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陕西省西工大附中2014届高三数学上学期第一次适应性训练试题 文 北师大版


2014 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第一次适应性训 练数 学(文科)
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 10 小 题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 1+ 3i A. ?8

?

?

3

?(
B. 8

) C. ?8i D. 8i

2.若向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为( A.

?

?

?

?

?

? ?
5? 6

?

?



? 2

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

2 2 3.记集合 A ? ( x, y ) | x ? y ? 16 和集合 B ? ?( x, y) | x ? y ? 4 ? 0, x ? 0, y ? 0? 表示的平面

?

?

区域分别为 ?1 , ?2 ,若在区域 ?1 内任取一点 M ( x, y ) ,则点 M 落在区域 ? 2 内的概率为 ( ) A.

1 2?

B.

1

?

C.

1 4

D.

? ?2 4?
x

4.把函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象恰与函数 y ? e 的反函数图像 重合,则 f(x)=( A. ln x ? 1 ) B. ln x ? 1 C. ln( x ? 1) D. ln( x ? 1) )

5.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是( A.

8 3

B. 4

C. 2

D.

4 3

6.已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点与双曲线 合,则该双曲线的离心率为( A. ) C.

x2 ? y 2 ? 1 的一个焦点重 2 a
D. 3

2 5 5

B.

4 15 15

2 3 3

7.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取出两瓶,若 取出的两瓶中有一瓶是蓝色,求另一瓶也是蓝色的概率 ( ) 1 A.10 B.1 C.1 D.1 7 4 5 8.已知等差数列 ?an ? 中, Sn 为其前 n 项和,若
1

a1 ? ?3 , S5 ? S10 ,则当 Sn 取到最小值时 n 的值为(
A.5 B.7 C.8 D.7 或 8



9. 定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图输出的 s 值, ? 2cos 则 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.―1

? ?

5? ? ? 5? ? ? ? ? 2 tan ? 3 ? ? 4 ?

10.右图是两组各 7 名同学体重(单位: kg )数据的茎叶图.设 1 , 2 两组数据的平 均数依次为 x1 和 x2 ,标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么( (注: 标准差 s ? )

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ,其 n 中 x 为 x1 , x2 , ?, xn 的平均数)

A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2

B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分) 二.填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分) 11. 已知函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 0
x ?2 , x ? 0

, 则满足 f

? f ? x ?? ? 1 的


错误!不能通过编辑域代码创建对象。的取值范围是

12.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规 律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为 . 13.在△ ABC 中, BC ? 3 , AC ? 2 , A ?
2 2

π ,则 B ? 3



14.若直线 l : y ? kx ? 1 被圆 C: x ? y - 2 x - 3 ? 0 截得的弦最短,则 k=



15.选做题(请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A(极坐标系与参数方程)极坐标系下曲线 ? ? 4 sin ? 表示圆,则点 A(4, 距离为 ;

?
6

) 到圆心的

B(几何证明选讲)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? . C(不等式选讲)若关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 存在实数解,则实数 a 的取值范 a 围是 .

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分)

2

16. (本小题 12 分)已知在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a 2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? an (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和 Sn .

17. (本小题 12 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c (Ⅰ)叙述并证明正弦定理; (Ⅱ)设 a ? c ? 2b , A ? C ?

?
3

,求 sin B 的值.

18. (本小题 12 分)某校有教职工 130 人,对他们进 行年龄状况和受教育情况(只有本科和研究生两类)的调 查,其结果如图: (Ⅰ)随机抽取一人,是 35 岁以下的概率为 的值; (Ⅱ)从 50 岁以上的 6 人中随机抽取两人,求恰好只有一位是研究生的概率.

17 ,求 a, b 26

19. (本小题 12 分)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,SA ? 底面 ABCD, SA=AD,点 M 是 SD 的中点,AN ? SC 且交 SC 于点 N. (Ⅰ)求证:SB∥平面 ACM; (Ⅱ)求证:平面 SAC ? 平面 AMN.

20. (本小题 13 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,短轴长为 4,且有一个焦点与抛物 线 y ? 4 5x 的焦点重合. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知经过定点 M(2,0)且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问在 x 轴上是否另存在一个定点 P 使得 PM 始终平分 ?APB ?若存在, 求出 P 点坐标; 若不存在, 请说明理由.
2

21. (本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

1 2 ax ? 2 x . 2
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 与 x ? 率;

1 处的切线相互平行,求 a 的值及切线斜 2

(Ⅱ) 若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ? ,1? 上单调 递减,求 a 的取值范围; (Ⅲ) 设函数 f ( x ) 的图像 C1 与函数 g ( x) 的图像 C2 交于 P、Q 两点,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,证明:C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不可能平行.

?1 ? ?3 ?

2014 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第一次适应性训练 数学(文科)参考答案 一、 选择题:1.A 2.C 3.A 4.D 5.B 6.C 7.C 8.D 9.A 10.C 二、 填空题:11. ? 4, ?? ? ? ?1? ; 15.A. 2 3 ; 三、解答题: 16. 【解】(Ⅰ)设公比为 q,则 a2 ? q , a3 ? q 2 ,∵ a 2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项,∴ : 12.

n2 ? n ? 6 ; 2

13.

