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高中数学1-6《微积分基本定理》课件新人教A版_图文

课题:定积分 我行 我能 我要成功 我能成功 知识回顾: 微积分在几何上有两个基本问题 1.如何确定曲线上一点处切线的斜率; 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。 y y y 0 x 0 x o x 直线 几条线段连成的折线 曲线? 课题:定积分 我行 我能 我要成功 我能成功 用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程: 分割 以直代曲 作和 逼近 课题:定积分 我行 我能 我要成功 我能成功 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 n个小区间: ?a, x1 ?,? x1, x2 ?,?? xi-1, xi ?,?, ? xn-1, b?, 每个小区间宽度⊿x = b-a n (1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 (2)以直代曲:任取xi?[xi-1, xi],第i个小曲边梯形的面积用高 为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替. y (3) 作和:取n个小矩形面积的和作 为曲边梯形面积S的近似值: y= f ( x) S ? ? f (xi )Dx (4)逼近:所求曲边梯形的面积 S为 i =1 n Dx ? 0, ( n ? ?) ? f (x )Dx ? S i =1 i n O a xi-1 xi xi ? Dx b x 课题:定积分 我行 我能 我要成功 我能成功 定积分的定义: 一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间 [a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度 为 Dx(Dx = b - a ),在每个小区间上取一点,依次为 n x1,x2,…….xi,….xn,作和 Sn = f (x1 )Dx ? f(x 2 )Dx ? ? ? ? ? f(x n )Dx 如果 Dx 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那 么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记 作: S = ? b a f(x)dx . 问题情景 比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的 方法求定积分呢? (分割---以直代曲----求和------逼近) 1 由定积分的定义可以计算 ?0 x dx = 3 1 2 , 但 微积分基本定理 问题思考 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 设某物体作直线运动,已知速度v = v ( t ) 是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数,且v ( t ) ? 0 , 求物体在这段时间内所经过的路程. 变速直线运动中路程为 ?T v(t )dt 1 T2 另一方面作变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t), 这段路程可表示为 s(T2 ) - s(T1 ) ? ? v ( t )dt = s(T2 ) - s(T1 ). 其中 s?(t ) = v(t ). T T2 1 ? ? v(t )dt = ? s?(t )dt = s(T2 ) - s(T1 ). T1 T1 T2 T2 对于一般函数 f ( x) ,设 F ?( x) = f ( x) 是否也有 ? b a f ( x)dx = ? b a F ?( x)dx = F (b) - F (a). 若上式成立, 我们就找到了用 f ( x的原函数 ) 即满足 来计算 F ?( x) = f ( x)的数值差 ) F (b) - F (a) ] f ( x)在 [a, b上的定积分的方法。 牛顿—莱布尼茨公式 定理 (微积分基本定理) 如果 f (x) 是在区间[a , b]上的连续函数,并且 F?(x) = f (x), ,则 b F ( b ) F ( a ) = F ( x ) | 记: a ?a f ( x )dx = F (b) - F (a ). b a b 则: ? b a f ( x)dx == F ( x) | = F (b) - F (a) f(x)是F(x)的导函数 F(x) 是f(x)的原函数 例 计算下列定积分 (1) ? 3x dx 2 1 3 ' 2 3 (2)? (2 x - 4)dx 0 5 解:(1)取 F ( x) = x , F ( x) = 3x 5 2 找出 f(x)的 原函数 是关健 ? ? 3x2 dx = F (5) - F (2) = 117 解:(2)取 F ( x) = x2 - 4x, F ' ( x) = 2x - 4 ? ? (2 x - 4)dx = F (5) - F (0) = 5 0 5 ? b a f ( x)dx = F ( x) | = F (b) - F (a) b a 例 计算下列定积分 1 (3) ? (3 x - 2 )dx 1 x 3 2 解:(3)∵ ( x )? = 3 x , 3 2 1 1 2 ? ( x ? )? = 3 x - 2 , x x 3 1 1 ( )? = - 2 x x ?? 3 1 1 1 1 76 3 3 (3x - 2 )dx = (3 ? ) - (1 ? ) = x 3 1 3 2 基本初等函数的导数公式 1.若f ( x) = c ? f ' ( x) = 0 2.若f ( x) = x n ? f ( x) = nx (n ? R ) ' n -1 ' 3.若f ( x) = sin x ? f ' ( x) = cos x 4.若f ( x) = cos x ? f ( x) = -sin x 5.若f ( x) = a x 6.若f ( x) = e x ? f ' ( x) = a x ln a ? f ( x) = e ' ' x 1 7.若f ( x) = log a x ? f ( x) = x ln a 1 ' 8.若f ( x) = ln

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