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安徽省自主招生试题


1. 14. (安徽省合肥一中自主招生)已知:甲、乙两车分别从相距 300(km)的 M、N 两 地同时出发相向而行,其中甲到达 N 地后立即返回,图 1、图 2 分别是它们离各自出发 地的距离 y(km)与行驶时间 x(h)之间的函数图象. (1)试求线段 AB 所对应的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (2)当它们行驶到与各自出发地的距离相等时,用了 4.5 h,求乙车的速度; (3)在(2)的条件下,求它们在行驶的过程中相遇的时间.

y∕km
300 甲 A

y∕km
300 乙 C

O

3 图1

B 27 4

x∕h

O 图2

x∕h

2. 15. (安徽省合肥一中自主招生)如图 1,在△ABC 中,AB=BC,且 BC≠AC,在△ABC 上画一条直线,若这条直线既平分△ABC 的面积,又平分△ABC 的周长,我们称这条 线为△ABC 的“等分积周线”. (1)请你在图 1 中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”; (2)在图 1 中过点 C 能否画出一条“等分积周线”?若能,说出确定的方法;若不能,请 说明理由; (3)如图 2,若 AB=BC=5cm,AC=6cm,请你找出△ABC 的所有“等分积周线”,并简 要说明确定的方法. A A

B 图1

C

B 图2

C

3. 16. (安徽省合肥一中自主招生)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=3cm,BC=

4cm,点 P 以一定的速度沿 AC 边由 A 向 C 运动, Q 以 1cm/s 的速度沿 CB 边由 C 向 点 B 运动,设 P、Q 同时运动,且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动 时间为 t(s) .

3 (1)若点 P 以 4 cm/s 的速度运动 ①当 PQ∥AB 时,求 t 的值; ②在①的条件下,试判断以 PQ 为直径的圆与直线 AB 的位置关系,并说明理由. (2)若点 P 以 1cm/s 的速度运动,在整个运动过程中,以 PQ 为直径的圆能否与直线 AB 相切?若能,请求出运动时间 t;若不能,请说明理由.
A P A

C

Q

B C 备用图

B

4. 17. (安徽省蚌埠二中自主招生)青海玉树发生 7.1 级强震后,为使人民的生命财产损 失降到最低, 部队官兵发扬了连续作战的作风。 刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命 令,一分队立即出发前往距营地 30 千米的 A 镇;二分队因疲劳可在营地休息 a(0≤ a ≤3)小时再前往 A 镇参加救灾。一分队出发后得知,唯一通往 A 镇的道路在离营地 10 千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用 1 小时打通道路。已知一分队的 行进速度为 b 千米/时,二分队的行进速度为(4+a)千米/时. (1)若二分队在营地不休息,要使二分队在最短时间内赶到 A 镇,一分队的行进速度至少 为多少千米/时? (2)若 b=4 千米/时,二分队和一分队同时赶到 A 镇,二分队应在营地休息几小时?

5. 18. (安徽省蚌埠二中自主招生)如图 1、2 是两个相似比为 1

:

2 的等腰直角三角形,

将两个三角形如图 3 放置,小直角三角形的斜 边与大直角三角形的一直角边重合. (1)在图 3 中,绕点 D 旋转小直角三角形,使两直角边分别与 AC、BC 交于点 E、F,如 图 4. 求证:AE 2+BF 2=EF 2; (2) 若在图 3 中, 绕点 C 旋转小直角三角形, 使它的斜边和 CD 延长线分别与 AB 交于点 E、 2 2 2 F,如图 5,此时结论 AE +BF =EF 是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请 C C 说明理由;

D 图1

A 图2 C F E

B

A

D 图3 C

B

D D 图4 B A E 图5 F B

A

(3)如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、CD 上的点,满足△CEF 的周长等于 正方形 ABCD 的周长的一半,AE、AF 分别与对角线 BD 交于 M、N,试问线段 BM、MN、 DN 能否构成三角形的三边长?若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理 由. A D ; N F M B E C


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