l1 与椭圆只有一个公共点,则其方程为 x ? 3 或 x ? ? 3 , 当 l1 方程为 x ? 3 时,此时 l1 与准圆交于点 ( 3,1),( 3,?1) , 此时经过点 ( 3,1) (或 ( 3,?1) )且与椭圆只有一个公共点的直线是
y ? 1 (或 y ? ?1 ),即 l2 为 y ? 1 (或 y ? ?1 ),显然直线 l1 , l2 垂直;

同理可证 l1 方程为 x ? ? 3 时,直线 l1 , l2 垂直. ② 当 l1 , l2 都有斜率时,设点 P( x0 , y0 ) ,其中 x0 ? y0 ? 4 ,
2 2

设经过点 P( x0 , y0 ) 与椭圆只有一个公共点的直线为 y ? t ( x ? x0 ) ? y0 ,

? y ? tx ? ( y0 ? tx0 ) ? 则 ? x2 ,消去 y 得到 x2 ? 3(tx ? ( y0 ? tx0 ))2 ? 3 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3
即 (1 ? 3t 2 ) x2 ? 6t ( y0 ? tx0 ) x ? 3( y0 ? tx0 )2 ? 3 ? 0 ,

? ? [6t ( y0 ? tx0 )]2 ? 4 ? (1 ? 3t 2 )[3( y0 ? tx0 )2 ? 3] ? 0 ,
经过化简得到: (3 ? x0 )t 2 ? 2x0 y0t ? 1 ? y0 ? 0 ,
2 2

因为 x0 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )t 2 ? 2x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 ,
2 2 2 2

设 l1 , l2 的斜率分别为 t1 ,t2 ,因为 l1 , l2 与椭圆都只有一个公共点, 所以 t1 ,t2 满足上述方程 (3 ? x0 )t 2 ? 2x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 ,
2 2

所以 t1 ? t2 ? ?1 ,即 l1 , l2 垂直.
第 6 页 共 7 页

综合①②知: 因为 l1 , l2 经过点 P( x0 , y0 ) ,又分别交其准圆于点 M,N,且 l1 , l2 垂直, 所以线段 MN 为准圆 x2 ? y 2 ? 4 的直径,所以|MN|=4.

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