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曲线切线的导数求解法及其运用


科技信息 ○ 教学研究○ SCIE NCE & TE CHNO LO GY INFORM ATION 2008 年 第 25 期 曲线切线的导数求解法及其运用 张 永宁 ( 三 明市 第九 中学 福建 三明 365001) 众所周知 , 导数 y′ ( x0 ) 的几何意义 , 是曲线 y=f(x ) 以 P(x0 , f(x =f′ 0 ) ) 为切点所作切线的 斜率. 相对于传统知识 而言, 由导数所 衍生出的 由于 导数是对 ( 可导 ) 函数而言的 , 因此 , 需先 将圆或圆锥曲 线的 方程 “ 划分 ” “ 、 ” 为 上 下 两个函数 , 再用导数进行求解 . 2 2 曲线的切线问 题 ” 在思路 、 法及过程上 , 都使人耳目一新 , 彰显出 方 “ , 其别具一格的魅力 .尽管如此, 目前 在高中数学教学中, 对此 类问题的 要求仍不高, 试题的设置基 本停留在 “ 已知切 点求斜率 ” 的难度 上.然 而, 随着对学生 综合能力要求的 不断提高, 对 “ 导数的理解与 运用” 的 研究也将不断 深化 .基于此 , 本文拟 对 “ 导数 在曲线切 线中的运 用 ” 进 行尝试性的探讨 . 程. 例 2.已知 l 是椭圆 x + y =1 经过点 P(1 , 3 ) 的切 线, 求此切线方 4 3 2 2 2 解 : ∵点 P(1 , 3 ) 是椭圆 x + y =1 上的点且在第一象限 , 2 4 3 ∴可视点 P 为 ( 上半椭圆 ) 函数 x ) 图象上的 点 , 且所 求 4 切线以点 P 为切点. y= 3( 1对半椭圆函数 y= 求导数得 y′ = 1 2 ( - 3 x) 2 一、 深刻理解曲线的切线 在解析几何中, 圆与圆锥曲线 的切线定义为: 与曲线只有 一个公 共点并且位于 曲线一边的 直线叫切 线.由此 定义, 对 圆或圆锥 曲线的 切线的处理 , 往往是将直线方 程与曲线方程 进行联立 , 用一 元二次方 程的理论加以 解决 .这种 思维方式 与解题策 略已成为 传统的 、 经典的 和有效的, 并 在教学大纲和 高考考纲 中, 有着 明确地要 求 .然而 , 针对 以函数形式所 表示的一般曲线 的切线问题, “ 圆与圆锥曲线 的切线定 义” 已不再适用 , 其解题思路与方法当然也应另辟溪径. 对于 一 般曲 线 的 切 线 定义 为: 设曲 线 C 是函数 y=f ( x) 的图 象, 点 P( x0 , y0 ) 是 曲 线 C 上一 点, 作割 线 PQ, 当点 Q 沿着曲线 C 无限地趋近于点 P, 割 线 PQ 无 限地趋近于某一极限位置 PT, 我 们就把极限位置上的直线 PT, 叫 做曲线 C 在点 P 处的切线 . 显然, 切线的这种定义更为 准确和更具一般性, 它体现了由 量变到质变 ” 的唯物辩证法 , 体现了有限与 无限的数学思想 , 明确了 “ 切线是割线的 极限情况 , 从而 将切线的斜率 问题化归为割线 ( 曲线上 两点之间的连线 ) 的斜率问题 ( 切线的斜率是 割线斜率的极限 , 即为切 点处的导数值) .这样一来, 类似于“ 直线 y=0 是否为曲线 y=x 的切线” 的问题就迎刃 而解了, 同时, 也预示着切线 与曲线的公共点 可以不止 一个 .不仅如 此 , 它还为 曲线切线 的求解提 供了理论 依据和简 洁明了 的方法. 例 1.求与直线 l∶ ! 3 y- 1=0 成 30° 角且与曲线 C∶ ! 3 x 相切 xy= 的切线方程. 解: 由于

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