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曲线切线的导数求解法及其运用_论文

科技信息 ○ 教学研究○ SCIE NCE & TE CHNO LO GY INFORM ATION 2008 年 第 25 期 曲线切线的导数求解法及其运用 张 永宁 ( 三 明市 第九 中学 福建 三明 365001) 众所周知 , 导数 y′ ( x0 ) 的几何意义 , 是曲线 y=f(x ) 以 P(x0 , f(x =f′ 0 ) ) 为切点所作切线的 斜率. 相对于传统知识 而言, 由导数所 衍生出的 由于 导数是对 ( 可导 ) 函数而言的 , 因此 , 需先 将圆或圆锥曲 线的 方程 “ 划分 ” “ 、 ” 为 上 下 两个函数 , 再用导数进行求解 . 2 2 曲线的切线问 题 ” 在思路 、 法及过程上 , 都使人耳目一新 , 彰显出 方 “ , 其别具一格的魅力 .尽管如此, 目前 在高中数学教学中, 对此 类问题的 要求仍不高, 试题的设置基 本停留在 “ 已知切 点求斜率 ” 的难度 上.然 而, 随着对学生 综合能力要求的 不断提高, 对 “ 导数的理解与 运用” 的 研究也将不断 深化 .基于此 , 本文拟 对 “ 导数 在曲线切 线中的运 用 ” 进 行尝试性的探讨 . 程. 例 2.已知 l 是椭圆 x + y =1 经过点 P(1 , 3 ) 的切 线, 求此切线方 4 3 2 2 2 解 : ∵点 P(1 , 3 ) 是椭圆 x + y =1 上的点且在第一象限 , 2 4 3 ∴可视点 P 为 ( 上半椭圆 ) 函数 x ) 图象上的 点 , 且所 求 4 切线以点 P 为切点. y= 3( 1对半椭圆函数 y= 求导数得 y′ = 1 2 ( - 3 x) 2 一、 深刻理解曲线的切线 在解析几何中, 圆与圆锥曲线 的切线定义为: 与曲线只有 一个公 共点并且位于 曲线一边的 直线叫切 线.由此 定义, 对 圆或圆锥 曲线的 切线的处理 , 往往是将直线方 程与曲线方程 进行联立 , 用一 元二次方 程的理论加以 解决 .这种 思维方式 与解题策 略已成为 传统的 、 经典的 和有效的, 并 在教学大纲和 高考考纲 中, 有着 明确地要 求 .然而 , 针对 以函数形式所 表示的一般曲线 的切线问题, “ 圆与圆锥曲线 的切线定 义” 已不再适用 , 其解题思路与方法当然也应另辟溪径. 对于 一 般曲 线 的 切 线 定义 为: 设曲 线 C 是函数 y=f ( x) 的图 象, 点 P( x0 , y0 ) 是 曲 线 C 上一 点, 作割 线 PQ, 当点 Q 沿着曲线 C 无限地趋近于点 P, 割 线 PQ 无 限地趋近于某一极限位置 PT, 我 们就把极限位置上的直线 PT, 叫 做曲线 C 在点 P 处的切线 . 显然, 切线的这种定义更为 准确和更具一般性, 它体现了由 量变到质变 ” 的唯物辩证法 , 体现了有限与 无限的数学思想 , 明确了 “ 切线是割线的 极限情况 , 从而 将切线的斜率 问题化归为割线 ( 曲线上 两点之间的连线 ) 的斜率问题 ( 切线的斜率是 割线斜率的极限 , 即为切 点处的导数值) .这样一来, 类似于“ 直线 y=0 是否为曲线 y=x 的切线” 的问题就迎刃 而解了, 同时, 也预示着切线 与曲线的公共点 可以不止 一个 .不仅如 此 , 它还为 曲线切线 的求解提 供了理论 依据和简 洁明了 的方法. 例 1.求与直线 l∶ ! 3 y- 1=0 成 30° 角且与曲线 C∶ ! 3 x 相切 xy= 的切线方程. 解: 由于直线 l∶ ! 3 y- 1=0 的斜率为 ! 3 , 其倾斜角为 30° , x3 故所求切线的倾斜角为 60° 0°即切线斜率分别为 ! 3 或 0, 或 , 所以可设切线为 y= ! 3 x+b 或 y=m( 其中 b、 m∈R 为常数 ). 对于曲线 C∶ ! 3 x , 其导函数为 y′ ! 3 x , 设切点为 ( x0 , y= =3 ! 3 x0 ) , 当切线为 y= !3 x+b 时, 有 切线为 y= ! 3 x±2 ; 3 当切线为 y=m 时, 有 3 3 2 3 3 ! 2 ! 2 3( 1- x ) , 4 3x =, 2 2 x ) 4 3- 3 x 3 ( 14 4 3 ) 的切线 的斜率为 1 , ∴过点 P ( 1 , l k=y′ =| x=1 2 2 ! ! 故所求切线为: y- 3 =- 1 ( x- 1) , 即: x+2y- 4=0. 2 2 由此可见, 切线的导数求法, 运用于“ 圆或圆锥曲 线” 从根本上来 , 讲, 也是可行的、 不矛盾的. 二、 运用导数法求已知曲线的切线方程 我们经常会 遇到这样的试题 : 已知函数 f( x) =x +1 , 求曲线 y=f( x) 在点 P ( 1 , 2) 处的切线方程 . 根据 定义, 求曲线 y=f( x) 在点 P( 1, 2) 处的切 线, 就 是求“ 以点 P ( 1, 2) 为切点, 以 f′ )=3x |x= 1 =3 为斜率” (1 的直线方程, 即为 y=3x- 1. 若将问题进行进一步变式, 又会怎样呢? 例 3.( 变式一 ) 已知函数 f(x) =x +1, 求 曲线 y=f( x) 经过点 P( 1, 2) 的切线方程. 注意 : 虽然点 P(1 , 2 ) 在曲线上 , 但 “ 点 P(1, 2) 处 ” “ 在 与 经过点 P 有着本 质的区 别 .“ 在点 P( 1, 2) 处 ” 是指以 P(1 , 2 ) 为 切点 , 而 ( 1, 2) ” “ 经过点 P( 1, 2) ” 则意味着 P( 1, 2) 可以是切点, 也可以不是切点 . 因此 , 本题解法可进 行分类解决( 分为点 P 是 或不是切点这 两类 情况 ) , 也可采用如下解法 . 解法一 : 由题意 , 设切点为 (x0 , f(x0 ) ), 即为

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