? ; 4

14.1;

B. 3 ; C. (??,0) ? ( 1 , ??) 3

2a2 ? a1 ? (a3 ?1) ? 2 q ?1 ? ( q 2?1) ? q? 2 ,∴ an ? 2n?1
(Ⅱ) bn ? 2n ?1 ? an ? 2n ?1 ? 2n?1 则 Sn ? [1 ? 3 ? ?? (2n ?1)] ? (1 ? 2 ? ?? 2n?1 )

?

n[1 ? (2n ? 1)] 1 ? 2n ? ? n 2 ? 2n ? 1 2 1? 2

17. 【解】(Ⅰ)设 ?ABC 的外接圆半径为 R :

a b c ? ? ? 2 R (证明从略) sin A sin B sin C (Ⅱ)由正弦定理 a ? c ? 2b ? sin A ? sin C ? 2sin B A?C A?C A?C A?C ? sin( ? ) ? sin( ? ) ? 2sin B 2 2 2 2 A?C A?C ? ?? B ? ? 2sin cos ? 2sin B ? 2sin ? ? ? cos ? 2sin B 2 2 6 ?2 2?
正弦定理:

B B B B 3 B 13 ? 4sin cos ? sin ? , cos ? 2 2 2 2 4 2 4 B B 3 13 39 ? ? ∴ sin B ? 2sin cos ? 2 ? 2 2 4 4 8 ? 3 cos
4

a ? 35 17 ? ,解得 a ? 50 130 26 故 b ? 130? (50 ? 35 ? 25 ? 4 ? 2) ? 14 ,即 b ? 14
18. 【解】(Ⅰ)由已知得: : (Ⅱ)将 50 岁以上的 6 人进行编号:四位本科生为:1,2,3,4,两位研究生为 5,6。 从这 6 人中任取 2 人共有 15 种等可能发生的基本事件,分别为: 12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56] 其中恰好有一位研究生的有 8 种,分别为:15,16,25,26,35,36,45,46 故所求的概率为: P ?

8 15

19. 【解】(Ⅰ)连接 BD,交 AC 于点 O,连接 MO,? ABCD 为矩形, :

? O 为 BD 中点,又 M 为 SD 中点,? MO//SB
MO ? 平面 ACM,SB ? 平面 AC,? SB//平面 ACM (Ⅱ)

? SA ? 平面 ABCD,? SA ? CD

? ABCD 为矩形,? CD ? AD,且 SA ? AD=A
? CD ? 平面 SAD,? CD ? AM

? SA=AD,M 为 SD 的中点,? AM ? SD,且 CD ? SD=D ? AM ? 平面 SCD
? AM ? SC ,又? SC ? AN,且 AN ? AM=A ? SC ? 平面 AMN

? SC ? 平面 SAC,? 平面 SAC ? 平面 AMN.
20. 【解】(Ⅰ)∵椭圆的短轴长为 4,∴ 2b ? 4 ? b ? 2 ,又抛物线 y 2 ? 4 5x 的焦 : 点为 ( 5, 0) ,∴ c ? 5 ,则 a ? b ? c ? 9 ,∴所求椭圆方程为:
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1. 9 4 (Ⅱ)设 l : x ? my ? 2 ,代入椭圆方程整理得: (4m2 ? 9) y 2 ? 16my ? 20 ? 0 16m ? ? y1 ? y2 ? ? 4m 2 ? 9 ? 则? ,假设存在定点 P(t , 0) 使得 PM 始终平分 ?APB , ? y y ? ? 20 ? 1 2 4m 2 ? 9 ? y1 y 则 kPA ? kPB ? 0 ? ? 2 ? 0 ? y1 (my2 ? 2 ? t ) ? y2 (my1 ? 2 ? t ) ? 0 x1 ? t x2 ? t
∴对于 ?m ? R 恒成立, t ? ∴ ? 2my1 y2 ? (2 ? t )( y1 ? y2 ) ? 0 ? m(2t ? 9) ? 0 , 故存在定点 P 的坐标为 ?

9 , 2

?9 ? ,0? . ?2 ?
1 2 ax ? 2 x , 2
5

21. 【解】(Ⅰ) y ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? ln x ? :

1 ? ax ? 2 x 1 ∵在 x ? 1 与 x ? 处的切线相互平行, 2 a ∴ h?(1) ? h?( 1 ) ? ?a ? 3 ? ? ? 4 ? a ? ?2 , k ? h?(1) ? 5 2 2 1 ,1) 上单调递减 ? h?( x) ? 0 在区间 ( 1 ,1) 上恒成立 (Ⅱ) h( x) 在区间 ( 3 3
则 h?( x ) ?
1 x

? ax ? 2 ? 0 ? a ?

1 x2

? 2 ,∵ x ? ( 1 ,1) ,∴ 3 ? x 3

1 x2

? 2 ? 15 , x

只要 a ? 15 (Ⅲ) f ?( x) ? 1 , g ?( x) ? ax ? 2 x 假设有可能平行,则存在 a 使

2 a ?x ?x ? ?x ?x ? ? ( x1 ? x2 ) ? 2 f ? ? 1 2 ? ? g? ? 1 2 ? ? x1 ? x2 2 ? 2 ? ? 2 ? 2( x1 ? x2 ) a 2 ? ? ( x1 ? x2 2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ( 1 ax12 ? 2x1 ) ? ( 1 ax22 ? 2x2 ) = y1 ? y2 2 2 x1 ? x2 2 x x = ln x1 ? ln x2 ? ln 1 ,不妨设 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? t >1 x2 x2 2(t ? 1) 2(t ? 1) ? ln t 存在大于 1 的实根,设 ? (t ) ? ? ln t 则方程 t ?1 t ?1 ?(t ? 1)2 则 ? ?(t ) ? ? 0 ,∴ ? (t ) ? ? (1) ? 0 ,这与存在 t>1 使 ? (t ) ? 0 矛盾. t (t ? 1)

6


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